Kombinaatiolaskin

Tervetuloa kombinaatiolaskimeen. Syötä alkioiden määrä (n) ja poimintojen määrä (k tai r). Valitse alla oleva ruutu, jos sallit toistot. Paina sitten ”Laske”-painiketta.

Alkioiden määrä (n): Otoksen koko (k tai r): Salli toistot: Kantaluku:

Tulos:

2026-10-07, tekijä

Adam on kauppatieteiden tohtori, vastaa teknisten artikkelien kirjoittamisesta ja valvoo verkkosovellusten kehitystä. Löydät hänet täältä:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Kombinaatiokaava

Kombinaatio kertoo meille, mitkä k kohdetta valitaan n kohteen joukosta. Sitä kutsutaan usein n:n k-kombinaatioksi, mitä ei pidä sekoittaa n:n k-variaatioon. Kombinaatioissa valittujen kohteiden järjestyksellä ei ole merkitystä, ja variaatioissa taas on.

Kuinka monella tavalla voidaan valita k alkiota suuremmasta n alkion joukosta? Symboli n:n k-kombinaatioiden määrälle ilman toistoja (eli kun jokainen valittu alkio poistetaan käytettävissä olevien joukosta niin, ettei sitä voida valita uudelleen) on $C (n, k) .$ Monissa lähteissä käytetään myös symboleita ${}_{n}C_{k}$ tai $(\binom{n}{k}),$ joista jälkimmäinen on hyvin suosittu. Voimme siis kirjoittaa

C (n, k) = {}_{n}C_{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!},

jossa n! tarkoittaa n:n kertomaa. Toisaalta symboli n:n k-kombinaatioiden määrälle toistoilla (eli valitut alkiot palaavat käytettävissä olevien joukkoon ja voidaan valita uudelleen) on $E (n, k)$ , joka kirjoitetaan joskus myös $((\binom{n}{k})) :$

E (n, k) = ((\binom{n}{k})) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Kombinaatiot ja variaatiot ilman toistoja liittyvät toisiinsa kaavalla

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} .

Variaatioiden lukumäärä jaetaan k!:lla alkioiden järjestyksen huomioimiseksi. Järjestyksellä ei ole merkitystä kombinaatioissa, mutta variaatioissa on. Jos olet kiinnostunut tilanteista, joissa valittujen kohteiden järjestyksellä on väliä, tutustu permutaatio- ja variaatiolaskimeemme.

Esimerkkejä kombinaatioista

Kuinka monta kättelyä 100 ihmisen ryhmässä?

Kuvittele, että olet juuri saapunut cocktailkutsuille. Vieraita on 100 (mukaan lukien sinä). Pyrkiessäsi tervehtimään jokaista kättelemällä, mietit, kuinka monta kädenpuristusta tapahtuisi yhteensä, jos kaikki tervehtisivät kaikkia.

Ihmisiä on n = 100. Kuinka monta eri ihmisparia tästä ryhmästä voidaan muodostaa? Tai toisin sanoen kuinka monta 100:n 2-kombinaatiota on olemassa? Vastaus on

C (100, 2) = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950 .

Kädenpuristuksia olisi 4950. Huomaa, että käytämme kombinaatioita ilman toistoja, koska ihminen ei voi kätellä itseään!

Kuinka monta pokerikättä on olemassa?

Ajatellaan peliä ilman jokereita, eli pakassamme on 52 korttia. Valitsemme viisi korttia ilman toistoja (koska emme voi nostaa samaa korttia kahdesti). Korttien järjestyksellä ei ole väliä. Siksi voimme käyttää n:n k-kombinaatioita ilman toistoja, jossa n = 52 ja k = 5:

(\binom{52}{5}) = 2598960 .

Siispä pokerissa on 2 598 960 erilaista kättä. Kun tiedämme tämän, voimme laskea todennäköisyyden saada mikä tahansa arvotetuista pokerikäsistä.

Nelosten todennäköisyys

Neljän saman saamiseksi meidän tulee ensin valita toistettava arvo (13 vaihtoehtoa) ja sitten viides kortti (48 vaihtoehtoa). On siis $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ erilaista kättä, joissa on neloset. Todennäköisyys saada tällainen käsi sattumalta on siis $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0,024 % .$

Täyskäden todennäköisyys

Täyskäden todennäköisyyden laskeminen on vaikeampaa. Ensiksi meidän täytyy valita parin arvo (13 vaihtoehtoa) ja kolmosten arvo (12 vaihtoehtoa – tämä ei voi olla sama kuin parilla, joten yksi vaihtoehto poistuu). Seuraavaksi meidän on otettava huomioon erilaiset maiden yhdistelmät. Parille on $(\binom{4}{2})$ mahdollista yhdistelmää ja kolmosille $(\binom{4}{3})$ yhdistelmää. Nyt kerromme nämä luvut saadaksemme mahdollisuuksien kokonaismäärän:

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744 .

Erilaisia täyskäsiä on 3744, joten todennäköisyys saada sellainen sattumalta on $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0,144 % .$ Tämä tarkoittaa, että täyskäden saaminen on kuusi kertaa niin todennäköistä kuin nelosten.

Värin todennäköisyys

Väri tarkoittaa, että meillä on viisi samaa maata olevaa korttia. Valitaan ensin maa – vaihtoehtoja on neljä. Sitten valitaan viisi kyseisen maan 13 kortista: sen voi tehdä $(\binom{13}{5})$ tavalla. Kaiken kaikkiaan erilaisten värikäsien määrä on

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148 .

Todennäköisyys saada väri sattumalta on $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx 0,198 % .$

Huomaa! Tämä kaava sisältää myös mahdollisuuden saada värisuora eli värin erityistapaus, jossa kortit ovat saman maan lisäksi myös peräkkäisiä. Jos haluat laskea todennäköisyyden saada ”tavallinen” väri, jossa kortit eivät ole peräkkäisiä, vähennä värisuoran laskelmalla (katso alla) saatava arvo yllä lasketusta todennäköisyydestä.

Suoran todennäköisyys

Tässä on kyse viiden kortin jonosta – kukin kortti on arvoltaan edellistä korttia yhden korkeampi – maista riippumatta. Tällaisten käsien lukumäärän selvittämiseksi meidän tulee ensin määrittää korkein kortti. Korkein kortti voi olla ässä, kuningas, kuningatar, jätkä, 10, 9, 8, 7, 6 tai 5 (ässä voi toimia myös alimpana korttina järjestyksessä 5-4-3-2-A), joten korkeimman kortin arvolle on 10 vaihtoehtoa. Kun korkein kortti on valittu, kaikkien jäljellä olevien korttien arvot määrittyvät sen mukaan. Nyt meidän täytyy valita maat. Mahdollisia maita on neljä, ja valitsemme maan erikseen kullekin viidestä kortista. Käytämme näin ollen 4:n 5-variaatioita toistoilla, ja tämän kaava on 4⁵. Siksi suoran sisältävien käsien kokonaismäärä on

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240 .

Todennäköisyys saada suora sattumalta on $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx 0,394 % .$

Huomaa! Tämä kaava sisältää myös mahdollisuuden saada värisuora eli suoran erityistapaus, jossa kortit ovat peräkkäisyyden lisäksi myös samaa maata. Jos haluat laskea todennäköisyyden saada ”tavallinen” suora, jossa kortit eivät ole samaa maata, vähennä värisuoran laskelmalla (katso alla) saatava arvo yllä lasketusta todennäköisyydestä.

Värisuoran todennäköisyys

Värisuora on yksi arvokkaimmista ja harvinaisimmista pokerikäsistä. Tässä kädessä kortit ovat peräkkäisiä kuten suorassa, mutta myös samaa maata kuten värissä. Tällaisten käsien lukumäärän laskemiseksi meidän on ensin valittava korkein kortti. Kuten tavallisessakin suorassa tämän voi tehdä 10 tavalla. Kun korttien arvot on määritetty, meidän on valittava maa, ja tämän voi tehdä neljällä tavalla. Lopullinen kaava on

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40 .

Tällaisia käsiä on vain 40, joten todennäköisyys saada värisuora sattumalta on $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx 0,00154 % .$

Huomaa! Tämä kaava sisältää myös mahdollisuuden saada kuningasvärisuora (katso alla). Jos haluat laskea todennäköisyyden saada muu värisuora kuin kuningasvärisuora, vähennä kuningasvärisuoralle saatava arvo yllä lasketusta todennäköisyydestä.

Kuningasvärisuoran todennäköisyys

Kuningasvärisuoran todennäköisyys on vielä pienempi kuin värisuoran. Tämä johtuu siitä, että kuningasvärisuora on värisuora, jonka korkein kortti on ässä. Siksi kuningasvärisuoran korttien arvot ovat aina samat: ässä, kuningas, kuningatar, jätkä ja kymppi. Ainoa asia, joka voi vaihtua, on korttien maa. Koska maita on vain neljä, on vain neljä kättä, joissa on kuningasvärisuora. Sellaisen saamisen todennäköisyys on $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx 0,000154 % .$ Tämä on 10 kertaa pienempi kuin värisuoran todennäköisyys.

Kolmosten todennäköisyys

Kolmen saman saamiseksi meidän on ensin valittava kolmosten arvo. Sen voi tehdä 13 tavalla. Sitten meidän on valittava kahden muun kortin arvot jäljellä olevista 12 arvosta. Meidän täytyy varmistaa, että emme saa paria (muuten kyseessä olisi täyskäsi eikä kolmoset), joten käytämme 12:n 2-kombinaatioita ilman toistoja: $(\binom{12}{2}) .$ Lopuksi meidän on valittava maat. Ensin valitsemme kolmosten maan: $(\binom{4}{3}) .$ Sitten valitsemme kahden jäljellä olevan kortin maat – ja koska niillä on eri arvot, käytämme 4:n 2-variaatioita toistoilla, josta saadaan tulos 4². Lopulliseksi kaavaksi tulee

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912 .

Todennäköisyys saada kolmoset on $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx 2,11 % .$

Kahden parin todennäköisyys

Kuinka monella eri tavalla voimme saada kaksi paria? Ensin meidän on valittava parien arvot: $(\binom{13}{2}) .$ Toiseksi meidän on valittava viidennen kortin arvo: $(\binom{11}{1}) .$ Kolmanneksi meidän on valittava kummankin parin korttien maat. Jokaisessa parissa korttien on oltava eri maata, joten on $(\binom{4}{2})$ tapaa valita maat alempiarvoiselle parille ja $(\binom{4}{2})$ tapaa valita maat ylempiarvoiselle parille. Lopuksi meidän täytyy valita viidennen kortin maa, ja tämän voi tehdä neljällä tavalla. Niinpä kertomalla kaikki nämä tekijät saamme kaavan

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552 .

Todennäköisyys saada kaksi paria on $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx 4,75 % .$

Parin todennäköisyys

Lopuksi yhden parin todennäköisyys voidaan laskea seuraavasti: 1) valitaan parin arvo: $(\binom{13}{1});$ 2) valitaan muiden korttien arvot: $(\binom{12}{3});$ 3) valitaan parin korttien maat: $(\binom{4}{2});$ ja 4) valitaan muiden kolmen kortin maat: 4³. Saatat ihmetellä, miksi valitsimme kolmen erilaisen kortin arvot käyttämällä kombinaatioita (eli $(\binom{12}{3})$ ), mutta niiden maat käyttämällä variaatioita (eli 4³)? Meidän on käytettävä kombinaatioita arvojen valitsemiseen, koska näiden korttien järjestyksellä kädessä ei ole väliä – jos muutamme korttien järjestystä, kyseessä on edelleen sama pokerikäsi. Nämä ovat kuitenkin kolme eriarvoista korttia, joten niillä on luonnollinen järjestyksensä – korkeimmasta alimpaan. Voimme käyttää tätä luonnollista järjestystä kunkin kortin tunnistamiseen maita valittaessa. Valitsemme ensin korkeimman kortin maan. Sitten valitsemme keskimmäisen kortin maan. Ja lopuksi valitsemme alimman kortin maan. Jokaisessa valinnassa on neljä vaihtoehtoa, mikä antaa meille $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ mahdollisuutta.

Siksi yhden parin sisältävien käsien kokonaismäärä on

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240

ja yhden parin saamisen todennäköisyys on $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx 42,3 % .$ Voit vahvistaa tämän tuloksen kokeellisesti. Sekoita pakka ja nosta viisi korttia. Saitko parin? Merkitse vastaus muistiin. Toista tämä prosessi useita kertoja – saat todennäköisesti yhden parin hieman harvemmin kuin puolet ajasta.

Mikä on lottovoiton todennäköisyys?

Monissa maissa pelataan lottoa, jossa muutama numeroitu pallo arvotaan suuremmasta pallojoukosta. Voittaja on se, joka on valinnut oikeat numerot – ja voittosummat ovat usein hyvin korkeita. Tarkastellaan esimerkkinä Veikkauksen lottoa. Tässä pelaaja valitsee seitsemän numeroa väliltä 1…40 (ei toistoja). Kaikkien mahdollisten yhdistelmien lukumäärä on

(\binom{40}{7}) = 18643560 .

Siispä Veikkauksen lotossa on 18 643 560 tapaa valita numerot. Toisin sanoen sinun pitäisi ostaa 18 643 560 lottoriviä varmistaaksesi, että saat päävoiton. Jos pelaat vain yhden rivin, voittomahdollisuutesi on 1:18 643 560, joka on suunnilleen 0,0000054 %.

Kuinka monta tapaa tuoda naposteltavaa juhliin?

Kuvitellaan tässä esimerkissä, että olet menossa ystäväsi luokse juhliin. Sinua on pyydetty osallistumaan tuomalla pientä purtavaa. Naposteltavia on kolmenlaisia: perunalastut, pikkuleivät ja suolakeksit. Aiot ostaa viisi pussillista. Kuinka monta mahdollista kombinaatioita on?

Ensin huomaamme, että valittavana on kolme alkiota, joten n = 3. Toiseksi niiden järjestyksellä ei ole merkitystä. Kolmanneksi voimme ostaa kutakin tyyppiä useamman pussillisen. Meidän tulee siis käyttää 3:n 5-kombinaatioita toistoilla. Kaava on

E (3, 5) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21 .

On 21 tapaa valita naposteltavat juhliin. Voimme vahvistaa laskelman luettelemalla kaikki mahdolliset kombinaatiot (tehdään listasta lyhyempi nimeämällä vaihtoehdot kirjaimilla A, B ja C):

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

Kombinaatiokaavan selitys

n:n k-kombinaatiot ilman toistoja

Kaava n:n k-kombinaatioille ilman toistoja (kutsutaan joskus myös ”n yli k:n”- tai ”n yli r:n” -kaavaksi) on

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Vahvistetaan kaavan oikeellisuus tutkimalla prosessia, jossa valitaan k lukua väliltä 1…n. Aloitamme asettamalla valitut luvut lukujonoon, jonka pituus on k. Jonon ensimmäisellä paikalla voi olla mikä tahansa n luvusta. Kun ensimmäiselle paikalle valittu luku on poistettu joukosta, lukujonon toiselle paikalle on valittavissa n − 1 vaihtoehtoa. Tämäkin luku poistetaan joukosta, jolloin kolmannelle paikalle on valittavissa enää n − 2 lukua. Jatkamme lukujen valitsemista tällä tavalla, kunnes olemme täyttäneet koko k:n pituisen lukujonon. Saadaksemme tällaisten lukujonojen kokonaismäärän (joka on yhtä suuri kuin n:n k-variaatioiden määrä ilman toistoja) meidän täytyy kertoa kussakin vaiheessa saatavilla olevien vaihtoehtojen lukumäärät:

P (n, k) = \underset{k tekijää}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Tämä kertolasku on kuitenkin yksinkertaisesti kertoman k suurimman tekijän tulo. Voimme siis kirjoittaa sen uudelleen muotoon

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!},

jossa nimittäjässä oleva kertoma kumoaa osoittajan n − k pienintä kertomaa niin, että jäljelle jäävä osa vastaa edellistä kaavaa.

Vielä ei kuitenkaan tullut valmista, sillä olemme laskeneet tähän mennessä variaatioiden määrän, emme kombinaatioiden. Variaatioissa alkioiden järjestyksellä on merkitystä. Välitimme järjestyksestä lukujonoa muodostettaessa – valitsimme luvun ensimmäiseen paikkaan, sitten toiseen, kolmanteen ja niin edelleen. Nyt haluamme käsitellä kaikki samoista luvuista muodostettuja lukujonoja yhtenä kombinaationa. Kuinka monta erilaista lukujonoa voidaan siis tehdä k eri luvusta? Vastaus on helppo: se on k!. Variaatioita on k! kertaa niin monta kuin kombinaatioita. Saadaksemme kombinaatioiden lukumäärän meidän täytyy jakaa variaatioiden määrä k!:lla:

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

n:n k-kombinaatiot toistoilla

Miten saamme kaavan n:n k-kombinaatioista toistoilla? Jokainen n alkiosta voidaan valita 0…k kertaa, joten kuvitellaan n koria, jotka on numeroitu 1:stä n:ään. Kussakin korissa on enintään k palloa, ja kaikkien korien pallojen kokonaismäärä on k. Korit edustavat alkioita, ja kussakin korissa olevien pallojen määrä kertoo meille, kuinka monta kertaa valitsemme kyseisen korin edustaman alkion.

Miten kunkin korin sisältämien pallojen lukumäärää voidaan kuvata lukujonon avulla? Muodostetaan n − 1 luvun pituinen jono seuraavalla tavalla: tämän lukujonon i. luku kertoo meille, montako palloa ja koria on yhteensä ensimmäisestä korista i. koriin. Esimerkiksi tämän lukujonon ensimmäinen luku on yksi plus ensimmäisen korin pallojen määrä (joten se voi olla mitä tahansa väliltä 1…k + 1). Toinen luku on kaksi plus kahden ensimmäisen korin pallojen määrä (joten se voi olla mitä tahansa väliltä 2…k + 2, mutta sen täytyy olla suurempi kuin ensimmäinen luku). Kolmas luku on kolme plus kolmen ensimmäisen korin pallojen määrä (mitä tahansa väliltä 3…k + 3, mutta suurempi kuin toinen luku). Ja niin edelleen. On helppo nähdä, että tämän lukujonon viimeisen luvun arvo on n − 1 plus kaikkien paitsi viimeisen korin sisältämien pallojen määrä. Sen arvo voi olla alimmiltaan n − 1 (jos kaikki pallot ovat viimeisessä korissa) tai korkeimmiltaan n − 1 + k (jos viimeisessä korissa ei ole yhtään palloa).

Vaihdetaan nyt näkökulmaa. Meillä on joukko numeroita väliltä 1…n − 1 + k. Valitsemme tästä joukosta n − 1 lukua ilman toistoja. Asetamme ne järjestykseen pienimmästä suurimpaan, ja nyt tiedämme, montako palloa kuhunkin koriin menee. Kukin tapa valita n − 1 lukua suuremmasta n − 1 + k luvun joukosta vastaa täsmälleen yhtä tapaa jakaa k palloa n koriin. Mutta kuinka monella tavalla voidaan valita n − 1 lukua ilman toistoja n − 1 + k luvun joukosta? Vastaus on

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} .

Tämä on melkein etsimämme kaava. Viimeisessä vaiheessa huomaamme, että voimme vaihtaa nimittäjässä olevien kertomien järjestystä, toisin sanoen

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C (n + k - 1, k)

ja lopuksi

E (n, k) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Pascalin kolmio ja binomikertoimet

Binomi on lauseke, jossa on kaksi termiä, kuten $x + y .$ Binomikertoimet ovat lukuja, jotka esiintyvät x:n ja y:n vieressä, kun $x + y$ korotetaan ei-negatiiviseen kokonaislukupotenssiin. Esimerkiksi ${(x + y)}^{0} = 1,$ ${(x + y)}^{1} = x + y,$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2},$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ – näissä esimerkeissä binomikertoimet ovat 1, 1-1, 1-2-1 ja 1-3-3-1. Binomikertoimet liittyvät n:n k-kombinaatioihin: kun kirjoitamme lausekkeen ${(x + y)}^{n}$ auki, lausekkeen $x^{k} y^{n - k}$ vieressä oleva kerroin on $(\binom{n}{k}) .$ Esimerkiksi yhtälössä ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ lausekkeen $x^{2} y$ vieressä oleva kerroin on $(\binom{3}{2}) = 3 .$ Tämä voidaan ilmaista yleisesti kaavalla

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .

Lisäksi binomikertoimet muodostavat mielenkiintoisen kuvion – ne voidaan järjestää kolmioksi, joka tunnetaan yleisesti Pascalin kolmiona:

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

Mielenkiintoista Pascalin kolmiossa on, että seuraava rivi voidaan muodostaa laskemalla yhteen edellisen rivin vierekkäiset luvut. Esimerkiksi rivillä n = 4 esiintyvä luku 6 tulee edellisen rivin luvuista 3 + 3. Vastaavasti rivillä n = 5 esiintyvä 10 tulee edellisen rivin luvuista 4 + 6. Tämä havainto voidaan tiivistää yhtälöksi

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

Binomiyhtälöt ja identiteetit

Tässä on joitakin parhaiten tunnetuista binomikertoimiin liittyvistä identiteeteistä:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

n yli k:n Pythonissa

Python-ohjelmointikielessä saat n:n k-kombinaatioiden lukumäärän ilman toistoja käyttämällä math-moduulin comb-funktiota:

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

Voit laskea n:n k-kombinaatioiden lukumäärän toistoilla käyttämällä kaavaa, joka liittää kombinaatiot toistoilla kombinaatioihin ilman toistoja:

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

Jos haluat näyttää kaikki n:n k-kombinaatiot ilman toistoja, tähän tarkoitukseen löytyy myös sisäänrakennettu funktio:

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

Ja näin näytät kaikki n:n k-kombinaatiot toistoilla:

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

Jos haluat kirjoittaa oman funktiosi n:n k-kombinaatioiden laskemiseen ilman toistoja, tässä on esimerkki:

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

Tätä voit käyttää laskeaksesi n:n k-kombinaatiot toistoilla:

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

Näin käytät kombinaatiolaskinta

Kombinaatiolaskimella voit laskea n:n k-kombinaatiot toistoilla tai ilman. Aloita laskutoimitus syöttämällä käytettävissä olevien alkioiden määrä n-kirjaimella merkittyyn kenttään. Syötä sitten poimintojen määrä kenttään, jossa on merkintä k tai r. Jos olet kiinnostunut kombinaatioista toistoilla, rastita kyseinen valintaruutu. Paina lopuksi ”Laske”-painiketta, niin tulokset näytetään alla.

Laskin soveltuu erityisen hyvin laskutoimituksiin, joissa on erittäin suuria lukuja. Sellaisten syötteiden kuin n = 1000000 ja k = 1000 tulosten laskeminen onnistuu ilman ongelmia. Suurille luvuille laskin näyttää tuloksen kahdessa muodossa. Ensimmäisellä rivillä näytetään likiarvo tieteellisellä merkintätavalla ja toisella rivillä tarkka ratkaisu.

Esiasetettuja rajoja ei ole, ja laskin pyrkii suorittamaan laskutoimitukset riippumatta n:n ja k:n suuruudesta. Laskutoimitusten onnistuminen riippuu järjestelmäsi kokoonpanosta. Chrome-selaimen modernit versiot pystyvät helposti laskemaan pöytätietokoneilla tulokset sellaisille syötteille kuin n = 8000000000 ja k = 10000000 (kuinka monella tavalla voidaan valita 10 000 000 selviytyjää elämään jättimäisellä avaruusaluksella, kun asteroidin törmäys on tuhonnut maapallon?). Muunlaisilla järjestelmillä, erityisesti mobiililaitteilla, voi kuitenkin olla vaikeuksia näin suurten lukujen kanssa.

Laskimessa on monta muutakin ominaisuutta. Voit:

Valita kantalukujärjestelmän, jolla tulokset esitetään. Voit käyttää mitä tahansa kokonaislukua väliltä 2…36. Oletuskantaluku on 10, eli tulokset näytetään oletuksena desimaalijärjestelmällä. Jos valitset eri kantaluvun, sitä käytetään vain tulosten näyttämiseen. Syöte tulkitaan aina desimaalijärjestelmän mukaan.
Tyhjentää n- ja k-kentät napsauttamalla ”Tyhjennä”-painiketta. Sitten voit syöttää halutut arvot uudelleen.
Kopioida tuloksen leikepöydälle. Voit käyttää tätä toimintoa (ja kaikkia muita seuraavia toimintoja) napsauttamalla siihen liittyvää painiketta ”Tulos”-kentän yläpuolella.
Ladata tuloksen ja tallentaa sen laitteellesi tekstitiedostona.
Tulostaa tuloksen.
Kopioida leikepöydälle linkki tulokseen.
Tyhjentää tuloksen.

Viittaa tähän sisältöön tai upota se

Voit käyttää tätä sivustoa veloituksetta, mukaan lukien kaupallisiin tarkoituksiin, kunhan mainitset tämän sivuston lähteenä. Jos viittaat siihen tieteellisessä tekstissä, voit käyttää seuraavaa viittaustapaa:

Narkiewicz A.: Kombinaatiolaskin. https://minesweeper.us/miinaharava/kombinaatiolaskin/. Viitattu 2026-10-05.

Jos viittaat tähän sivustoon internetissä, voit linkittää siihen sen pääosoitteella (https://minesweeper.us/miinaharava/kombinaatiolaskin/), tai jos haluat lisätä linkin tiettyyn tulokseen, käytä painiketta ”Kopioi linkki leikepöydälle”.

Voit myös upottaa tämän sivuston omalle sivustollesi iframe-elementin avulla. Jos haluat, että tämä sivu näyttää vain laskimen ja piilottaa kaiken muun sisällön (valikot, artikkelin jne.), voit käyttää seuraavaa URL-osoitetta src-attribuutissa: https://minesweeper.us/miinaharava/kombinaatiolaskin/?iframe=1.

Mainitsethan tämän sivun sivustollasi viittaamalla siihen napsautettavalla linkillä. Voit myös ilmoittaa meille, että olet upottanut sovelluksemme sivustollesi, lähettämällä sähköpostia osoitteeseen contact@simiade.com. Tällöin pystymme tiedottamaan sinulle mahdollisista sovellukseen tekemistämme muutoksista, jotka saattavat vaatia sivustovastaajia päivittämään tapaa, jolla sivustot näyttävät sovelluksen.

Lähteet

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Ota yhteyttä

Jos sinulla on kysyttävää, kommentteja tai ehdotuksia, voit jättää palautetta tänne:

Tai voit ottaa meihin yhteyttä postitse:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Puola
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/fi/

Kombinaatio­kaava

Esimerkkejä kombinaa­tioista

Kuinka monta kättelyä 100 ihmisen ryhmässä?

Kuinka monta pokerikättä on olemassa?

Nelosten todennä­köisyys

Täyskäden todennä­köisyys

Värin todennä­köisyys

Suoran todennä­köisyys

Värisuoran todennä­köisyys

Kuningas­väri­suoran todennä­köisyys

Kolmosten todennä­köisyys

Kahden parin todennä­köisyys

Parin todennä­köisyys

Mikä on lottovoiton todennä­köisyys?

Kuinka monta tapaa tuoda napostel­tavaa juhliin?

Kombinaatio­kaavan selitys