排列計算器

要計算排列數，請先輸入可選元素的總數（n），再輸入要選取的次數，也就是序列長度，通常記為 k 或 r。如果同一個元素可以重複選取，請勾選「可重複選取」。接著按下「計算」按鈕，結果就會顯示在下方。

元素數量（n）：序列長度（k 或 r）：可重複選取：進位制：

結果：

2026-09-20，撰寫

Adam 擁有經濟學博士學位，負責撰寫技術文章，並督導線上應用程式的開發。您可以在以下平台找到他：
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

什麼是排列？

排列指的是改變一組元素在序列中的順序。排列數告訴我們，這些元素一共有多少種不同的排法。

所謂「n 中取 k 的排列」，就是從較大 n 個元素集合中選出 k 個，並把它們排成一個序列。排列計算器會根據您輸入的 n 和 k 算出這樣的排列共有多少種。有些資料會用 r 來代替 k，兩者表示的是同一個意思。

n 中取 k 的排列可以分成兩種情況。第一種是不放回，也就是不重複的排列；在這種情況下，n 個元素中的每一個，在同一個序列中最多只能出現一次。第二種是可放回，也就是可重複選取的排列；如果同一個元素可以在序列中出現多次，就屬於這一類。本計算器可以計算這兩種排列。

排列與組合

排列常常會和組合混在一起。比如說，在日常生活中，我們可能會說「打開鎖或保險箱的數字組合」。不過，嚴格來說，開鎖用的一串數字通常是「重複排列」。

在數學裡，排列和組合最大的差別，就在於「順序」要不要算進去。如果是排列，元素的先後順序很重要，所以我們會談到「排法」和「序列」。相反地，如果是組合，順序就不重要；這時候，比較適合說的是「選取元素」，或是討論「元素的子集」。

開鎖密碼是一串有順序的數列，而且數字的順序當然會影響結果。因此，把它稱為「組合」雖然在日常生活中很常見，但從數學角度來看，其實並不正確。

如果您想了解的是組合，而不是排列，可以前往我們的組合計算器。

排列公式

我們先來看不放回的排列，也就是 n 中取 k 不可重複的排列。如果要用 n 個元素排出長度為 k 的序列，那麼可以得到多少種不同的序列呢？答案可以用下面的公式表示：

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}

公式中的 n!，表示 n 的階乘。除了 $P (n, k)$ 之外，有些資料也會使用其他符號來表示排列：

P (n, k) = {}_{n}P_{k} = P_{n, k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}}

如果是可放回的排列，也就是 n 中取 k 的重複排列，則使用下面這個公式：

U (n, k) = n^{k}

這其實就是 n 的 k 次方。

排列公式怎麼來的？

我們可以想像一下：現在要用 n 個元素，排出一個長度為 k 的序列。第一個位置可以放什麼呢？因為一開始有 n 個元素可以選，所以第一個位置有 n 種選擇。如果是不可重複的排列，第一個元素選走之後，就不能再用了。因此，第二個位置只剩下 $n - 1$ 個元素可以選。接著，第二個元素也被選走，到了第三個位置，就只剩下 $n - 2$ 個元素可以選。這個過程一直繼續下去，直到整個序列都填滿為止，於是會得到下面的公式：

P (n, k) = \underset{k 個因數}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}}

接下來，我們可以讓這個式子同時乘以、再除以同一個數，這樣它的值不會改變。這裡選的是 $(n - k)!$ ，整理之後就會得到：

P (n, k) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!}

如果是重複排列，一開始的情況很相似：序列的第一個位置，一樣可以從 n 個元素中選一個。不同的是，因為可重複選取，被選過的元素不會從可選範圍中拿掉。所以到了第二個位置，仍然有 n 個元素可以選；第三個位置也是一樣，後面的每一個位置都如此。這樣一共選 k 次，最後公式就變成：

U (n, k) = \underset{k 個因數}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k}

排列的例子

例子：一副撲克牌有多少種排列？

一般一副撲克牌有52張牌。那麼，這52張牌總共有多少種不同的排法呢？在這個例子中，可用的元素總數是52，所以 n = 52。序列長度，也就是我們要放進排列中的牌數，也是52，因為我們要排列的是整副牌。因此，k = 52。這裡沒有重複的情況，因為每一張牌在排列中都只會出現一次。知道這些條件後，就可以套用公式：

P (52, 52) = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8.066 \times 10^{67}

這是一個非常大的數字。您可以使用我們的排列計算器，得到完整的精確答案。由於這裡的選取數量等於元素總數，也就是 k = n，所以公式會簡化成單純的階乘。因此，也可以直接計算52的階乘，得到同樣的答案。

例子：我可以用「一帆風順」組出多少個三字排列？

我們有四個不同的字，現在想看看，用這四個字可以排出多少種不同的三字排列。同樣地，每個字都只能使用一次，所以可以套用公式 $P (4, 3) = 24$ 。也就是說，一共有24種排列。下面列出全部24種可能：

一帆風

一帆順

一風帆

一風順

一順帆

一順風

帆一風

帆一順

帆風一

帆風順

帆順一

帆順風

風一帆

風一順

風帆一

風帆順

風順一

風順帆

順一帆

順一風

順帆一

順帆風

順風一

順風帆

例子：7 顆不同顏色的球，要分給 4 個小朋友，有幾種分法？

在這個例子中，我們要把球分給四個小朋友：小安、小美、小傑和小宇，而且每個人都拿到一顆球。有7顆球，顏色分別是白色、橘色、藍色、綠色、黃色、紫色和棕色。那麼，要從這7顆球中各選一顆分給4個小朋友，總共有多少種分法呢？這時候，排列就派上用場了。因為同一顆球不能同時分給兩個小朋友，所以我們要用「不放回」的排列來計算： $P (7, 4) = 840$ 。

因此，這7顆球分給4個小朋友，一共有840種不同的分法。

例子：從20位同學中選出班長、學藝股長和風紀股長，有幾種選法？

假設班上有20位同學。首先，班長可以從這20人當中選出1人。選出班長之後，剩下19人可以擔任學藝股長。接著，當班長和學藝股長都已經選好，風紀股長就可以從剩下的18人當中選出。所以，我們把這幾個數字相乘，就會得到： $20 \times 19 \times 18 = 6840$ 。也就是說，從20位同學中選出3人分別擔任這些職務，一共有6840種可能。

一般來說，只要有 k 個不同的職位要安排，又有 n 位候選人，就可以用 $P (n, k)$ 來計算共有多少種安排方式。在這個例子中，就是： $P (20, 3) = 6840$ 。

例子：如果密碼鎖是4位數，而且沒有0，會有多少種「組合」？

不是一般常見的密碼鎖，因為可用的數字是1到9，而不是0到9。因此，元素總數是 n = 9，序列長度則是 k = 4。每一個數字都可以重複使用，所以這裡要用重複排列來計算。公式如下：

U (n, k) = n^{k} = 9^{4} = 6561

因此，一共有6561種可能的「組合」。如果每試一次密碼需要1秒，那麼把所有可能都試過一遍，應該不到2小時就能打開這個鎖。不過要注意，題目中使用「組合」這個說法，其實並不完全符合數學上的定義。因為密碼中數字的順序會影響結果，所以嚴格來說，這裡討論的應該是「重複排列」，而不是組合。

例子：密碼有多少種可能？

密碼有多少種可能，主要取決於兩件事：密碼的長度，以及可以使用多少種字元。我們用一個例子來看。假設密碼長度是10個字元，而且可以使用英文小寫字母和大寫字母，也就是 a 到 z、A 到 Z，一共52個字母；另外還可以使用數字0到9，以及30個特殊字元：

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

總共可以使用的字元數就是：52 + 10 + 30 = 92，每一個字元都可以重複使用，所以這裡要計算的是「n 中取 k 的重複排列」。公式如下：

U (n, k) = n^{k} = 92^{10} = 43,438,845,422,363,213,824

這會得到一個非常大的密碼數量。換句話說，只要您的密碼是隨機選出的字元，而不是像 1qaz2wsx、12345678，或 iloveyou520 這種容易猜到的密碼，別人幾乎不可能單靠一個一個嘗試所有「組合」來猜中您的密碼。

Python 中的排列

如果想在 Python 這類程式語言中計算排列數，可以直接依照排列公式，自己寫一個函式：

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

同樣地，也可以使用對應的重複排列公式：

def nUk(n, k):
	return n**k

如果您想產生所有不重複的排列，可以這樣寫：

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

而如果是重複排列，則可以這樣寫：

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

大數用的指數計算器

因為重複排列公式是 $U (n, k) = n^{k}$ ，所以這個排列計算器也可以當作指數計算器，用來計算一個數的次冪。這在結果非常大的時候特別方便。比如說，想得到 3¹⁰⁰⁰ 的精確值，用一般計算器可能不容易處理，但用這個工具就可以很快算出來。使用方式也很簡單：勾選「可重複選取」，把要被乘方的數輸入為 n，把指數輸入為 k。要注意的是，這裡只能使用非負整數。

如何使用排列計算器

要使用這個計算器，請先在標有 n 的欄位中，輸入可供選取的元素數量。接著，在下方標有 k 或 r 的欄位中，輸入選取數量，也就是序列的長度。如果要計算重複排列，請勾選「可重複選取」。然後，按下「計算」按鈕開始計算；如果想重新輸入數值，則可以按「清除」。

計算結果會顯示在下方的「結果」欄位中。如果結果較小，會以單行顯示。若結果很大，系統會用兩種方式呈現：上方顯示科學記號的近似值，下方則顯示完整的精確數字。如果計算過程中發生錯誤，錯誤訊息會取代結果顯示在這裡。

這個計算器只接受非負整數。若是不重複的排列，輸入的數字還必須符合 k ≤ n。若是重複排列，n 和 k 不能同時為0，因為0的0次方沒有定義。輸入數值沒有固定上限。像是 n = 8000000000、k = 1000 這類大數（從地球人口中選出1000人有幾種選法），也應該可以順利計算。至於更大的結果是否能算出來，則要看您的系統設定而定。不過要注意，計算很大的結果可能需要較長時間；如果計算量超過裝置負荷，網站也可能會當掉。

您也可以選擇結果要用哪一種進位制顯示。預設是10，也就是以十進制顯示。進位制可以設定為2到36之間的任一整數。不過，只有「結果」會依照您選擇的進位制顯示；您輸入的 n 和 k，系統一律會視為十進制數字來處理。

計算完成後，您可以選擇：1）將結果複製到剪貼簿，2）將結果下載為檔案，3）列印結果，4）將結果連結複製到剪貼簿，或5）清除「結果」欄位。若要使用這些功能，請點擊「結果」欄位上方相對應的圖示。

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Narkiewicz Adam. 排列計算器，https://minesweeper.us/踩地雷/排列計算器/，瀏覽日期：2026-08-18.

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參考資料

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

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