組合計算器

歡迎使用組合計算器。請輸入元素數量（n）和抽取數量（k 或 r）。如果允許重複，請勾選下方選項，然後按下「計算」按鈕。

元素數量（n）：抽取數量（k 或 r）：可重複選取：進位制：

結果：

2026-09-20，撰寫

Adam 擁有經濟學博士學位，負責撰寫技術文章，並督導線上應用程式的開發。您可以在以下平台找到他：
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

組合公式

組合告訴我們，要從 n 個項目中選出 k 個項目時，有多少種選法。這通常稱為「n 中取 k 的組合」，不要和「n 中取 k 的排列」混在一起。兩者最大的差別在於：組合不看選出項目的順序，排列則會看順序。

那麼，從 n 個元素中選出 k 個元素，總共有幾種選法呢？如果是不重複的組合，也就是每選出一個元素後，這個元素就會從可選範圍中移除，不能再被選一次，它的數量通常記為 $C (n, k)$ 。許多資料也會使用 ${}_{n}C_{k}$ 或 $(\binom{n}{k})$ 這類符號，其中 $(\binom{n}{k})$ 這種寫法相當常見。因此，我們可以寫成：

C (n, k) = {}_{n}C_{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} ，

其中，n! 表示 n 的階乘。另一方面，如果是重複組合，也就是選出的項目會放回可選範圍，之後還可以再次被選取，它的數量通常記為 $E (n, k)$ ，有時也會寫成 $((\binom{n}{k})) ：$

E (n, k) = ((\binom{n}{k})) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}

不重複的組合和不重複的排列之間，可以用下面這個公式連起來：

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!}

簡單來說，就是把排列數除以 k!，用來扣掉順序造成的重複計數。因為在組合裡，選出哪些項目才重要，順序並不重要；但在排列裡，順序不同就會算成不同的排列。如果您想計算的是「順序很重要」的情況，可以前往我們的排列計算器。

組合的例子

100人聚會中會有多少次握手？

想像一下，您剛到一場聚會，現場一共有100位賓客（包括您自己）。當您準備和每個人握手打招呼時，可能會忍不住想：如果每個人都和其他所有人握手一次，總共會有多少次握手呢？

現場一共有 n = 100人。那麼，在這群人當中，可以組成多少組不同的兩人配對呢？換句話說，從100人中取2人的組合有多少種？答案是：

C (100, 2) = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950

這樣算下來，總共會有4950次握手。這裡用的是不重複的組合，原因也很直白：總不能自己跟自己握手吧！

撲克牌有多少種手牌？

我們先考慮不含鬼牌的情況，也就是一副牌共有52張。現在要從中抽出5張牌，而且是不重複抽取，因為同一張牌不可能被抽到兩次。在這裡，牌的順序並不重要。因此，我們可以使用 n 中取 k 的不重複組合來計算，其中 k = 5，n = 52：

(\binom{52}{5}) = 2598960

所以，撲克牌中一共有2,598,960種不同的手牌。知道這個總數之後，我們就可以進一步計算各種牌型出現的機率。

拿到鐵支（四條）的機率

要拿到鐵支，首先要選出重複的點數。撲克牌共有13種點數，所以這一步有13種可能。接著，還要再選第5張牌。因為同點數的4張牌已經全部用掉，剩下可以選的牌共有48張。因此，鐵支一共有： $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ 種不同的手牌。所以，隨機拿到鐵支的機率是： $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0.024% 。$

拿到葫蘆的機率

計算拿到葫蘆的機率，會比鐵支稍微複雜一些。首先，我們要選出一對的點數，這有13種可能。接著，再選出三條的點數，這有12種可能，因為三條不能和一對是同一個點數，所以要扣掉1種選擇。接下來，還要把花色的組合算進去。一對可以從4種花色中選出2種，所以有 $(\binom{4}{2})$ 種組合；三條則是從4種花色中選出3種，所以有 $(\binom{4}{3})$ 種組合。現在把這些數字乘起來，就可以得到葫蘆手牌的總數：

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744

因此，一共有3744種不同的葫蘆手牌。隨機拿到葫蘆的機率是 $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0.144%$ ，也就是說，拿到葫蘆的機率大約是拿到鐵支的6倍。

拿到同花的機率

同花指的是5張牌都是同一種花色。我們先選花色，總共有4種可能。接著，再從這個花色的13張牌中選出5張，這有 $(\binom{13}{5})$ 種選法。因此，不同的同花手牌總共有：

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148

隨機拿到同花的機率是 $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx 0.198% 。$

注意！這個公式也包含了同花順的可能性。同花順是一種特殊的同花，不只5張牌花色相同，點數還必須連續。如果您想計算的是一般的同花，也就是牌面點數沒有連續的同花，就需要從上面算出的機率中扣掉同花順的機率。下面會再說明同花順的計算方式。

拿到順子的機率

順子指的是5張牌的點數連續（每一張牌都比前一張大一個點數）。至於花色是什麼，這裡先不考慮。要計算這樣的手牌有多少種，我們可以先決定最大的一張牌是什麼。最大牌可以是 A、K、Q、J、10、9、8、7、6或5。這裡要注意，A 也可以當作最小的牌，出現在5-4-3-2-A這種順子裡。因此，最大牌的點數共有10種選擇。一旦最大牌決定了，剩下4張牌的點數也就跟著確定。接下來要選的是花色。每張牌都有4種花色可以選，而且5張牌要分別選花色，所以這裡用的是4中取5的重複排列，公式是 4⁵。因此，順子手牌的總數是：

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240

隨機拿到順子的機率是 $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx 0.394% 。$

注意！這個公式也包含了同花順的可能性。同花順是一種特殊的順子，不只點數連續，5張牌的花色也都相同。如果您想計算的是一般的順子，也就是5張牌並非全部同一花色的順子，就需要從上面算出的機率中扣掉同花順的機率。下面會再說明同花順的計算方式。

拿到同花順的機率

同花順是撲克牌中很有價值、也很少見的牌型之一。這種牌型和順子一樣，5張牌的點數必須連續；同時又和同花一樣，5張牌必須是同一種花色。要計算同花順有多少種，我們一樣先決定最大牌。和一般順子相同，最大牌共有10種選擇。當點數順序確定之後，接著只要選花色。花色共有4種，所以這一步有4種可能。因此，最後的公式是：

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40

一共只有40種同花順手牌，所以隨機拿到同花順的機率是 $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx 0.00154% 。$

注意！這個公式也包含了皇家同花順的可能性。皇家同花順會在下面說明。如果您想計算的是不包含皇家同花順的一般同花順，就需要從上面算出的機率中扣掉皇家同花順的機率。

拿到皇家同花順的機率

拿到皇家同花順的機率，比拿到同花順還要更低。原因很簡單：皇家同花順可以看成是最大牌為 A 的同花順。換句話說，皇家同花順的點數一定固定是 A、K、Q、J 和10。唯一會變的，只有花色。因為撲克牌只有4種花色，所以皇家同花順一共也只有4種手牌。隨機拿到皇家同花順的機率是 $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx 0.000154%$ 。這個機率是同花順機率的十分之一。

拿到三條的機率

要拿到三條，首先要選出三張相同點數的牌。撲克牌共有13種點數，所以這一步有13種可能。接著，要從剩下的12種點數中選出另外兩張牌的點數。這裡要特別注意，這兩張牌不能組成一對；否則拿到的就會是葫蘆，而不是三條。因此，我們要用12中取2的不重複組合來計算： $(\binom{12}{2})$ 。最後，還要選花色。三條的花色要從4種花色中選出3種，所以是 $(\binom{4}{3})$ 。另外兩張牌的點數不同，因此它們的花色可以各自從4種花色中選擇，也就是4中取2的重複排列，結果是 4²。把這些部分全部乘起來，公式就會變成：

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912

因此，拿到三條的機率是 $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx 2.11% 。$

拿到兩對的機率

拿到兩對一共有多少種可能呢？我們可以一步一步來看。首先，要選出兩對的點數，也就是從13種點數中選出2種： $(\binom{13}{2})$ 。接著，要選第5張牌的點數。因為這張牌不能和前面兩對的點數相同，所以剩下11種點數可以選： $(\binom{11}{1})$ 。第三步，要選每一對的花色。同一對裡的兩張牌，花色必須不同。因此，較小點數的那一對，有 $(\binom{4}{2})$ 種花色選法；較大點數的那一對，也有 $(\binom{4}{2})$ 種花色選法。最後，還要選第5張牌的花色，這有4種可能。把這些部分全部乘起來，就會得到：

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552

因此，拿到兩對的機率是 $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx 4.75% 。$

拿到一對的機率

最後，我們來看一對的機率。計算方式如下：1）先選出一對的點數： $(\binom{13}{1}) ；$ 2）再選出其餘3張牌的點數： $(\binom{12}{3}) ；$ 3）選出一對中兩張牌的花色： $(\binom{4}{2}) ；$ 4）最後，選出其餘3張牌的花色：4³。這裡可能會有一個疑問：為什麼選3張不同牌的點數時，要用組合 $(\binom{12}{3})$ ，但選它們的花色時，卻用 4³ 這種排列的公式呢？原因在於，選點數時，順序並不重要。比如說，選到三種點數，不管它們在手牌裡怎麼排，還是同一副手牌，所以要用組合。可是，這3張牌的點數彼此不同，本身就可以依照大小排出一個自然順序：最大、中間、最小。選花色時，我們就可以依照這個順序來看。先選最大點數那張牌的花色，再選中間點數那張牌的花色，最後選最小點數那張牌的花色。每一次都有4種花色可以選，所以一共有 $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ 種可能。

因此，一對手牌的總數是

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240 ，

拿到一對的機率則是 $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx 42.3%$ 。這個結果也可以自己做個小實驗來驗證。洗好一副牌，抽出5張，看看有沒有拿到一對，然後把結果記下來。多試幾次之後，您會發現，拿到一對的次數大約會略少於一半。

中威力彩頭獎的機率有多高？

許多國家都有樂透，玩法大多是從一大池號碼球中抽出幾顆球。只要選中的號碼和開出的號碼相同，就有機會中獎，而且頭獎獎金通常都相當可觀。以台灣常見的威力彩來說，選號分成兩區：第一區要從1到38中選出6個不重複的號碼，第二區則要從1到8中另外選出1個號碼。要中頭獎，第一區6個號碼和第二區號碼都必須完全對中。因此，所有可能的選號組合數可以用下面的公式表示：

(\binom{38}{6}) (\binom{8}{1}) = 2760681 \times 8 = 22085448

所以，威力彩一共有22,085,448種選號方式。換句話說，如果想保證自己一定中頭獎，就得買22,085,448張彩券。如果只買一張彩券，中頭獎的機率就是22,085,448分之1，也就是大約0.00000452%。

同樂會零食有幾種帶法？

在這個例子中，想像一下，班上要辦同樂會，老師請大家準備一些零食一起分享。現在有三種零食可以選：乖乖、蚵仔煎洋芋片和科學麵。您打算一共買5包，那麼總共有多少種不同的選法呢？

我們先來看條件。第一，可以選的零食種類有3種，所以 n = 3。第二，這些零食怎麼排列並不重要；意思是，先買乖乖再買科學麵，和先買科學麵再買乖乖，最後其實是同一種選法。第三，每一種零食都可以買不只一包。因此，這裡要使用的是3中取5的重複組合。公式如下：

E (3, 5) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21

所以，同樂會零食一共有21種選法。為了確認我們算得沒錯，可以把所有可能的組合列出來。為了讓表格簡短一點，我們把三種零食分別記為 A、B 和 C：

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

組合公式怎麼來的？

n 中取 k 的不重複組合

n 中取 k 的不重複組合公式，有時也會稱為「n 取 k」或「n 取 r」公式，可以寫成：

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

要確認這個公式為什麼成立，我們可以先想像一個選數字的過程：從1到 n 之間選出 k 個數字。一開始，我們先把選出的數字排成一個長度為 k 的序列。序列的第一個位置，可以放1到 n 之間的任何一個數字，所以有 n 種選擇。選好第一個數字之後，這個數字就從可選範圍中移除；因此，第二個位置就只剩下 n − 1 種選擇。接著，第二個數字也會被移除，到了第三個位置，就只剩下 n − 2 個數字可以選。這個過程一直繼續下去，直到長度為 k 的序列被填滿為止。要算出這類序列的總數，也就是 n 中取 k 的不重複排列數，我們要把每一步的選擇數相乘：

P (n, k) = \underset{k 個因數}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}}

不過，這個乘法其實就是 n! 裡面最大的 k 個因數相乘。因此，我們也可以把它改寫成：

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} ，

這裡分母中的階乘，會把分子中最小的 n − k 個因數約掉，剩下的部分就會和前面的乘法式相同。

但這還不是最終結果。到目前為止，我們算出來的是排列數，不是組合數。在排列裡，元素的順序很重要；剛才建立序列時，我們也確實有在意順序，先選第一個位置，再選第二個位置、第三個位置，依此類推。可是現在，我們想算的是組合，也就是只要選出的數字相同，不管順序如何，都要視為同一個組合。那麼，k 個不同的數字可以排出多少種不同的序列呢？答案很簡單，就是 k! 種。換句話說，同一組 k! 個數字，會對應到 k! 種排列。因此，要從排列數得到組合數，就需要把排列數除以 k!：

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

n 中取 k 的可重複組合

那麼，n 中取 k 的可重複組合公式是怎麼來的呢？我們可以先換一個方式想。n 個元素中的每一個，都可能被選0次、1次，一直到 k 次。因此，可以想像有 n 個盒子，從1編號到 n。每個盒子裡可以放0到 k 顆球，而所有盒子裡的球加起來，總數剛好是 k。在這個想法裡，盒子代表元素；某一個盒子裡有幾顆球，就表示對應的那個元素被選了幾次。

接下來的問題是：我們要怎麼用一串數字，描述每個盒子裡有幾顆球呢？可以這樣做。我們建立一個長度為 n − 1 的數列。這個數列中的第 i 個數字，表示從第1個盒子到第 i 個盒子為止，盒子數量和球數量加起來的總和。例如，數列中的第一個數字，是1加上第1個盒子裡的球數，所以它可能是1到 k + 1 之間的任何一個數。第二個數字，是2加上前兩個盒子裡的球數總和，所以它可能落在2到 k + 2 之間；但它一定要比第一個數字大。第三個數字，是3加上前三個盒子裡的球數總和，所以它可能落在3到 k + 3 之間，而且也一定要比第二個數字大。後面的數字也依此類推。這樣看下來，最後一個數字，也就是第 n − 1 個數字，會等於 n − 1 加上除了最後一個盒子以外，其他所有盒子裡的球數總和。它最小可以是 n − 1 ，這代表所有球都放在最後一個盒子裡；最大可以是 n − 1 + k，這代表最後一個盒子裡沒有球。

現在，我們再換個角度來看。假設有一組數字，從1到 n − 1 + k。從這些數字中，我們不重複地選出 n − 1 個數字，然後把它們由小到大排好。只要這樣做，我們就能知道每個盒子裡應該放幾顆球。換句話說，從 n − 1 + k 這一大組數字中，選出 n − 1 個數字的每一種方法，都會剛好對應到一種把 k 顆球分到 n 個盒子裡的方法。那麼，從 n − 1 + k 個數字中，不重複地選出 n − 1 個數字，有幾種選法呢？答案就是：

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!}

這已經很接近我們要的公式了。最後只要注意，分母中的兩個階乘可以交換順序，也就是：

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C (n + k - 1, k) ，

最後就得到：

E (n, k) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}

巴斯卡三角形與二項式係數

二項式是由兩個單項式相加而成的代數式，例如 $x + y$ 。當我們把 $x + y$ 提升到某個非負整數次方時，展開式中出現在 x 和 y 前面的那些數字，就稱為二項式係數。舉例來說： ${(x + y)}^{0} = 1 、$ ${(x + y)}^{1} = x + y 、$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} 、$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ ；在這幾個例子中，二項式係數依序是：1、1-1、1-2-1，以及1-3-3-1。有趣的是，二項式係數和 n 中取 k 的組合有密切關係。當我們把 ${(x + y)}^{n}$ 展開時， $x^{k} y^{n - k}$ 前面的係數就是 $(\binom{n}{k})$ 。例如，在 ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ 中， $x^{2} y$ 前面的係數是 $(\binom{3}{2}) = 3$ 。這個關係一般可以用下面的公式表示：

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

此外，二項式係數還會形成一個很有趣的圖形，也就是巴斯卡三角形：

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

巴斯卡三角形有一個很有趣的規律：下一列的數字，可以由上一列相鄰的兩個數字相加得到。例如，n = 4 這一列中的6，就是由上一列的3 + 3得來的。同樣地，n = 5 這一列中的10，則是由上一列的4 + 6得來的。這個規律可以用下面的等式表示：

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

二項式等式與恆等式

下面列出幾個和二項式係數有關、最常見的恆等式：

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

在 Python 中計算 n 取 k

在 Python 程式語言中，如果要計算 n 中取 k 的不重複組合數，可以使用 math 模組中的 comb 函式：

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

如果要計算 n 中取 k 的重複組合數，可以利用重複組合和不重複組合之間的關係式來求得：

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

如果想列出所有 n 中取 k 的不重複組合，Python 也有內建函式可以做到：

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

而如果想列出所有 n 中取 k 的重複組合，則可以使用：

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

如果想自己寫一個函式，計算 n 中取 k 的不重複組合數，可以參考下面這個例子：

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

至於計算 n 中取 k 的重複組合數的函式，則可以這樣寫：

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

如何使用組合計算器

組合計算器可以用來計算 n 中取 k 的組合，包含不重複和可重複兩種情況。要進行計算，請先在標有 n 的欄位中輸入可選元素的數量。接著，在標有 k 或 r 的欄位中輸入抽取數量。如果要計算的是重複組合，請勾選下方的核取方塊。最後按下「計算」按鈕，結果就會顯示在下方。

這個計算器特別適合處理很大的數字。像是 n = 1000000、k = 1000 這類輸入，計算起來也不成問題。遇到大數時，計算器會用兩種形式顯示結果：第一行會顯示科學記號的近似值，第二行則會顯示完整的精確答案。

計算器沒有預先設定的上限，不論 n 和 k 有多大，都會嘗試進行計算。至於能不能順利算出結果，則要看您的系統設定而定。以桌上型電腦上的新版 Chrome 瀏覽器來說，像 n = 8000000000、k = 10000000 這樣的輸入也可以輕鬆處理。舉個誇張一點的例子：如果小行星撞擊地球後，要從地球人口中選出10,000,000人登上巨大太空船，這個計算器也可以算出有多少種選法。不過，其他系統設定，尤其是行動裝置，處理這麼大的數字時可能就會比較吃力。

這個計算器還有幾個其他功能。您可以：

選擇結果要用哪一種進位制顯示。可以使用2到36之間的任一整數。預設進位制是10，也就是結果預設會以十進制顯示。如果選擇其他進位制，它只會用來顯示結果；輸入值一律會以十進制讀取。
點擊「清除」按鈕，清空 n 和 k 欄位，然後重新輸入想要的數值。
將結果複製到剪貼簿。若要使用這個功能，以及下面幾個功能，請按「結果」欄位上方對應的按鈕。
將結果下載並儲存為文字檔到您的裝置。
列印結果。
將結果連結複製到剪貼簿。
清除結果。

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Narkiewicz Adam. 組合計算器，https://minesweeper.us/踩地雷/組合計算器/，瀏覽日期：2026-08-18.

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參考資料

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

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