Combinatierekenmachine

Welkom bij de Combinatierekenmachine. Voer het aantal elementen (n) en het aantal trekkingen (k of r) in. Vink het vakje hieronder aan als je herhalingen wilt toestaan. Klik vervolgens op de knop “Berekenen”.

Aantal elementen (n): Steekproefgrootte (k of r): Herhalingen toestaan: Grondtal:

Resultaat:

2026-05-31, door

Adam heeft een PhD in economie, is verantwoordelijk voor het schrijven van technische artikelen en houdt toezicht op de ontwikkeling van online applicaties. Je kunt hem vinden op:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

De formule voor combinaties

Een combinatie vertelt je welke k elementen je kiest uit een verzameling van n elementen. Dit wordt vaak een combinatie van k elementen uit n elementen genoemd, en moet niet worden verward met een variatie van k elementen uit n elementen. Bij combinaties maakt de volgorde van de gekozen elementen niet uit, terwijl die bij variaties juist wel belangrijk is.

Op hoeveel manieren kun je k elementen kiezen uit een grotere verzameling van n elementen? Het symbool voor het aantal combinaties van k elementen uit n zonder herhaling (dus wanneer elk gekozen element uit de verzameling wordt verwijderd en niet opnieuw gekozen kan worden) is $C (n, k) .$ Veel bronnen gebruiken ook de notaties ${}_{n}C_{k}$ or $(\binom{n}{k}),$ waarbij de tweede erg populair is. Daarom kunnen we schrijven

C (n, k) = {}_{n}C_{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!},

waarbij n! de faculteit van n betekent. Aan de andere kant is het symbool voor het aantal combinaties van k elementen uit n met herhaling (waarbij gekozen elementen terugkeren naar de verzameling en opnieuw gekozen kunnen worden) $E (n, k)$ , soms ook geschreven als $((\binom{n}{k})) :$

E (n, k) = ((\binom{n}{k})) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Combinaties en variaties zonder herhaling zijn met elkaar verbonden via de formule

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} .

Het aantal variaties wordt gedeeld door k! om rekening te houden met de volgorde van de elementen, die bij combinaties niet belangrijk is, maar bij variaties wel. Als je geïnteresseerd bent in situaties waarin de volgorde van de gekozen elementen wél belangrijk is, bezoek dan onze Permutatie- en variatierekenmachine.

Om technische redenen gebruikt onze rekenmachine symbolen die typisch zijn voor Engelse bronnen, namelijk $C (n, k)$ voor combinaties zonder herhaling en $E (n, k)$ voor combinaties met herhaling.

Voorbeelden van combinaties

Hoeveel handdrukken zijn er mogelijk in een groep van 100?

Stel dat je net bent aangekomen op een cocktailparty. Er zijn 100 gasten aanwezig, inclusief jijzelf. Terwijl je iedereen met een handdruk probeert te begroeten, vraag je je af hoeveel handdrukken er in totaal zouden zijn als iedereen elkaar apart begroet.

Er zijn n = 100 personen. Hoeveel verschillende paren van personen kunnen er in deze groep worden gevormd? Of met andere woorden, hoeveel combinaties van 2 elementen uit 100 zijn er? Het antwoord is

C (100, 2) = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950 .

Er zouden 4.950 handdrukken zijn. Merk op dat we hier combinaties zonder herhaling gebruiken, omdat iemand zichzelf niet de hand kan schudden!

Hoeveel pokerhanden zijn er?

Laten we een spel zonder jokers bekijken; ons kaartspel bestaat dus uit 52 kaarten. We kiezen vijf kaarten zonder herhaling (want we kunnen dezelfde kaart niet twee keer trekken). De volgorde van de kaarten is niet belangrijk, daarom gebruiken we combinaties van k elementen uit n zonder herhaling, waarbij k = 5 en n = 52:

(\binom{52}{5}) = 2598960 .

Er zijn dus 2.598.960 verschillende pokerhanden. Met die kennis kunnen we de kans berekenen op het trekken van elke gerangschikte pokerhand.

Kans op een four of a kind

Om four of a kind te krijgen, moeten we eerst de waarde kiezen die vier keer voorkomt (13 mogelijkheden) en daarna de vijfde kaart kiezen (48 mogelijkheden). Er zijn dus $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ verschillende handen met four of a kind. Daarom is de kans om zo’n hand willekeurig te krijgen $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0,024% .$

Kans op een full house

Het berekenen van de kans op een full house is lastiger. Eerst moeten we de waarde van het paar kiezen (13 mogelijkheden) en de waarde van de drie kaarten (12 mogelijkheden – kan niet gelijk zijn aan het paar, dus er valt één optie af). Vervolgens moeten we rekening houden met de verschillende combinaties van kleuren. Er zijn $(\binom{4}{2})$ kleurcombinaties voor het paar en $(\binom{4}{3})$ kleurcombinaties voor de drie kaarten. Daarna vermenigvuldigen we deze aantallen om het totale aantal mogelijkheden te krijgen:

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744 .

Er zijn 3.744 verschillende handen met een full house, dus de kans om er willekeurig één te krijgen is $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0,144% .$ Dit betekent dat een full house zes keer zo waarschijnlijk is als een four of a kind.

Kans op een flush

Je hebt een flush wanneer je vijf kaarten van dezelfde kleur krijgt. Eerst kiezen we de kleur – er zijn vier mogelijkheden. Daarna kiezen we vijf kaarten uit de 13 kaarten van die kleur: dat kan op $(\binom{13}{5})$ manieren. In totaal is het aantal verschillende flush-handen dus:

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148 .

De kans om willekeurig een flush te krijgen is $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx 0,198% .$

Let op! Deze formule omvat ook de kans op een straight flush, een speciale soort flush waarbij de kaarten niet alleen dezelfde kleur hebben, maar ook opeenvolgend zijn. Als je de kans wilt berekenen op een “gewone” flush waarbij de kaarten niet opeenvolgend zijn, moet je de waarde van de straight flush (zie hieronder) aftrekken van de hierboven berekende kans.

Kans op een straight

Nu zijn we geïnteresseerd in een reeks van vijf kaarten – elke kaart één rang hoger dan de vorige, ongeacht de kleuren. Om het aantal van zulke handen te bepalen, moeten we eerst de hoogste kaart vastleggen. De hoogste kaart kan een aas, koning, vrouw, boer, 10, 9, 8, 7, 6 of 5 zijn (een aas kan ook als laagste kaart dienen in de reeks 5-4-3-2-aas), dus er zijn 10 mogelijkheden voor de rang van de hoogste kaart. Zodra we de hoogste kaart hebben gekozen, liggen de rangen van de overige kaarten vast. Daarna moeten we de kleuren kiezen. Er zijn vier mogelijke kleuren en we kiezen voor elk van de vijf kaarten afzonderlijk een kleur. We gebruiken dus variaties van 5 elementen uit 4 met herhaling, waarvoor de formule 4⁵. is. Daarom is het totale aantal handen met een straight:

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240 .

De kans om willekeurig een straight te krijgen is $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx 0,394% .$

Let op! Deze formule omvat ook de kans op een straight flush, een speciale straight waarbij de kaarten niet alleen opeenvolgend zijn, maar ook dezelfde kleur hebben. Als je de kans wilt berekenen op een “gewone” straight waarbij de kaarten niet allemaal dezelfde kleur hebben, moet je de waarde van de straight flush (zie hieronder) aftrekken van de hierboven berekende kans.

Kans op een straight flush

Een straight flush is een van de meest waardevolle en zeldzame pokerhanden. Bij deze hand liggen de kaarten in een reeks, zoals bij een straight, maar hebben ze ook dezelfde kleur, zoals bij een flush. Om het aantal van zulke handen te berekenen, moeten we eerst de hoogste kaart kiezen. Net als bij een gewone straight zijn daar 10 mogelijkheden voor. Nadat de waarden van de kaarten zijn vastgelegd, moeten we de kleur kiezen, en dat kan op vier manieren. De uiteindelijke formule is:

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40 .

Er zijn slechts 40 van zulke handen, dus de kans om willekeurig een straight flush te krijgen is $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx 0,00154% .$

Let op! Deze formule omvat ook de kans op een royal flush (zie hieronder). Als je de kans wilt berekenen op een straight flush die geen royal flush is, moet je de waarde van de royal flush aftrekken van de hierboven berekende kans.

Kans op een royal flush

De kans op een royal flush is nog kleiner dan de kans op een straight flush. Dat komt doordat een royal flush in feite een straight flush is met een aas als hoogste kaart. De waarden van de kaarten in een royal flush liggen dus altijd vast: aas, koning, vrouw, boer en 10. Het enige dat kan verschillen, is de kleur. Omdat er slechts vier kleuren zijn, bestaan er maar vier handen met een royal flush. De kans om er één te krijgen is $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx 0,000154% .$ Dit is 10 keer kleiner dan de kans op een straight flush.

Kans op een three of a kind

Om three of a kind te krijgen, moeten we eerst de waarde van de drie gelijke kaarten kiezen. Dat kan op 13 manieren. Vervolgens kiezen we uit de resterende 12 waarden de waarden van de twee andere kaarten. We moeten ervoor zorgen dat we geen paar krijgen (anders zouden we een full house hebben in plaats van een three of a kind), dus gebruiken we combinaties van 2 elementen uit 12 zonder herhaling: $(\binom{12}{2}) .$ Daarna kiezen we de kleuren. Eerst kiezen we de kleuren van de drie gelijke kaarten: $(\binom{4}{3}) .$ Vervolgens kiezen we de kleuren van de twee overige kaarten – omdat die verschillende waarden hebben, gebruiken we variaties van 2 elementen uit 4 met herhaling, wat 4² oplevert. Alles bij elkaar wordt de formule dan:

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912 .

De kans om een three of a kind te krijgen is $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx 2,11% .$

Kans op een two pair

Op hoeveel verschillende manieren kunnen we een two pair krijgen? Eerst moeten we de waarden van de paren kiezen: $(\binom{13}{2}) .$ Vervolgens moeten we de waarde van de vijfde kaart kiezen: $(\binom{11}{1}) .$ Daarna moeten we de kleuren kiezen van de kaarten in elk paar. Binnen elk paar moeten de kaarten een verschillende kleur hebben, dus er zijn $(\binom{4}{2})$ manieren om de kleuren te kiezen voor het lagere paar en $(\binom{4}{2})$ manieren om de kleuren te kiezen voor het hogere paar. Tot slot moeten we nog een kleur kiezen voor de vijfde kaart, en dat kan op vier manieren. Als we al deze factoren met elkaar vermenigvuldigen, krijgen we:

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552 .

De kans om two pair te krijgen is $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx 4,75% .$

Kans op een one pair

Tot slot kunnen we de kans op één paar als volgt berekenen: 1. We kiezen de waarde van het paar: $(\binom{13}{1});$ 2. We kiezen de waarden van de overige kaarten: $(\binom{12}{3});$ 3. We kiezen de kleuren van de kaarten in het paar: $(\binom{4}{2});$ 4. We kiezen de kleuren van de overige drie kaarten: 4³. Je vraagt je misschien af waarom we bij het kiezen van de waarden van de drie verschillende kaarten combinaties gebruiken (dus $(\binom{12}{3})$ ), maar bij hun kleuren variaties (dus 4³). We gebruiken combinaties bij het kiezen van de waarden, omdat de volgorde van de kaarten in je hand niet uitmaakt – als je de kaarten anders rangschikt, blijft het dezelfde pokerhand. Maar dit zijn drie kaarten met verschillende waarden, dus ze hebben een natuurlijke volgorde – van hoog naar laag. Die volgorde kunnen we gebruiken om elke kaart te onderscheiden bij het kiezen van de kleuren. We kiezen eerst de kleur voor de hoogste kaart, daarna voor de middelste kaart en tenslotte voor de laagste kaart. Elke keuze heeft vier mogelijkheden, wat in totaal $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ mogelijkheden geeft.

Het totale aantal handen met één paar is dus

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240

en de kans om één paar te krijgen is $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx 42,3% .$ Je kunt dit resultaat ook zelf controleren. Schud het kaartspel en trek vijf kaarten. Heb je een one pair? Noteer het antwoord. Herhaal dit meerdere keren – je zou iets minder dan de helft van de tijd one pair moeten krijgen.

Wat is de kans om de loterij te winnen?

Veel landen hebben een loterij waarbij een paar balletjes met nummers worden getrokken uit een grotere groep ballen. Wie de juiste nummers kiest, wint – en de prijzen zijn vaak erg hoog. In Nederland is de Lotto een populair voorbeeld. Bij deze loterij moet je zes nummers kiezen van 1 tot en met 45 (zonder herhaling). Het aantal mogelijke combinaties is:

(\binom{45}{6}) = 8145060 .

Daarom zijn er 8.145.060 manieren om nummers te kiezen bij de Lotto. Met andere woorden: je zou 8.145.060 loten moeten kopen om zeker te zijn dat je de jackpot wint. Als je maar één lot koopt, is je kans om te winnen 1 op 8.145.060, wat ongeveer 0,000012% is.

Op hoeveel manieren kun je snacks meenemen naar het feest?

In dit voorbeeld stel je je voor dat je naar een feestje gaat bij een vriend. Er is je gevraagd om iets mee te nemen, bijvoorbeeld snacks. Er zijn drie soorten snacks: chips, koekjes en crackers. Je bent van plan om vijf zakken te kopen. Hoeveel mogelijke combinaties zijn er?

Ten eerste zien we dat er drie elementen zijn om uit te kiezen, dus n = 3. Ten tweede maakt de volgorde waarin je ze rangschikt niet uit. Ten derde kun je van elk type snack meer dan één kopen. Daarom moeten we combinaties van 5 elementen uit 3 met herhaling gebruiken. De formule is:

E (3, 5) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21 .

Er zijn 21 manieren om snacks voor het feest te kiezen. Om te controleren of we het goed hebben, laten we alle mogelijke combinaties opsommen (om het kort te houden, noemen we de snacks A, B en C):

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

Formule voor combinaties uitgelegd

Combinaties van k elementen uit n zonder herhaling

De formule voor combinaties van k elementen uit n zonder herhaling (soms ook wel de “n over k”- of “n over r”-formule genoemd) is

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Om te controleren of dit inderdaad de juiste formule is, kijken we naar het proces waarbij je k getallen tussen 1 en n kiest. We beginnen door de gekozen getallen in een rij van lengte k te zetten. De eerste plek in de rij kan worden ingenomen door elk van de n getallen. Nadat het getal op de eerste plek uit de verzameling is gehaald, blijven n − 1 mogelijkheden over voor de tweede plek in de rij. Ook dit getal wordt uit de verzameling gehaald, zodat er nog maar n − 2 getallen overblijven om uit te kiezen voor de derde plek. Zo gaan we verder totdat de hele rij van lengte k is gevuld. Om het totale aantal van zulke rijen te krijgen (wat gelijk is aan het aantal variaties van k elementen uit n zonder herhaling), moeten we het aantal mogelijkheden dat we bij elke stap hebben met elkaar vermenigvuldigen:

P (n, k) = \underset{k factoren}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Deze vermenigvuldiging is echter gewoon het product van de k grootste factoren van een faculteit. Daarom kunnen we dit herschrijven als

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!},

waarbij de faculteit in de noemer de n − k kleinste factoren in de teller wegdeelt, zodat wat overblijft overeenkomt met de vorige formule.

Dit is echter nog niet het hele verhaal, want tot nu toe hebben we het aantal variaties berekend, niet het aantal combinaties. Bij variaties is de volgorde van elementen belangrijk; we hielden rekening met de volgorde bij het opstellen van de rij – we kozen een getal voor de eerste positie, daarna de tweede, de derde enzovoort. Nu willen we alle rijen die uit dezelfde getallen bestaan als één combinatie beschouwen. Dus, hoeveel verschillende rijen kunnen worden gemaakt met k verschillende getallen? Het antwoord is eenvoudig: k!. Er zijn k! keer zoveel variaties als combinaties. Om het aantal combinaties te krijgen, moeten we het aantal variaties delen door k!:

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Combinaties van k elementen uit n met herhaling

Hoe komen we aan de formule voor combinaties van k elementen uit n met herhaling? Elk van de n elementen kan tussen 0 en k keer worden gekozen, dus stel je n vakjes voor, genummerd van 1 tot n. Elk vakje bevat maximaal k ballen, en het totale aantal ballen over alle vakjes is gelijk aan k. De vakjes stellen elementen voor en de ballen in een bepaald vakje geven aan hoe vaak je het element kiest dat door dat vakje wordt weergegeven.

Hoe kun je beschrijven hoeveel ballen er in elk vakje zitten met behulp van een rij getallen? We kunnen een rij van n − 1 getallen maken die op de volgende manier is opgebouwd: het i-de getal in deze rij geeft aan hoeveel ballen en vakjes er samen zijn van het eerste tot en met het i-de vakje. Bijvoorbeeld, het eerste getal in deze rij is één plus het aantal ballen in het eerste vakje (dus dit kan variëren van 1 tot k + 1). Het tweede getal is twee plus het aantal ballen in de eerste twee vakjes (dus dit kan variëren van 2 tot k + 2, maar het moet groter zijn dan het eerste getal). Het derde getal is drie plus het aantal ballen in de eerste drie vakjes (dus tussen 3 en k + 3, maar groter dan het tweede getal). En zo verder. Het is eenvoudig te zien dat de waarde van het laatste getal in deze rij gelijk is aan n − 1 plus het aantal ballen in alle vakjes behalve het laatste. De waarde kan zo laag zijn als n − 1 (als alle ballen in het laatste vakje zitten) of zo hoog als n − 1 + k (als er geen ballen in het laatste vakje zitten).

Nu veranderen we het perspectief. We hebben een verzameling getallen van 1 tot n − 1 + k. Uit deze verzameling kiezen we, zonder herhaling, n − 1 getallen. We zetten ze in een rij van het kleinste naar het grootste en nu weten we hoeveel ballen er in elk vakje gaan. Elke manier om n − 1 getallen te kiezen uit de grotere verzameling van n − 1 + k getallen komt precies overeen met één manier om k ballen over n vakjes te verdelen. Maar hoeveel manieren zijn er om n − 1 getallen te kiezen uit een verzameling van n − 1 + k getallen zonder herhaling? Dat is

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} .

Dit is bijna de formule die we zoeken. De laatste stap is om te zien dat we de volgorde van de faculteiten in de noemer kunnen omwisselen, dat wil zeggen,

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C (n + k - 1, k),

en uiteindelijk

E (n, k) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Driehoek van Pascal en binomiaalcoëfficiënten

Een binomium is een optelling die uit twee termen bestaat, bijvoorbeeld $x + y .$ Binomiaalcoëfficiënten zijn de getallen die naast x en y staan wanneer je $x + y$ tot een niet-negatieve hele macht verheft. Bijvoorbeeld ${(x + y)}^{0} = 1,$ ${(x + y)}^{1} = x + y,$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2},$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ – in deze voorbeelden zijn de binomiaalcoëfficiënten respectievelijk: 1, 1-1, 1-2-1 en 1-3-3-1. Het blijkt dat binomiaalcoëfficiënten verband houden met combinaties van k elementen uit n: wanneer we ${(x + y)}^{n}$ uitschrijven, is de coëfficiënt die bij $x^{k} y^{n - k}$ staat $(\binom{n}{k}) .$ Bijvoorbeeld, in ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3},$ is de coëfficiënt die bij $x^{2} y$ staat $(\binom{3}{2}) = 3 .$ Dit feit kan in het algemeen worden uitgedrukt met de formule:

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .

Bovendien vormen binomiaalcoëfficiënten een interessant patroon – ze kunnen worden gerangschikt in een driehoek, die algemeen bekendstaat als de driehoek van Pascal:

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

Een interessant feit over de driehoek van Pascal is dat de volgende rij kan worden gevormd door aangrenzende elementen uit de vorige rij bij elkaar op te tellen. Bijvoorbeeld, de 6 in de rij n = 4 komt van 3 + 3 in de voorgaande rij. Op dezelfde manier komt de 10 in de rij n = 5 van 4 + 6 in de rij erboven. Deze observatie kan worden samengevat met de vergelijking

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

Binomiaalvergelijkingen en identiteiten

Hier zijn enkele van de bekendste identiteiten met binomiaalcoëfficiënten:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

k uit n in Python

Bij de programmeertaal Python gebruik je, om het aantal combinaties van k elementen uit n zonder herhaling te berekenen, de comb-functie uit de math-module:

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

Voor het aantal combinaties van k elementen uit n met herhaling gebruik je de formule die combinaties met herhaling relateert aan combinaties zonder herhaling:

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

Als je alle combinaties van k elementen uit n zonder herhaling wilt weergeven, is er ook een ingebouwde functie die dat doet:

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

En om alle combinaties van k elementen uit n met herhaling weer te geven, gebruik je:

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

Als je je eigen functie wilt schrijven voor het aantal combinaties van k elementen uit n zonder herhaling, is hier een voorbeeld:

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

En voor een functie die het aantal combinaties van k elementen uit n met herhaling berekent, kun je deze gebruiken:

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

Hoe gebruik je de Combinatierekenmachine?

De Combinatierekenmachine stelt je in staat om combinaties van k elementen uit n elementen met en zonder herhaling te berekenen. Om een berekening uit te voeren, voer je het aantal beschikbare elementen in in het veld met de letter n. Vervolgens voer je het aantal trekkingen in in het veld met k of r. Als je geïnteresseerd bent in combinaties met herhaling, vink je het selectievakje hieronder aan. Klik tot slot op de knop “Berekenen”; de resultaten worden daarna hieronder weergegeven.

De Combinatierekenmachine is bijzonder geschikt voor berekeningen met zeer grote getallen. Het berekenen van het resultaat voor invoer zoals n = 1000000 en k = 1000 vormt geen probleem. Voor grote getallen toont de Combinatierekenmachine het resultaat in twee vormen. In de eerste regel wordt een benadering in wetenschappelijke notatie weergegeven en in de tweede regel wordt de exacte oplossing getoond.

Er zijn geen vooraf ingestelde limieten. De Combinatierekenmachine probeert berekeningen uit te voeren, ongeacht de grootte van n en k. Of de berekeningen succesvol zijn, hangt af van de configuratie van je systeem. Moderne versies van de Chrome-browser op desktopcomputers kunnen gemakkelijk resultaten berekenen voor invoer zoals n = 8000000000 en k = 10000000 (op hoeveel manieren kun je 10.000.000 overlevenden selecteren om op een gigantisch ruimteschip te leven nadat een asteroïde-inslag de Aarde heeft vernietigd?). Andere systeemconfiguraties, vooral op mobiele apparaten, kunnen echter moeite hebben met zulke grote getallen.

De Combinatierekenmachine heeft nog enkele andere functies. Je kunt:

Het grondtal selecteren waarin je de resultaten wilt weergeven. Je kunt elk heel getal van 2 tot 36 gebruiken. Het standaardgrondtal is 10; dat betekent dat resultaten standaard in het decimale stelsel worden weergegeven. Als je een ander grondtal kiest, wordt dit alleen gebruikt om de resultaten weer te geven. De invoer wordt altijd gelezen met grondtal 10.
De velden n en k wissen door op de knop “Wissen” te klikken. Daarna kun je de gewenste waarden opnieuw invoeren.
Het resultaat naar het klembord kopiëren. Om deze functie te gebruiken (en alle volgende functies), klik je op de juiste knop boven het veld “Resultaat”.
Het resultaat downloaden en het als tekstbestand op je apparaat opslaan.
Het resultaat afdrukken.
De link naar het resultaat naar het klembord kopiëren.
Het resultaat wissen.

Deze content citeren of insluiten

Je mag deze website gratis gebruiken, ook voor commerciële doeleinden, zolang je deze website als bron vermeldt. Als je het citeert in een wetenschappelijke tekst, kun je de volgende verwijzing gebruiken:

Narkiewicz A., Combinatierekenmachine, https://minesweeper.us/mijnenveger/combinatierekenmachine/, geraadpleegd op 2025-05-19.

Om deze website online te citeren, kun je een link naar de startpagina (https://minesweeper.us/mijnenveger/combinatierekenmachine/) plaatsen of, als je naar een specifiek resultaat wilt linken, de knop “Resultaat kopiëren naar klembord” gebruiken.

Je kunt deze pagina ook op je eigen website insluiten met een iframe-element. Als je alleen de rekenmachine wilt laten zien en de rest van de content (menu’s, artikel, etc.) wilt verbergen, kun je de volgende URL in je src-attribuut gebruiken: https://minesweeper.us/mijnenveger/combinatierekenmachine/?iframe=1.

Vermeld deze pagina op je website als bron door hem te citeren met een klikbare link. Het is ook handig om ons even te laten weten dat je onze app op je site hebt ingesloten door een mailtje te sturen naar contact@simiade.com. Dan kunnen we je informeren als we iets aan de app veranderen waardoor webmasters misschien iets moeten aanpassen op hun website.

Referenties

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Contact

Als je vragen, opmerkingen of suggesties hebt, kun je hier je feedback achterlaten:

Of je kunt ons een brief sturen:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polen
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/nl/