Permutatie- en variatierekenmachine

Om het aantal variaties te berekenen, voer je het aantal opties (n) in, het aantal keer dat je mag kiezen (meestal aangeduid als k of r), en vink je het vakje “Herhalingen toestaan” aan als opties meer dan één keer gekozen mogen worden. Klik op de knop “Berekenen” en het resultaat wordt hieronder weergegeven.

Aantal elementen (n): Lengte van de reeks (k of r): Herhalingen toestaan: Grondtal:

Resultaat:

2026-05-30, door

Adam heeft een PhD in economie, is verantwoordelijk voor het schrijven van technische artikelen en houdt toezicht op de ontwikkeling van online applicaties. Je kunt hem vinden op:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Wat zijn variaties en permutaties?

Een variatie van k elementen uit n elementen is een manier om k elementen te rangschikken uit een grotere verzameling van n elementen. De Permutatie- en variatierekenmachine berekent het aantal van zulke rangschikkingen voor gegeven waarden van n en k. In sommige bronnen wordt de letter r gebruikt in plaats van k – die betekenen hetzelfde.

Een permutatie is een verandering in de volgorde van elementen in een reeks. Het aantal permutaties laat je zien op hoeveel verschillende manieren je een reeks elementen kunt herschikken.

Variaties van k elementen uit n elementen komen in twee varianten voor. Ten eerste heb je reeksen zonder herhaling; dat betekent dat elk van de n elementen in een reeks maximaal één keer gebruikt kan worden. Ten tweede, als elementen meerdere keren in een reeks mogen voorkomen, heb je variaties van k elementen uit n met herhaling. Met deze rekenmachine kun je beide soorten variaties berekenen.

Variaties en combinaties

Variaties worden vaak verward met combinaties. In het dagelijks taalgebruik heb je het bijvoorbeeld over een combinatie van cijfers waarmee je een slot of kluis opent. Strikt genomen is zo’n reeks cijfers voor het openen van een slot echter meestal een variatie met herhaling.

Het verschil tussen variaties en combinaties, zoals ze in de wiskunde worden gedefinieerd, is dat bij variaties de volgorde van de elementen belangrijk is. Daarom spreken we over rangschikkingen en reeksen. Bij combinaties is de volgorde juist niet belangrijk, waardoor het logischer is om te spreken over het kiezen van elementen en deelverzamelingen van elementen.

Een code waarmee je een slot opent is een reeks waarin de volgorde van de cijfers zeker wél belangrijk is. Daarom is het, hoewel het in het dagelijks taalgebruik vaak “combinatie” wordt genoemd, wiskundig gezien niet correct.

Als je geïnteresseerd bent in combinaties in plaats van variaties, bekijk dan onze Combinatierekenmachine.

De formule voor variaties

Laten we eerst variaties bekijken waarbij herhaling niet is toegestaan, dus variaties van k elementen uit n elementen zonder herhaling. Als je k-lange reeksen vormt met n elementen, dan wordt het aantal verschillende reeksen dat je kunt vormen gegeven door de formule:

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} .

n! in de formule betekent de faculteit van n. Naast $P (n, k)$ gebruiken sommige bronnen ook andere notaties:

P (n, k) = {}_{n}P_{k} = P_{n, k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Aan de andere kant gebruiken variaties van k elementen uit n elementen met herhaling de formule:

U (n, k) = n^{k} .

Dit is simpelweg n tot de macht k.

Om technische redenen gebruikt onze rekenmachine symbolen die typisch zijn voor Engelse bronnen, namelijk $P (n, k)$ voor permutaties en variaties zonder herhaling en $U (n, k)$ voor permutaties en variaties met herhaling.

De formule voor variaties uitgelegd

Stel dat we een reeks van lengte k willen vormen met n elementen. We kunnen elk van de n elementen op de eerste plek zetten. Bij variaties zonder herhaling wordt het gekozen element daarna uit de verzameling verwijderd, waardoor er voor de tweede plek nog maar $n - 1$ elementen overblijven. Vervolgens wordt ook dit tweede gekozen element verwijderd, zodat er voor de derde plek nog $n - 2$ elementen beschikbaar zijn. Dit proces gaat zo door totdat de hele reeks gevuld is, wat leidt tot de volgende formule:

P (n, k) = \underset{k factoren}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

We kunnen deze formule vervolgens vermenigvuldigen en delen door hetzelfde getal zonder de waarde te veranderen. We kiezen hiervoor slim $(n - k)!$ en we krijgen:

P (n, k) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

Voor variaties met herhaling is de situatie in eerste instantie vergelijkbaar: voor de eerste positie in de reeks kunnen we een van de n elementen kiezen. Maar omdat herhaling is toegestaan, wordt dit element niet uit de verzameling verwijderd, waardoor we voor de tweede positie nog steeds n elementen hebben om uit te kiezen. Hetzelfde geldt voor de derde positie, enzovoort. We maken k van deze keuzes, en de uiteindelijke formule wordt:

U (n, k) = \underset{k factoren}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Voorbeelden van variaties

Voorbeeld: hoeveel variaties zijn er van een spel kaarten?

Een standaard kaartspel bevat 52 kaarten. Wat is het aantal verschillende rangschikkingen van deze kaarten? Het totaal aantal beschikbare elementen is 52, dus n = 52. De lengte van de reeks, dus het aantal kaarten dat we in de rangschikking opnemen, is ook 52, omdat we alle kaarten willen rangschikken. Daarom k = 52. Er zijn geen herhalingen, omdat elke kaart in de rangschikking precies één keer voorkomt. Met deze gegevens hebben we alles wat we nodig hebben om de formule toe te passen:

P (52, 52) = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Dit is een zeer groot getal. Je kunt de exacte oplossing vinden door onze Permutatie- en variatierekenmachine te gebruiken. Omdat hier sprake is van een permutatie, d.w.z. een variatie waarbij de steekproefgrootte gelijk is aan het totale aantal elementen (k = n), vereenvoudigt de formule zich tot een simpele faculteit. Je kunt het exacte antwoord ook krijgen door de 52 faculteit te berekenen.

Voorbeeld: hoeveel drieletterwoorden kan ik maken van het woord BOEK?

We hebben vier verschillende letters en we willen zien hoeveel verschillende drieletterige rangschikkingen we daarmee kunnen maken. We mogen elke letter opnieuw maar één keer gebruiken, dus de formule is $P (4, 3) = 24 .$ Hieronder staan alle 24 variaties:

BOE

BOK

BEO

BEK

BKO

BKE

OBE

OBK

OEB

OEK

OKB

OKE

EBO

EBK

EOB

EOK

EKB

EKO

KBO

KBE

KOB

KOE

KEB

KEO

Voorbeeld: op hoeveel manieren kan ik 7 ballen van verschillende kleuren verdelen over 4 kinderen?

In dit voorbeeld willen we elk kind − Anne, Betty, Casper en Daan − één bal geven. We hebben zeven ballen: wit, oranje, blauw, groen, geel, paars en bruin. Op hoeveel verschillende manieren kunnen we elk kind één bal geven? Ook hier helpen variaties ons verder. Omdat we dezelfde bal niet aan meerdere kinderen kunnen geven, gebruiken we variaties zonder herhaling: $P (7, 4) = 840 .$

Er zijn dus 840 manieren om de ballen over de kinderen te verdelen.

Voorbeeld: op hoeveel manieren kun je uit een vereniging van 20 leden een voorzitter, een secretaris en een penningmeester kiezen?

Er zijn 20 personen die voorzitter kunnen worden. Laten we er eentje kiezen. Nu we een voorzitter hebben, zijn er nog 19 personen die secretaris kunnen worden. En ten slotte, als we een voorzitter en een secretaris hebben, zijn er nog 18 personen die penningmeester kunnen worden. We vermenigvuldigen deze aantallen en krijgen $20 \times 19 \times 18 = 6840$ mogelijke manieren om drie leden voor deze functies te kiezen.

In het algemeen geldt: wanneer je k verschillende functies hebt om in te vullen en een groep van n kandidaten, zijn er precies $P (n, k)$ manieren om dat te doen. In dit specifieke geval hebben we $P (20, 3) = 6840 .$

Voorbeeld: hoeveel “combinaties” zijn er voor een 4-cijferig slot als er geen nullen zijn toegestaan?

Dit is geen typisch slot, omdat de cijfers van 1 tot en met 9 lopen in plaats van van 0 tot en met 9. Het aantal elementen is dus n = 9. De lengte van de reeks is k = 4. Elk cijfer mag zo vaak gebruikt worden als nodig, dus in dit geval gebruiken we variaties met herhaling. De formule is

U (n, k) = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Er zijn 6.561 mogelijke “combinaties”. Als het één seconde kost om elke combinatie te controleren, zouden we het slot in minder dan twee uur moeten kunnen openen door alle combinaties na te gaan. Onthoud dat het woord “combinaties” in deze vraag strikt genomen niet correct is. Omdat de volgorde van de cijfers belangrijk is, zouden we hier moeten spreken over variaties met herhaling, niet over combinaties.

Voorbeeld: hoeveel wachtwoorden zijn er?

Het antwoord hangt af van de lengte van de wachtwoorden en het aantal beschikbare tekens. Als voorbeeld berekenen we het aantal wachtwoorden van 10 tekens. We hebben zowel kleine als hoofdletters (van a tot z en van A tot Z – dat zijn 52 letters), cijfers (van 0 tot en met 9) en speciale tekens (daar zijn er 30 van):

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

In totaal hebben we 52 + 10 + 30 = 92 verschillende tekens. We kunnen elk teken zo vaak gebruiken als we willen, dus we tellen variaties van k elementen uit n elementen met herhaling. De formule is:

U (n, k) = n^{k} = 92^{10} = 43.438.845.422.363.213.824 .

Dit is een enorm groot aantal unieke wachtwoorden. De kans is praktisch nul dat iemand je wachtwoord raadt door simpelweg alle mogelijke “combinaties” te proberen – zolang je de tekens willekeurig kiest en niet iets eenvoudigs gebruikt, zoals bijvoorbeeld qwerty12345 of Wachtwoord0!.

Variaties in Python

Als je het aantal variaties wilt berekenen in een programmeertaal zoals Python, kun je de formule voor variaties gebruiken om je eigen functie te maken:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

Op dezelfde manier kun je de formule voor variaties met herhaling gebruiken:

def nUk(n, k):
	return n**k

Als je geïnteresseerd bent in het genereren van alle variaties zonder herhaling, kun je schrijven:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

En voor variaties met herhaling:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Exponentiële rekenmachine voor grote getallen

Omdat de formule voor variaties met herhaling $U (n, k) = n^{k}$ is, kun je deze Permutatie- en variatierekenmachine ook gebruiken als exponentiële rekenmachine om de macht van een getal te berekenen. Dat kan handig zijn, vooral wanneer het resultaat enorm groot is (zo kun je bijvoorbeeld eenvoudig de exacte waarde van 3¹⁰⁰⁰ krijgen), omdat traditionele rekenmachines slecht omgaan met grote resultaten. Vink het vakje “Herhalingen toestaan” aan en voer het grondtal in als n en de exponent als k. Je kunt alleen niet-negatieve hele getallen gebruiken.

Hoe gebruik je de Permutatie- en variatierekenmachine?

Om deze rekenmachine te gebruiken, voer je het aantal elementen waaruit je kunt kiezen in het veld met de letter n in. De steekproefgrootte, dus de lengte van de reeks, voer je in het veld daaronder in (aangeduid met k of r). Als je geïnteresseerd bent in variaties met herhaling, vink je het vakje “Herhalingen toestaan” aan. Klik vervolgens op de knop “Berekenen” om de berekening uit te voeren of op “Wissen” om de waarden opnieuw in te voeren.

Het resultaat wordt weergegeven in het veld “Resultaat” hieronder. Als het resultaat klein is, wordt het op één regel getoond. Grotere getallen worden op twee manieren weergegeven: de benadering in wetenschappelijke notatie staat bovenaan en het exacte getal daaronder. Als er een fout optreedt tijdens de berekeningen, wordt die weergegeven in plaats van het resultaat.

De rekenmachine accepteert alleen niet-negatieve hele getallen. Voor variaties zonder herhaling moeten de ingevoerde waarden bovendien voldoen aan k ≤ n. Voor variaties met herhaling mogen beide waarden niet tegelijkertijd nul zijn, omdat de waarde van 0⁰ onbepaald is. Er is geen bovengrens voor de waarden die je invoert. Grote getallen zijn in veel gevallen prima te berekenen, zoals voor n = 8000000000 en k = 1000 (bijvoorbeeld het aantal manieren om de 1.000 rijkste mensen te kiezen uit de wereldbevolking). Nog veel grotere resultaten zijn ook mogelijk, afhankelijk van de configuratie van je systeem. Houd er wel rekening mee dat het berekenen van grote resultaten lang kan duren, of dat de website kan vastlopen als de berekeningen de capaciteit van je apparaat overschrijden.

Je kunt het grondtal kiezen waarin je de resultaten wilt laten weergeven. Standaard is dit 10 – dat betekent dat de resultaten in het decimale stelsel worden getoond. Voor het grondtal kun je elk geheel getal van 2 tot en met 36 gebruiken. Let op: alleen de resultaten worden weergegeven in het gekozen grondtal. De waarden die je invoert als n en k worden altijd geïnterpreteerd alsof ze in het decimale stelsel zijn geschreven.

Je hebt de mogelijkheid om: 1. het resultaat naar het klembord te kopiëren; 2. het resultaat als bestand te downloaden; 3. het resultaat af te drukken; 4. de link naar het resultaat naar het klembord te kopiëren; 5. het veld “Resultaat” te wissen. Om een van deze opties te gebruiken, klik je op het bijbehorende pictogram boven het veld “Resultaat”.

Deze content citeren of insluiten

Je mag deze website gratis gebruiken, ook voor commerciële doeleinden, zolang je deze website als bron vermeldt. Als je het citeert in een wetenschappelijke tekst, kun je de volgende verwijzing gebruiken:

Narkiewicz A., Permutatie- en variatierekenmachine, https://minesweeper.us/mijnenveger/permutatie-en-variatierekenmachine/, geraadpleegd op 2026-05-18.

Om deze website online te citeren, kun je een link naar de startpagina (https://minesweeper.us/mijnenveger/permutatie-en-variatierekenmachine/) plaatsen of, als je naar een specifiek resultaat wilt linken, de knop “Resultaat kopiëren naar klembord” gebruiken.

Je kunt deze pagina ook op je eigen website insluiten met een iframe-element. Als je alleen de rekenmachine wilt laten zien en de rest van de content (menu’s, artikel, etc.) wilt verbergen, kun je de volgende URL in je src-attribuut gebruiken: https://minesweeper.us/mijnenveger/permutatie-en-variatierekenmachine/?iframe=1.

Vermeld deze pagina op je website als bron door hem te citeren met een klikbare link. Het is ook handig om ons even te laten weten dat je onze app op je site hebt ingesloten door een mailtje te sturen naar contact@simiade.com. Dan kunnen we je informeren als we iets aan de app veranderen waardoor webmasters misschien iets moeten aanpassen op hun website.

Referenties

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Contact

Als je vragen, opmerkingen of suggesties hebt, kun je hier je feedback achterlaten:

Of je kunt ons een brief sturen:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polen
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/nl/