Kombinationsrechner

Willkommen beim Kombinationsrechner. Geben Sie die Anzahl der Elemente (n) und die Anzahl der Auswahlen (k oder r) ein. Klicken Sie auf das Kontrollkästchen, wenn Sie Wiederholung zulassen. Klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche „Berechnen“.

Anzahl der Elemente (n): Stichprobenumfang (k oder r): Wiederholung zulassen: Basis:

Ergebnis:

2026-08-02, von

Adam hat einen Doktortitel in Wirtschaftswissenschaften. Er ist für das Verfassen von Fachartikeln zuständig und leitet die Entwicklung von Online-Anwendungen. Sie finden ihn unter:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Die Formel für Kombinationen

Eine Kombination gibt an, welche k Elemente aus einer Gruppe von n Elementen ausgewählt werden sollen. Sie wird oft als „Kombination von k aus n Objekten“ bezeichnet, was nicht mit einer Variation von k aus n Objekten zu verwechseln ist. Bei Kombinationen spielt die Reihenfolge der ausgewählten Elemente keine Rolle, bei Variationen hingegen schon.

Auf wie viele Arten lassen sich k Elemente aus einer größeren Menge von n Elementen auswählen? Das Symbol für die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n (d. h. wenn jedes ausgewählte Element aus der Menge entfernt wird, sodass es nicht erneut ausgewählt werden kann) lautet $C (n, k) .$ Viele Quellen verwenden zudem die Bezeichnungen ${}_{n}C_{k}$ oder $(\binom{n}{k}),$ wobei letztere besonders verbreitet ist. Daher können wir

C (n, k) = {}_{n}C_{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

schreiben, dabei ist n! die Fakultät von n. Andererseits ist das Symbol für die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung von k aus n (d. h. ausgewählte Elemente kommen in die Menge zurück und können erneut ausgewählt werden) $E (n, k)$ , manchmal auch geschrieben als $((\binom{n}{k})) :$

E (n, k) = ((\binom{n}{k})) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Kombinationen und Variationen ohne Wiederholung stehen durch die Formel

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} .

in Beziehung zueinander. Die Anzahl der Variationen wird durch k! geteilt, um die Reihenfolge der Elemente zu berücksichtigen, die bei Kombinationen keine Rolle spielt, bei Variationen jedoch schon. Wenn Sie sich für Fälle interessieren, in denen die Reihenfolge der ausgewählten Elemente eine Rolle spielt, besuchen Sie bitte unseren Permutations- und Variationsrechner.

Beispiele für Kombinationen

Wie viele Handschläge gibt es in einer Gruppe von 100 Personen?

Stellen Sie sich vor, Sie sind gerade auf einer Cocktailparty angekommen. Es sind 100 Gäste anwesend (Sie selbst eingeschlossen). Während Sie versuchen, jede Person mit einem Handschlag zu begrüßen, fragen Sie sich, wie viele Handschläge es insgesamt gäbe, wenn sich alle gegenseitig begrüßen würden.

Es gibt n = 100 Personen. Wie viele verschiedene Paare lassen sich in dieser Gruppe bilden? Oder, mit anderen Worten: Wie viele Kombinationen von 2 aus 100 gibt es? Die Antwort lautet

C (100, 2) = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950 .

Es gäbe 4950 Handschläge. Beachten Sie, dass wir Kombinationen ohne Wiederholung verwenden, da eine Person sich nicht selbst die Hand geben kann!

Wie viele Pokerhände gibt es?

Betrachten wir ein Spiel ohne Joker; das heißt, unser Kartenspiel umfasst 52 Karten. Wir ziehen fünf Karten, ohne Wiederholung (da wir dieselbe Karte nicht zweimal ziehen können). Die Reihenfolge der Karten spielt keine Rolle. Daher können wir Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n verwenden, wobei k = 5 und n = 52:

(\binom{52}{5}) = 2598960 .

Daher gibt es beim Poker 2 598 960 verschiedene Hände. Nun können wir die Wahrscheinlichkeit, eine der bewerteten Pokerhände zu erhalten, berechnen.

Die Wahrscheinlichkeit, einen Vierling zu erhalten

Um einen Vierling zu erhalten, müssen wir zunächst den sich wiederholenden Wert auswählen (13 Möglichkeiten) und anschließend die fünfte Karte (48 Möglichkeiten). Es gibt also $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ verschiedene Hände mit einem Vierling. Daher liegt die Wahrscheinlichkeit, eine solche Hand zufällig zu erhalten, bei $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0,024 % .$

Die Wahrscheinlichkeit, ein Full House zu erhalten

Die Wahrscheinlichkeit für ein Full House zu berechnen, ist schwieriger. Zunächst müssen wir den Wert des Paares (13 Möglichkeiten) und den Wert des Drillings (12 Möglichkeiten – dieser darf nicht mit dem des Paares übereinstimmen, sodass eine Option wegfällt) festlegen. Als Nächstes müssen wir die verschiedenen Farbkombinationen berücksichtigen. Es gibt $(\binom{4}{2})$ Farbkombinationen für das Paar und $(\binom{4}{3})$ Farbkombinationen für den Drilling. Nun multiplizieren wir diese Zahlen und erhalten die Gesamtzahl der Möglichkeiten:

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744 .

Es gibt 3 744 verschiedene Hände mit einem Full House, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, eines davon zufällig zu erhalten, $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0,144 % .$ Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Full House zu erzielen, sechsmal so hoch ist wie die, einen Vierling zu erzielen.

Die Wahrscheinlichkeit, einen Flush zu erhalten

Ein Flush liegt vor, wenn wir fünf Karten derselben Farbe haben. Zunächst wählen wir die Farbe aus – es gibt vier Möglichkeiten. Dann wählen wir fünf der 13 Karten dieser Farbe aus: Es gibt $(\binom{13}{5})$ Arten, dies zu berechnen. Insgesamt beträgt die Anzahl der verschiedenen Flush-Hände:

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148 .

Die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Flush zu erhalten, beträgt $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx 0,198 % .$

Hinweis! Diese Formel berücksichtigt auch die Möglichkeit, einen Straight Flush zu erzielen, eine besondere Art von Flush, bei der die Karten nicht nur dieselbe Farbe haben, sondern auch in einer Reihenfolge aufeinanderfolgen. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit für einen „einfachen“ Flush berechnen möchten, bei dem die Karten nicht aufeinanderfolgen, müssen Sie den für den Straight Flush ermittelten Wert (siehe unten) von der oben berechneten Wahrscheinlichkeit abziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, einen Straight zu erhalten

Hier interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, eine Folge von fünf Karten zu erhalten, wobei jede Karte einen Wert höher ist als die vorherige – unabhängig von ihrer Farbe. Um die Anzahl solcher Hände zu ermitteln, müssen wir zunächst die höchste Karte festlegen. Die höchste Karte kann ein Ass, ein König, eine Dame, ein Bube, eine 10, eine 9, eine 8, eine 7, eine 6 oder eine 5 sein (das Ass kann in der Reihenfolge 5-4-3-2-Ass auch als niedrigste Karte dienen), sodass es 10 Möglichkeiten für den Wert der höchsten Karte gibt. Sobald wir die höchste Karte ausgewählt haben, werden die Werte aller verbleibenden Karten festgelegt. Nun müssen wir die Farben auswählen. Es gibt vier mögliche Farben, und wir wählen für jede der fünf Karten separat eine Farbe aus. Wir verwenden also Variationen mit Wiederholung von 5 aus 4, wofür die Formel 4⁵ lautet. Daher beträgt die Gesamtzahl der Hände mit einem Straight

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240 .

Die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Straight zu erhalten, beträgt $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx 0,394 % .$

Hinweis! Diese Formel berücksichtigt auch die Möglichkeit, einen Straight Flush zu erzielen, eine besondere Art von Straight, bei der die Karten nicht nur im Rang aufeinanderfolgen, sondern auch dieselbe Farbe haben. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit für einen „einfachen“ Straight berechnen möchten, bei der die Karten nicht dieselbe Farbe haben, müssen Sie den für den Straight Flush ermittelten Wert (siehe unten) von der oben berechneten Wahrscheinlichkeit abziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, einen Straight Flush zu erhalten

Ein Straight Flush gehört zu den wertvollsten und seltensten Pokerhänden. In dieser Hand liegen die Karten in einer Reihenfolge, wie bei einem Straight, gehören aber gleichzeitig zur selben Farbe, wie bei einem Flush. Um die Anzahl solcher Hände zu berechnen, müssen wir zunächst die höchste Karte auswählen. Genau wie bei einem einfachen Straight gibt es 10 Möglichkeiten. Nachdem die Kartenwerte festgelegt wurden, müssen wir die Farbe auswählen, wofür es vier Möglichkeiten gibt. Die endgültige Formel lautet

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40 .

Es gibt nur 40 solcher Hände, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Straight Flush zu erhalten, $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx 0,00154 % .$

Hinweis! Diese Formel beinhaltet auch die Wahrscheinlichkeit, einen Royal Flush zu erzielen (siehe unten). Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten, einen Straight Flush zu erhalten, der kein Royal Flush ist, müssen Sie den für den Royal Flush ermittelten Wert von der oben berechneten Wahrscheinlichkeit abziehen.

Die Wahrscheinlichkeit, einen Royal Flush zu erhalten

Die Wahrscheinlichkeit, einen Royal Flush zu erhalten, ist noch geringer als die Wahrscheinlichkeit, einen Straight Flush zu erzielen. Denn der Royal Flush ist im Prinzip ein Straight Flush, bei dem das Ass als die höchste Karte enthalten ist. Daher sind die Kartenwerte bei einem Royal Flush immer gleich: Ass, König, Dame, Bube und 10. Das Einzige, was sich ändern kann, ist die Kartenfarbe. Da es nur vier Farben gibt, gibt es nur vier Hände mit einem Royal Flush. Die Wahrscheinlichkeit, einen zu erhalten, beträgt $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx 0,000154 % .$ Das ist zehnmal geringer als die Wahrscheinlichkeit, einen Straight Flush zu erzielen.

Die Wahrscheinlichkeit, einen Drilling zu erhalten

Um einen Drilling zu erhalten, müssen wir zunächst den Wert der drei Karten festlegen. Es gibt 13 Möglichkeiten, dies zu tun. Anschließend müssen wir aus den verbleibenden 12 Werten die Werte der beiden anderen Karten auswählen. Wir müssen sicherstellen, dass wir kein Paar erhalten (sonst hätten wir ein Full House statt eines Drillings), daher verwenden wir Kombinationen ohne Wiederholung von 2 aus 12: $(\binom{12}{2}) .$ Zuletzt müssen wir die Farben auswählen. Zunächst wählen wir die Kartenfarben für die Drillinge aus: $(\binom{4}{3}) .$ Anschließend bestimmen wir die Farben der beiden verbleibenden Karten – und da sie unterschiedliche Werte haben, verwenden wir die Variationen mit Wiederholung von 2 aus 4. Dies gibt uns 4². Insgesamt ergibt sich daraus die Formel

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912 .

Die Wahrscheinlichkeit, einen Drilling zu erhalten, beträgt $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx 2,11 % .$

Die Wahrscheinlichkeit, zwei Paare zu erhalten

Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich zwei Paare bilden? Zunächst müssen wir die Werte für die Paare auswählen: $(\binom{13}{2}) .$ Als Nächstes müssen wir den Wert der fünften Karte auswählen: $(\binom{11}{1}) .$ Als dritten Schritt müssen wir die Farben der Karten in jedem Paar auswählen. Innerhalb jedes Paares müssen die Karten unterschiedliche Farben haben, sodass es $(\binom{4}{2})$ Möglichkeiten gibt, die Farben für das niedrigere Paar auszuwählen, und $(\binom{4}{2})$ Möglichkeiten, die Farben für das höhere Paar auszuwählen. Schließlich müssen wir eine Farbe für die fünfte Karte auswählen, und dafür gibt es vier Möglichkeiten. Wenn man also all diese Faktoren miteinander multipliziert, erhält man

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552 .

Die Wahrscheinlichkeit, zwei Paare zu erhalten, beträgt $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx 4,75 % .$

Die Wahrscheinlichkeit, ein Paar zu erhalten

Und als Letztes lässt sich die Wahrscheinlichkeit, ein Paar zu erhalten, wie folgt berechnen: 1) Wir wählen den Wert des Paares: $(\binom{13}{1});$ 2) Wir wählen die Werte der übrigen Karten: $(\binom{12}{3});$ 3) Wir wählen die Farben der Karten im Paar: $(\binom{4}{2});$ und 4) Wir wählen die Farben der übrigen drei Karten: 4³. Sie fragen sich vielleicht, warum wir die Werte der drei verschiedenen Karten mithilfe von Kombinationen bestimmen (daher $(\binom{12}{3})$ ), ihre Farben jedoch mithilfe von Variationen (daher 4³). Bei der Auswahl der Werte müssen wir Kombinationen verwenden, da es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge wir die Karten mit diesen Werten in unserer Hand anordnen – selbst wenn wir die Reihenfolge der Karten in unserer Hand ändern, handelt es sich immer noch um dieselbe Pokerhand. Da es sich jedoch um drei Karten mit unterschiedlichen Werten handelt, haben sie eine natürliche Reihenfolge – von der höchsten zur niedrigsten. Anhand dieser natürlichen Reihenfolge können wir jede Karte identifizieren, während wir ihre Farbe auswählen. Zunächst wählen wir die Farbe der Karte mit dem höchsten Wert aus. Anschließend wählen wir die Farbe für die mittlere Karte aus. Und schließlich wählen wir die Farbe der Karte mit dem niedrigsten Wert aus. Jede Auswahl bietet vier Optionen, was uns $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ Möglichkeiten gibt.

Daher beträgt die Gesamtzahl der Hände mit einem Paar

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240

und die Wahrscheinlichkeit, ein Paar zu erhalten, beträgt $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx 42,3 % .$ Sie können dieses Ergebnis mit einem Experiment überprüfen. Mischen Sie das Kartenspiel und ziehen Sie fünf Karten. Haben Sie ein Paar bekommen? Notieren Sie sich die Antwort. Wiederholen Sie diesen Vorgang mehrmals – Sie sollten in etwas weniger als der Hälfte der Fälle ein Paar erhalten.

Wie hoch sind die Gewinnchancen im Lotto?

In vielen Ländern gibt es eine Lotterie, bei der einige Kugeln mit Zahlen aus einem größeren Kugelsatz gezogen werden. Wer die richtigen Zahlen tippt, gewinnt – und die Gewinne sind oft sehr hoch. Ein bekanntes Beispiel ist in Deutschland die Lotterie 6 aus 49. Bei dieser Lotterie müssen Sie 6 Zahlen zwischen 1 und 49 (ohne Wiederholung) auswählen. Die Anzahl aller möglichen Kombinationen beträgt

(\binom{49}{6}) = 13983816 .

Daher gibt es 13 983 816 Möglichkeiten, Zahlen bei 6 aus 49 auszuwählen. Mit anderen Worten: Sie müssten 13 983 816 Lose kaufen, um sicherzugehen, dass Sie den Jackpot gewinnen. Wenn Sie nur ein Los kaufen, betragen Ihre Gewinnchancen 1 zu 13 983 816, was ungefähr 0,00000715 %.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, Snacks zur Party mitzubringen?

Stellen Sie sich in diesem Beispiel vor, Sie gehen zu einer Party bei einem Freund. Sie wurden gebeten, etwas zu essen mitzubringen. Es gibt drei Arten von Snacks: Chips, Kekse und Cracker. Sie möchten fünf Tüten kaufen. Wie viele mögliche Kombinationen gibt es?

Zunächst stellen wir fest, dass drei Elemente zur Auswahl stehen, also ist n = 3. Zweitens spielt die Reihenfolge, in der wir sie anordnen, keine Rolle. Drittens können wir von jeder Sorte mehr als eine Packung kaufen. Daher sollten wir Kombinationen mit Wiederholung von 5 aus 3 verwenden. Die Formel lautet

E (3, 5) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21 .

Es gibt 21 Möglichkeiten, die Snacks für die Party auszuwählen. Um zu überprüfen, ob wir alles richtig gemacht haben, listen wir alle möglichen Kombinationen auf (der Einfachheit halber bezeichnen wir die Snacks als A, B und C):

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

Erläuterung der Kombinationsformel

Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Objekten

Die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n (manchmal auch als „n über k“- oder „n über r“-Formel bezeichnet) lautet

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Um zu überprüfen, ob dies tatsächlich die richtige Formel ist, wollen wir den Vorgang der Auswahl von k Zahlen zwischen 1 und n näher betrachten. Zunächst ordnen wir die ausgewählten Zahlen in einer Folge der Länge k an. Die erste Stelle in der Folge kann von jeder der n Zahlen eingenommen werden. Nachdem die Zahl an erster Stelle aus der Menge entfernt wurde, stehen für den zweiten Platz in der Folge n − 1 Möglichkeiten zur Auswahl. Diese Zahl wird ebenfalls aus der Menge entfernt, sodass für den dritten Platz nur noch n − 2 Zahlen zur Auswahl stehen. Wir fahren fort, die Zahlen auf diese Weise auszuwählen, bis wir die gesamte Folge der Länge k vervollständigt haben. Um die Gesamtzahl solcher Folgen zu ermitteln (die der Anzahl der Variationen ohne Wiederholung von k aus n entspricht), müssen wir die Anzahl der Möglichkeiten, die uns bei jedem Schritt zur Verfügung stehen, miteinander multiplizieren:

P (n, k) = \underset{k Faktoren}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Diese Multiplikation ist jedoch lediglich das Produkt der k größten Faktoren einer Fakultät. Daher können wir dies als

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}

umschreiben, wobei die Fakultät im Nenner die n − k kleinsten Faktoren im Zähler wegkürzt, sodass das Ergebnis der vorherigen Formel entspricht.

Das ist aber noch nicht alles, denn bisher haben wir die Anzahl der Variationen berechnet, nicht die der Kombinationen. Bei Variationen spielt die Reihenfolge der Elemente eine Rolle; beim Erstellen der Folge haben wir auf die Reihenfolge geachtet – wir haben die Zahl für die erste Position ausgewählt, dann die für die zweite, die dritte und so weiter. Nun möchten wir alle Folgen, die aus denselben Zahlen bestehen, als eine einzige Kombination betrachten. Wie viele verschiedene Zahlenfolgen lassen sich also aus k verschiedenen Zahlen bilden? Die Antwort ist einfach: Es ist k!. Es gibt k!-mal so viele Variationen wie Kombinationen. Um die Anzahl der Kombinationen zu ermitteln, müssen wir die Anzahl der Variationen durch k! dividieren:

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Kombinationen mit Wiederholung von k aus n Objekten

Wie erhält man die Formel für die Kombinationen mit Wiederholung von k aus n? Jedes der n Elemente kann zwischen 0 und k Mal ausgewählt werden; stellen wir uns also n Kästchen vor, die von 1 bis n nummeriert sind. Jedes Kästchen enthält bis zu k Kugeln, und die Gesamtzahl der Kugeln in allen Kästchen beträgt k. Die Kästchen stehen für Elemente, und die Kugeln in einem bestimmten Kästchen geben an, wie oft wir das durch dieses Kästchen dargestellte Element auswählen.

Wie lässt sich mithilfe einer Zahlenfolge beschreiben, wie viele Kugeln sich in jedem Kästchen befinden? Wir können eine Folge von n − 1 Zahlen bilden, die wie folgt aufgebaut ist: Die i-te Zahl dieser Folge gibt an, wie viele Kugeln und Kästchen es insgesamt vom ersten bis zum i-ten Kästchen gibt. Beispielsweise ist die erste Zahl in dieser Folge Eins plus die Anzahl der Kugeln im ersten Kästchen (sie kann also zwischen 1 und k + 1 liegen). Die zweite Zahl ist gleich Zwei plus der Anzahl der Kugeln in den ersten beiden Kästchen (sie kann also zwischen 2 und k + 2 liegen, muss aber größer sein als die erste Zahl). Die dritte Zahl ist gleich Drei plus der Anzahl der Kugeln in den ersten drei Kästchen (eine Zahl zwischen 3 und k + 3, die jedoch größer ist als die zweite Zahl). Und so weiter. Es ist leicht zu erkennen, dass der Wert der letzten Zahl in dieser Folge gleich n − 1 plus der Anzahl der Kugeln in allen Kästchen außer dem letzten ist. Sein Wert kann so niedrig wie n − 1 sein (wenn sich alle Kugeln im letzten Kästchen befinden) oder so hoch wie n − 1 + k (wenn sich keine Kugeln im letzten Kästchen befinden).

Wechseln wir nun die Perspektive. Wir haben eine Menge von Zahlen von 1 bis n − 1 + k. Aus dieser Menge wählen wir n − 1 Zahlen ohne Wiederholung aus. Wir ordnen sie der Größe nach, von der kleinsten zur größten, und nun wissen wir, wie viele Kugeln in jedes Kästchen gehen. Jede Möglichkeit, n − 1 Zahlen aus der größeren Menge von n − 1 + k Zahlen auszuwählen, entspricht genau einer Möglichkeit, k Kugeln auf n Kästchen zu verteilen. Aber wie viele Möglichkeiten gibt es, n − 1 Zahlen ohne Wiederholung aus einer Menge von n − 1 + k Zahlen auszuwählen? Es ist

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} .

Das ist fast die Formel, nach der wir suchen. Der letzte Schritt besteht darin, zu erkennen, dass wir die Reihenfolge der Fakultäten im Nenner vertauschen können, also

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C (n + k - 1, k)

und schließlich

E (n, k) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Das Pascalsche Dreieck und die Binomialkoeffizienten

Ein Binom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Teilen (Gliedern) besteht, zum Beispiel $x + y .$ Binomialkoeffizienten sind die Zahlen, die neben x und y stehen, wenn $x + y$ mit einer nichtnegativen ganzzahligen Potenz potenziert werden. Beispielsweise ${(x + y)}^{0} = 1,$ ${(x + y)}^{1} = x + y,$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2},$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ – in diesen Beispielen lauten die Binomialkoeffizienten jeweils: 1, 1-1, 1-2-1 und 1-3-3-1. Es stellt sich heraus, dass Binomialkoeffizienten mit den Kombinationen von k aus n zusammenhängen: Wenn wir ${(x + y)}^{n}$ ausschreiben, lautet der Koeffizient neben $x^{k} y^{n - k}$ : $(\binom{n}{k}) .$ Beispielsweise ist in ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3},$ der Koeffizient neben $x^{2} y$ : $(\binom{3}{2}) = 3 .$ Generell lässt sich diese Tatsache ausdrücken mit der Formel

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .

Darüber hinaus bilden die Binomialkoeffizienten ein interessantes Muster – sie lassen sich in einem Dreieck anordnen, das gemeinhin als Pascalsches Dreieck bekannt ist:

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

Eine interessante Tatsache bezüglich des Pascalschen Dreiecks ist, dass sich die nächste Zeile durch Addition benachbarter Elemente aus der vorherigen Zeile bilden lässt. Beispielsweise stammt die 6 in der Zeile n = 4 aus der 3 + 3 in der vorhergehenden Zeile. Ebenso stammt die 10 in der Zeile n = 5 aus der 4 + 6 in der Zeile darüber. Diese Beobachtung fassen wir zusammen mit der Gleichung

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

Binomialgleichungen und Identitäten

Hier sind einige der bekanntesten Identitäten mit Binomialkoeffizienten:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

n über k in Python

In der Programmiersprache Python verwenden Sie zur Berechnung der Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n die Funktion „comb“ aus dem Modul „math“:

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

Für die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung von k aus n verwenden Sie die Formel, die Kombinationen mit Wiederholung mit Kombinationen ohne Wiederholung in Relation setzt:

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

Wenn Sie alle Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n anzeigen möchten, gibt es auch eine integrierte Funktion, die genau das tut:

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

Und um alle Kombinationen mit Wiederholung von k aus n anzuzeigen, verwenden Sie:

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

Wenn Sie eine eigene Funktion für die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n schreiben möchten, finden Sie hier ein Beispiel:

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

Und für eine Funktion zur Berechnung der Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung von k aus n verwenden Sie:

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

So verwenden Sie den Kombinationsrechner

Mit dem Kombinationsrechner können Sie Kombinationen von k aus n Objekten mit und ohne Wiederholung berechnen. Um eine Berechnung durchzuführen, geben Sie die Anzahl der verfügbaren Elemente in das mit dem Buchstaben n gekennzeichnete Feld ein. Geben Sie anschließend die Anzahl der Auswahlen in das mit k oder r gekennzeichnete Feld ein. Wenn Sie an Kombinationen mit Wiederholung interessiert sind, klicken Sie bitte auf das Kontrollkästchen unten. Klicken Sie abschließend auf die Schaltfläche „Berechnen“, woraufhin die Ergebnisse unten angezeigt werden.

Der Rechner eignet sich besonders gut für Berechnungen mit sehr großen Zahlen. Die Berechnung des Ergebnisses für Eingabewerte wie n = 1000000 und k = 1000 stellt kein Problem dar. Bei großen Zahlen zeigt der Rechner das Ergebnis in zwei Formen an. In der ersten Zeile wird eine Näherungslösung in wissenschaftlicher Notation angezeigt, in der zweiten Zeile die exakte Lösung.

Es gibt keine voreingestellten Grenzen, und der Rechner versucht, Berechnungen unabhängig von der Größe von n und k durchzuführen. Ob die Berechnungen erfolgreich sind, hängt von der Konfiguration Ihres Systems ab. Moderne Versionen des Chrome-Browsers auf Desktop-Computern können die Ergebnisse für Eingaben wie n = 8000000000 und k = 10000000 problemlos berechnen (auf wie viele Arten lassen sich 10 000 000 Überlebende auswählen, die nach einem Asteroideneinschlag, der die Erde zerstört hat, auf einem riesigen Raumschiff leben sollen?). Andere Systemkonfigurationen, insbesondere auf Mobilgeräten, könnten jedoch mit derart großen Zahlen Probleme haben.

Der Rechner verfügt über zahlreiche weitere Funktionen. Sie können:

Die Basis wählen, in der die Ergebnisse angezeigt werden sollen. Sie können jede ganze Zahl zwischen 2 und 36 verwenden. Die Standardbasis ist 10; das heißt, standardmäßig werden die Ergebnisse im Dezimalsystem angezeigt. Wenn Sie eine andere Basis auswählen, wird diese nur zur Darstellung der Ergebnisse verwendet. Die Eingabe wird stets im Dezimalsystem (Basis 10) gelesen.
Die Eingabefelder mit n und k löschen, indem Sie auf die Schaltfläche „Löschen“ klicken. Anschließend können Sie die gewünschten Werte erneut eingeben.
Das Ergebnis in die Zwischenablage kopieren. Um diese Funktion (und alle nachfolgenden Funktionen) zu nutzen, klicken Sie auf die entsprechende Schaltfläche oberhalb des Feldes „Ergebnis“.
Das Ergebnis herunterladen und als Textdatei auf Ihrem Gerät speichern.
Das Ergebnis ausdrucken.
Den Link zum Ergebnis in die Zwischenablage kopieren.
Das Ergebnisfeld löschen.

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Narkiewicz A., Kombinationsrechner, https://minesweeper.us/de/kombinationsrechner/, abgerufen am 2026-07-24.

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Literaturverzeichnis

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

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Die Formel für Kombinationen

Beispiele für Kombinationen

Wie viele Handschläge gibt es in einer Gruppe von 100 Personen?

Wie viele Pokerhände gibt es?

Die Wahrschein­lichkeit, einen Vierling zu erhalten

Die Wahrschein­lichkeit, ein Full House zu erhalten

Die Wahrschein­lichkeit, einen Flush zu erhalten

Die Wahrschein­lichkeit, einen Straight zu erhalten

Die Wahrschein­lichkeit, einen Straight Flush zu erhalten

Die Wahrschein­lichkeit, einen Royal Flush zu erhalten

Die Wahrschein­lichkeit, einen Drilling zu erhalten

Die Wahrschein­lichkeit, zwei Paare zu erhalten

Die Wahrschein­lichkeit, ein Paar zu erhalten

Wie hoch sind die Gewinn­chancen im Lotto?

Wie viele Möglich­keiten gibt es, Snacks zur Party mitzubringen?

Erläuterung der Kombinations­formel

Kombinationen ohne Wieder­holung von k aus n Objekten

Kombinationen mit Wieder­holung von k aus n Objekten

Das Pascalsche Dreieck und die Binomial­koeffizienten

Binomial­gleichungen und Identitäten