Calcolatore di combinazioni

Benvenuto nel Calcolatore di combinazioni. Inserisci il numero di elementi (n) e il numero di estrazioni (k o r). Seleziona la casella sottostante se desideri consentire la ripetizione. Quindi premi il pulsante “Calcola”.

Numero di elementi (n): Dimensione del campione (k o r): Consenti le ripetizioni: Base:

Risultato:

2026-05-04, da

Adam ha un dottorato di ricerca in economia, si occupa della scrittura di articoli tecnici e supervisiona lo sviluppo delle applicazioni online. Puoi trovarlo su:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

La formula delle combinazioni

Una combinazione ci dice quali k elementi selezionare da un gruppo di n elementi. È spesso chiamata combinazione di n elementi presi k a k, da non confondere con una disposizione di n elementi a k a k. Nelle combinazioni, l’ordine degli elementi selezionati non conta, mentre nelle disposizioni sì.

Quanti modi ci sono per selezionare k elementi da un insieme più grande di n elementi? Il simbolo per il numero di combinazioni semplici di n elementi presi k a k (cioè quando ogni elemento selezionato viene rimosso dal gruppo e non può essere selezionato di nuovo) è $C_{n, k} .$ Molte fonti usano anche i simboli ${}_{n}C_{k}$ o $(\binom{n}{k});$ quest’ultimo è molto popolare. Pertanto, possiamo scrivere

C_{n, k} = {}_{n}C_{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!},

dove n! indica il fattoriale di n. D’altra parte, il simbolo per il numero di combinazioni di n presi k con ripetizione (cioè gli elementi selezionati tornano nel gruppo e possono essere selezionati di nuovo) è ${C'}_{n, k}$ , a volte scritto anche come $((\binom{n}{k})) :$

{C'}_{n, k} = ((\binom{n}{k})) = C_{n + k - 1, k} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Combinazioni e disposizioni semplici sono correlate tra loro dalla formula

C_{n, k} = \frac{D_{n, k}}{k!} .

Il numero di disposizioni si divide per k! per tener conto dell’ordine degli elementi, che non conta nelle combinazioni ma conta nelle disposizioni. Se ti interessano situazioni in cui l’ordine degli elementi scelti è importante, visita il nostro Calcolatore di disposizioni e permutazioni.

Per ragioni tecniche, il nostro calcolatore adotta la notazione matematica inglese: $C (n, k)$ per indicare le combinazioni semplici e $E (n, k)$ per indicare le combinazioni con ripetizione.

Esempi di combinazioni

Quante strette di mano si possono scambiare in un gruppo di 100 persone?

Immagina di essere appena arrivato a una festa. Ci sono 100 ospiti (incluso te). Mentre cerchi di salutare ciascuno con una stretta di mano, ti chiedi quante strette di mano ci sarebbero in totale se ognuno stringesse la mano a tutti gli altri.

Ci sono n = 100 persone. Quante coppie diverse di persone si possono formare in questo gruppo? In altre parole, quante sono le combinazioni di 100 presi 2? La risposta è:

C_{100, 2} = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950 .

Ci sarebbero 4950 strette di mano. Nota che stiamo usando combinazioni semplici (senza ripetizione) perché una persona non può stringersi la mano da sola!

Quante mani di poker ci sono?

Consideriamo un gioco senza jolly; cioè, il nostro mazzo ha 52 carte. Selezioniamo cinque carte senza ripetizione (perché non possiamo pescare due volte la stessa carta). L’ordine delle carte non conta. Pertanto, possiamo usare le combinazioni semplici di n elementi presi k alla volta dove k = 5 e n = 52:

(\binom{52}{5}) = 2598960 .

Pertanto, ci sono 2.598.960 mani distinte nel poker. Sapendo ciò, possiamo calcolare la probabilità di pescare una qualsiasi delle mani classificate del poker.

Probabilità di ottenere un poker

Per ottenere un poker, dobbiamo prima selezionare il valore ripetuto (13 possibilità) e poi selezionare la quinta carta (48 possibilità). Ci sono quindi $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ mani diverse con un poker. Pertanto, la probabilità di ottenere un poker per caso è: $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0,024% .$

Probabilità di ottenere un full

Calcolare la probabilità di ottenere un full è più complicato. Prima, dobbiamo selezionare il valore della coppia (13 possibilità) e il valore del tris (12 possibilità: non può essere lo stesso della coppia, quindi si esclude una possibilità). Poi, dobbiamo considerare le diverse combinazioni di semi. Ci sono $(\binom{4}{2})$ combinazioni di semi per la coppia e $(\binom{4}{3})$ combinazioni di semi per il tris. Ora moltiplichiamo questi numeri per ottenere il numero totale di possibilità:

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744 .

Ci sono 3744 mani diverse con un full, quindi la probabilità di ottenerne una per caso è $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0,144% .$ Questo significa che ottenere un full è sei volte più probabile che ottenere un poker.

Probabilità di ottenere un colore

Un colore si verifica quando abbiamo cinque carte dello stesso seme. Prima selezioniamo il seme (ci sono quattro possibilità). Poi scegliamo cinque carte tra le 13 carte di quel seme: ci sono $(\binom{13}{5})$ modi per farlo. Complessivamente, il numero di mani diverse con un colore è:

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148 .

La probabilità di ottenere un colore per caso è $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx 0,198% .$

Attenzione! Questa formula include anche la possibilità di ottenere una scala colore, un tipo speciale di colore in cui le carte non sono solo dello stesso seme, ma anche in sequenza. Se vuoi calcolare la probabilità di ottenere un colore “semplice”, in cui le carte non sono in sequenza, devi sottrarre il valore ottenuto per la scala colore (vedi sotto) dalla probabilità calcolata sopra.

Probabilità di ottenere una scala

Qui ci interessa ottenere una sequenza di cinque carte (ciascuna carta di un valore superiore alla precedente) indipendentemente dal seme. Per determinare il numero di mani che formano una scala, dobbiamo prima specificare la carta più alta. La carta più alta può essere un asso, re, regina, fante, 10, 9, 8, 7, 6, 5 (l’asso può anche servire come carta più bassa nella sequenza 5-4-3-2-asso), quindi ci sono 10 possibilità per il valore della carta più alta. Una volta selezionata la carta più alta, i valori di tutte le altre carte sono determinati. Ora dobbiamo selezionare i semi. Ci sono quattro semi possibili e selezioniamo un seme per ciascuna delle cinque carte separatamente. Stiamo quindi utilizzando le disposizioni con ripetizione di 4 elementi a 5 a 5, per le quali la formula è 4⁵. Pertanto, il numero totale di mani con una scala è

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240 .

La probabilità di ottenere una scala per caso è $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx 0,394% .$

Attenzione! Questa formula include anche la possibilità di ottenere una scala colore, un tipo speciale di scala in cui le carte non sono solo in sequenza ma anche dello stesso seme. Se vuoi calcolare la probabilità di ottenere una scala “semplice”, in cui le carte non sono dello stesso seme, devi sottrarre il valore ottenuto per la scala colore (vedi sotto) dalla probabilità calcolata sopra.

Probabilità di ottenere una scala colore

Una scala colore è uno dei punti di poker più preziosi e rari. In questo punto, le carte sono in sequenza, come in una scala, ma sono anche dello stesso seme, come in un colore. Per calcolare il numero di mani con scala colore, dobbiamo prima scegliere la carta più alta. Come per una scala normale, ci sono 10 modi per farlo. Dopo aver specificato i valori delle carte, dobbiamo selezionare il seme, e ci sono quattro modi per farlo. La formula finale è:

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40 .

Esistono solo 40 mani di questo tipo, quindi la probabilità di ottenere una scala colore per caso è $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx 0,00154% .$

Attenzione! Questa formula include anche la possibilità di ottenere una scala reale (vedi sotto). Se vuoi calcolare la probabilità di ottenere una scala colore che non sia una scala reale, devi sottrarre il valore ottenuto per la scala reale dalla probabilità calcolata sopra.

Probabilità di ottenere una scala reale

La probabilità di ottenere una scala reale è ancora più bassa di quella di ottenere una scala colore. Questo perché la scala reale è come una scala colore con l’asso come carta più alta. Pertanto, i valori delle carte in una scala reale sono sempre gli stessi: asso, re, regina, fante e 10. L’unica cosa che può cambiare è il loro seme. Poiché esistono solo quattro semi, ci sono soltanto quattro mani con una scala reale. La probabilità di ottenerne una è $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx 0,000154% .$ Questo è dieci volte inferiore rispetto alla probabilità di ottenere una scala colore.

Probabilità di ottenere un tris

Per ottenere un tris, dobbiamo prima selezionare il valore ripetuto per le tre carte. Ci sono 13 modi per farlo. Poi dobbiamo scegliere i valori delle altre due carte dai restanti 12 valori. Dobbiamo assicurarci di non ottenere una coppia (altrimenti avremmo un full invece di un tris), quindi usiamo le combinazioni semplici di 12 elementi presi 2: $(\binom{12}{2}) .$ Infine, dobbiamo selezionare i semi. Prima scegliamo i semi del tris: $(\binom{4}{3}) .$ Poi scegliamo i semi delle due carte rimanenti: poiché sono di valore diverso, usiamo le disposizioni con ripetizione di 4 elementi a 2 a 2, che danno 4². Complessivamente, la formula diventa:

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912 .

La probabilità di ottenere un tris è $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx 2,11% .$

Probabilità di ottenere una doppia coppia

In quanti modi diversi possiamo ottenere una doppia coppia? Per prima cosa dobbiamo selezionare i valori delle coppie: $(\binom{13}{2}) .$ In secondo luogo, dobbiamo scegliere il valore della quinta carta: $(\binom{11}{1}) .$ In terzo luogo, dobbiamo selezionare i semi delle carte in ciascuna coppia. All’interno di ogni coppia le carte devono essere di semi diversi; quindi, ci sono $(\binom{4}{2})$ modi per selezionare i semi per la coppia di valore più basso e $(\binom{4}{2})$ modi per selezionare i semi per la coppia di valore più alto. Infine, dobbiamo selezionare un seme per la quinta carta e ci sono quattro modi per farlo. Pertanto, moltiplicando tutti questi fattori, otteniamo:

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552 .

La probabilità di ottenere una doppia coppia è $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx 4,75% .$

Probabilità di ottenere una coppia

Infine, la probabilità di ottenere una coppia può essere calcolata nel seguente modo: 1) scegliamo il valore della coppia: $(\binom{13}{1});$ 2) scegliamo i valori delle carte rimanenti: $(\binom{12}{3});$ 3) scegliamo i semi delle carte della coppia: $(\binom{4}{2});$ 4) scegliamo i semi delle tre carte rimanenti: 4³. Potresti chiederti perché scegliamo i valori delle tre carte diverse usando le combinazioni (quindi $(\binom{12}{3})$ ) ma i loro semi usando le disposizioni (quindi 4³). Dobbiamo usare le combinazioni quando scegliamo i valori perché non importa in quale ordine disponiamo le carte con quei valori nella nostra mano: se cambiamo l’ordine delle carte nella mano, si tratta comunque del stesso punto di poker. Tuttavia, queste sono tre carte di valori diversi, quindi hanno un ordine naturale, dal più alto al più basso. Possiamo usare questo ordine naturale per identificare ciascuna carta mentre selezioniamo i loro semi. Prima selezioniamo il seme per la carta di valore più alto, poi scegliamo il seme per la carta di valore intermedio e infine selezioniamo il seme per la carta di valore più basso. Ogni scelta offre quattro possibilità, il che ci dà $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ possibilità.

Pertanto, il numero totale di mani con una coppia è

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240

e la probabilità di ottenere una coppia è $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx 42,3% .$ Puoi verificare questo risultato sperimentalmente. Mescola il mazzo e pesca cinque carte. Hai ottenuto una coppia? Annota la risposta. Ripeti questo processo diverse volte: dovresti ottenere una coppia poco meno della metà delle volte.

Qual è la probabilità di vincere alla lotteria?

Molti paesi hanno una lotteria in cui vengono estratti alcuni numeri da un insieme più grande. Chi indovina i numeri giusti vince, e i premi possono essere molto elevati. Un esempio molto popolare in Italia è il SuperEnalotto. In questa lotteria devi scegliere 6 numeri da 1 a 90, senza ripetizione. Durante l’estrazione vengono poi estratti 6 numeri vincenti dallo stesso intervallo. Se indovini tutti e sei i numeri vinci il jackpot. Il numero totale di tutte le possibili combinazioni è

(\binom{90}{6}) = 622614630 .

Pertanto, ci sono 622.614.630 modi di scegliere i numeri nel SuperEnalotto. In altre parole, dovresti comprare 622.614.630 schedine per essere sicuro di vincere il jackpot. Se compri una sola schedina, le tue probabilità di vincere sono 1 su 622.614.630, che è circa il 0,000000161%.

Quante sono le combinazioni possibili per portare snack alla festa?

In questo esempio, immagina di andare a una festa a casa di un amico. Ti è stato chiesto di portare qualche snack. Ci sono tre tipi di snack: patatine, biscotti e cracker. Intendi comprare cinque confezioni. Quante combinazioni possibili ci sono?

Cominciamo osservando che ci sono tre elementi tra cui scegliere, quindi n = 3. Inoltre, l’ordine non è importante. Possiamo anche comprare più di una confezione dello stesso tipo di snack. Pertanto, dovremmo usare le combinazioni con ripetizione di 3 elementi presi 5 alla volta. La formula è

{C'}_{3, 5} = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21 .

Ci sono 21 modi per scegliere gli snack per la festa. Per verificare che sia corretto, possiamo elencare tutte le possibili combinazioni (per abbreviare, chiamiamo gli snack A, B e C):

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

Spiegazione della formula delle combinazioni

Combinazioni semplici di n elementi presi k alla volta

La formula per le combinazioni semplici di n elementi presi k alla volta (a volte chiamata anche formula “n di classe k”, o “n di classe r”) è:

C_{n, k} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Per verificare se questa è effettivamente la formula corretta, esaminiamo il processo di selezione di k numeri tra 1 e n. Inizieremo disponendo i numeri scelti in una sequenza di lunghezza k. Il primo posto nella sequenza può essere occupato da uno qualsiasi dei n numeri. Dopo che il numero nel primo posto è stato rimosso dal gruppo, ci sono n − 1 opzioni disponibili per il secondo posto nella sequenza. Anche questo numero viene rimosso dal gruppo, lasciando solo n − 2 numeri tra cui scegliere per il terzo posto. Continuiamo a selezionare i numeri in questo modo fino a riempire l’intera sequenza di lunghezza k. Per ottenere il numero totale di tali sequenze (che è uguale al numero di disposizioni semplici di n elementi a k a k), dobbiamo moltiplicare il numero di opzioni disponibili a ogni passaggio:

D_{n, k} = \underset{k fattori}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Tuttavia, questa moltiplicazione è semplicemente il prodotto dei k fattori più grandi di un fattoriale. Pertanto, possiamo riscriverla come

D_{n, k} = \frac{n!}{(n - k)!},

dove il fattoriale al denominatore annulla i n − k fattori più piccoli al numeratore, cosicché ciò che rimane corrisponda alla formula precedente.

Ma questa non è la fine, perché finora abbiamo calcolato il numero di disposizioni, non di combinazioni. Nelle disposizioni, l’ordine degli elementi conta; abbiamo considerato l’ordine quando abbiamo costruito la sequenza (abbiamo scelto il numero per il primo posto, poi per il secondo, il terzo e così via). Ora vogliamo considerare tutte le sequenze composte dagli stessi numeri come un’unica combinazione. Quante sequenze diverse si possono ottenere usando k numeri diversi? La risposta è semplice: k!. Ci sono k! disposizioni per ogni combinazione. Per ottenere il numero di combinazioni, dobbiamo dividere il numero di disposizioni per k!:

C_{n, k} = \frac{D_{n, k}}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Combinazioni con ripetizione di n elementi presi k alla volta

Come otteniamo la formula per le combinazioni con ripetizione di n elementi presi k alla volta? Ciascuno dei n elementi può essere scelto da 0 a k volte; quindi, immaginiamo n contenitori numerati da 1 a n. Ogni contenitore può contenere fino a k palline e il numero totale di palline in tutti i contenitori è k. I contenitori rappresentano gli elementi e le palline in un contenitore indicano quante volte scegliamo l’elemento rappresentato da quel contenitore.

Come descrivere quante palline ci sono in ciascun contenitore usando una sequenza di numeri? Possiamo creare una sequenza di n − 1 numeri costruita nel seguente modo: l’i-esimo numero in questa sequenza indica quante palline e quanti contenitori ci sono in totale dal primo all’i-esimo contenitore. Ad esempio, il primo numero in questa sequenza è uno più il numero di palline nel primo contenitore (quindi può essere qualsiasi valore da 1 a k + 1). Il secondo numero è due più il numero di palline nei primi due contenitori (quindi può essere qualsiasi valore da 2 a k + 2, ma deve essere maggiore del primo numero). Il terzo numero è tre più il numero di palline nei primi tre contenitori (qualsiasi valore tra 3 e k + 3, ma maggiore del secondo numero), e così via. È facile vedere che il valore dell’ultimo numero in questa sequenza è n − 1 più il numero di palline in tutti i contenitori tranne l’ultimo. Il suo valore può essere minimo n − 1 (se tutte le palline sono nell’ultimo contenitore) o massimo n − 1 + k (se non ci sono palline nell’ultimo contenitore).

Ora cambiamo prospettiva. Abbiamo un insieme di numeri da 1 a n − 1 + k. Da questo insieme di numeri selezioniamo n − 1 numeri, senza ripetizione. Li disponiamo in ordine crescente; ora sappiamo quante palline vanno in ciascun contenitore. Ogni modo di scegliere n − 1 numeri da un insieme più grande di n − 1 + k numeri corrisponde esattamente a un modo di distribuire k palline tra n contenitori. Ma quanti modi ci sono per selezionare n − 1 numeri, senza ripetizione, da un insieme di n − 1 + k numeri? È:

C_{n + k - 1, n - 1} = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} .

Questa è quasi la formula che stiamo cercando. L’ultimo passaggio è notare che possiamo scambiare l’ordine dei fattoriali al denominatore, cioè

C_{n + k - 1, n - 1} = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C_{n + k - 1, k}

e infine

{C'}_{n, k} = C_{n + k - 1, k} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Triangolo di Tartaglia e coefficienti binomiali

Un binomio è un’espressione che coinvolge due monomi, ad esempio $x + y .$ I coefficienti binomiali sono i numeri che compaiono nello sviluppo di $x + y$ elevato a una potenza intera non negativa. Prendiamo ${(x + y)}^{0} = 1,$ ${(x + y)}^{1} = x + y,$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2},$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} :$ in questi esempi, i coefficienti binomiali sono, rispettivamente, 1, 1-1, 1-2-1 e 1-3-3-1. Si scopre che i coefficienti binomiali sono collegati alle combinazioni di n presi k: quando sviluppiamo ${(x + y)}^{n},$ il coefficiente accanto a $x^{k} y^{n - k}$ è $(\binom{n}{k}) .$ Ad esempio, in ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3},$ il coefficiente accanto a $x^{2} y$ è $(\binom{3}{2}) = 3 .$ Questo fatto può essere espresso in generale con la formula

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .

Inoltre, i coefficienti binomiali formano uno schema interessante, poiché possono essere disposti in un triangolo, comunemente noto come triangolo di Tartaglia:

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

Un fatto interessante sul triangolo di Tartaglia è che la riga successiva può essere formata sommando gli elementi contigui della riga precedente. Ad esempio, il 6 nella riga n = 4 deriva da 3 + 3 nella riga precedente. Allo stesso modo, il 10 nella riga n = 5 deriva da 4 + 6 nella riga sopra. Questa osservazione può essere riassunta con l’equazione:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

Equazioni e identità binomiali

Ecco alcune delle identità più conosciute che coinvolgono i coefficienti binomiali:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

n elementi presi k alla volta in Python

Nel linguaggio di programmazione Python, per ottenere il numero di combinazioni con ripetizione di n elementi presi k alla volta, utilizza la funzione comb del modulo math:

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

Per il numero di combinazioni con ripetizione di n elementi presi k alla volta, utilizza la formula che collega le combinazioni con ripetizione alle combinazioni semplici:

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

Se vuoi visualizzare tutte le combinazioni semplici di n elementi presi k alla volta, esiste anche una funzione integrata che fa questo:

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

E per visualizzare tutte le combinazioni con ripetizione di n elementi presi k alla volta, usa:

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

Se vuoi scrivere la tua funzione per calcolare il numero di combinazioni semplici di n elementi presi k alla volta, ecco un esempio:

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

Se vuoi scrivere una funzione che calcola il numero di combinazioni con ripetizione di n elementi presi k alla volta, puoi usare:

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

Come utilizzare il Calcolatore di combinazioni

Il Calcolatore di combinazioni ti permette di calcolare le combinazioni semplici e con ripetizione di n elementi presi k alla volta. Per effettuare un calcolo, inserisci il numero di elementi disponibili nel campo contrassegnato con la lettera n. Poi, inserisci il numero di estrazioni nel campo contrassegnato con k o r. Se sei interessato alle combinazioni con ripetizione, seleziona la casella sottostante. Infine, premi il pulsante “Calcola” e i risultati verranno visualizzati qui sotto.

Il calcolatore è particolarmente adatto per calcoli che coinvolgono numeri molto grandi. Calcolare il risultato per valori come n = 1000000 e k = 1000 non sarà un problema. Per numeri grandi, il calcolatore mostra il risultato in due forme: nella prima riga mostra un’approssimazione in notazione scientifica, mentre nella seconda riga mostra la soluzione esatta.

Non ci sono limiti preimpostati; il calcolatore tenta di eseguire i calcoli indipendentemente dalla grandezza di n e k. Il successo dei calcoli dipende dalla configurazione del tuo sistema. Le versioni moderne di Chrome su computer desktop possono calcolare facilmente risultati per valori come n = 8000000000 e k = 10000000 (quante possibilità ci sono di scegliere 10.000.000 di sopravvissuti che vivano su un’astronave gigante dopo che un asteroide ha distrutto la Terra?). Tuttavia, altre configurazioni di sistema, specialmente sui dispositivi mobili, possono avere difficoltà con numeri così grandi.

Il calcolatore offre anche le seguenti funzionalità:

Selezionare la base in cui vuoi che i risultati siano visualizzati. Puoi usare qualsiasi numero naturale da 2 a 36. La base predefinita è 10; cioè, per impostazione predefinita i risultati sono mostrati usando il sistema decimale. Se selezioni una base diversa, questa verrà utilizzata solo per visualizzare i risultati. I valori inseriti vengono sempre interpretati in base 10.
Cancellare i campi n e k cliccando sul pulsante “Cancella”. Poi, puoi reinserire i valori desiderati.
Copiare il risultato negli appunti. Per usare questa funzione (e tutte le seguenti), premi il pulsante appropriato sopra il campo “Risultato”.
Scaricare il risultato e salvarlo sul dispositivo in un file di testo.
Stampare il risultato.
Copiare negli appunti il link al risultato.
Cancellare il risultato.

Cita o incorpora questo contenuto

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Narkiewicz A., Calcolatore di combinazioni, https://minesweeper.us/campo-minato/calcolatore-di-combinazioni/, consultato il 2026-04-09.

Per citare questo sito web su Internet, puoi inserire un link al suo URL principale (https://minesweeper.us/campo-minato/calcolatore-di-combinazioni/) oppure, se vuoi collegarti a un risultato specifico, puoi usare il pulsante “Copia il link negli appunti”.

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Bibliografia

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

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