Kombinasyon Hesaplayıcı

Kombinasyon Hesaplayıcıya hoş geldiniz. Lütfen eleman sayısını (n) ve seçim sayısını (k veya r) girin. Tekrara izin vermek için aşağıdaki kutucuğu işaretleyin. Ardından “Hesapla” butonuna basın.

Eleman sayısı (n): Seçim sayısı (k veya r): Tekrara izin ver: Taban:

Sonuç:

2026-07-28,

Ekonomi alanında doktora derecesine sahip olan Adam Narkiewicz teknik makalelerin yazımından sorumludur. Ayrıca çevrimiçi uygulamaların geliştirilmesini denetlemektedir. Kendisine şu adresten ulaşabilirsiniz:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Kombinasyon formülü

Kombinasyon n elemandan oluşan bir gruptan hangi k elemanın seçileceğini belirtir. Genellikle n’nin k’lı kombinasyonu olarak adlandırılır ancak n’nin k’lı permütasyonuyla karıştırılmamalıdır. Kombinasyonlarda seçilen elemanların sırası önemli değilken, permütasyonlarda önemlidir.

n elemandan oluşan daha büyük bir kümeden k eleman seçmenin kaç yolu vardır? n’nin tekrarsız k’lı kombinasyonlarının (yani seçilen her elemanın tekrar seçilmemesi için havuzdan çıkarıldığı durum) sayısının sembolü $C (n, k)$ ’dır. Birçok kaynakta ${}_{n}C_{k}$ veya $(\binom{n}{k})$ sembolleri de kullanılır, bunlardan sonuncusu oldukça yaygındır. Dolayısıyla

C (n, k) = {}_{n}C_{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

yazabiliriz, burada n! n’nin faktöriyelidir. Diğer taraftan, n’nin tekrarlı k’lı kombinasyonlarının (yani seçilen elemanların havuza geri döndüğü ve tekrar seçilebildiği durum) sayısının sembolü $E (n, k)$ ’dır, bazen $((\binom{n}{k}))$ olarak da yazılır:

E (n, k) = ((\binom{n}{k})) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Tekrarsız kombinasyonlar ve permütasyonlar arasındaki ilişki aşağıdaki formülle gösterilebilir:

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} .

Elemanların sırasını hesaba katmak için permütasyon sayısı k!’e bölünür çünkü sıra kombinasyonlar için önemli değilken permütasyonlar için önemlidir. Seçilen elemanların sırasının önemli olduğu durumlarla ilgileniyorsanız Permütasyon Hesaplayıcımızı ziyaret edebilirsiniz.

Kombinasyon örnekleri

100 kişilik bir grupta kaç el sıkışma gerçekleşir?

Bir kokteyl partisine geldiğinizi hayal edin. Siz dahil 100 davetli var. Her bir kişiyi selamlalarken el sıkışıyorsunuz ve herkesin herkesle selamlaşması durumunda toplamda kaç el sıkışma gerçekleşeceğini merak ettiniz.

There are n = 100 kişi var. Bu gruptaki bireylerden kaç farklı çift oluşturulabilir? Diğer bir deyişle, 100’ün kaç 2’li kombinasyonu vardır? Cevap 4950’dir:

C (100, 2) = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950 .

4950 el sıkışma olurdu. Tekrarsız kombinasyonlar kullandığımıza dikkat edin çünkü bir kişi kendisiyle el sıkışamaz!

Pokerde kaç farklı el vardır?

Jokerin olmadığı bir oyun düşünelim; yani destede 52 kart var. Beş kartı tekrarsız seçiyoruz (çünkü aynı kartı iki kez çekemeyiz). Kartların sırası önemli değildir. Dolayısıyla k = 5 ve n = 52 olmak üzere n’nin tekrarsız k’lı kombinasyonlarını kullanabiliriz:

(\binom{52}{5}) = 2598960 .

Dolayısıyla pokerde 2.598.960 farklı el vardır. Bunu bildiğimizde bilinen poker ellerinden herhangi birini çekme olasılığını hesaplayabiliriz.

Kare çekme ihtimali

Aynı değerden dört kart yani kare (four of a kind) elde etmek için önce tekrarlanan değeri seçmemiz (13 olasılık), ardından da beşinci kartı seçmemiz (48 olasılık) gerekir. Böylece kare içeren $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ farklı el olur. Dolayısıyla böyle bir eli rastgele çekme olasılığı $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx %0,024 ’tür.$

Ful çekme ihtimali

Ful (full house) çekme ihtimalini hesaplamak daha zordur. Önce iki kartlı perin değerini (13 olasılık) ve üç kartlı perin değerini (12 olasılık, iki kartlı perle aynı olamayacağından bir seçenek çıkarılır) seçmemiz gerekir. Ardından farklı renk kombinasyonlarını hesaba katmamız gerekir. İki kartlı per için $(\binom{4}{2})$ renk kombinasyonu ve üç kartlı per için $(\binom{4}{3})$ renk kombinasyonu mevcuttur. Artık toplam olasılık sayısını bulmak için bu sayıları çarpabiliriz:

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744 .

Ful içeren 3744 farklı el vardır, dolayısıyla rastgele ful çekme olasılığı $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx %0,144$ ’tür. Bu da ful çekmenin kare çekmekten altı kat daha olası olduğu anlamına gelir.

Renk çekme ihtimali

Renk (flush) beş kartın da aynı renkten olması durumunda gerçekleşir. Önce rengi seçiyoruz, burada dört olasılık mevcuttur. Ardından o rengin 13 kartından beşini seçiyoruz: bunu yapmanın da $(\binom{13}{5})$ yolu vardır. Sonuç olarak farklı renk ellerinin sayısı 5148’dir:

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148 .

Rastgele renk eli çekme olasılığı $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx %0,198$ ’dir.

Dikkat! Bu formül kartların yalnızca aynı renkten değil aynı zamanda ardışık olduğu özel bir renk türü olan sıralı renk (straight flush) çekme olasılığını da kapsamaktadır. Kartların ardışık olmadığı “normal” renk elini çekme olasılığını hesaplamak istiyorsanız, yukarıda hesaplanan olasılıktan sıralı renk için elde edilen değeri (aşağıda görebilirsiniz) çıkarmalısınız.

Kent çekme ihtimali

Burada, renkleri ne olursa olsun her kartın bir öncekinden bir sayı yüksek olduğu beş kartlık bir dizi elde etmek istiyoruz. Bu ellerin sayısını belirlemek için önce en yüksek kartı belirlememiz gerekir. En yüksek kart as, papaz, kız, vale, 10, 9, 8, 7, 6, 5 olabilir (as aynı zamanda 5-4-3-2-as dizisinde en düşük kart olarak da kullanılabilir), dolayısıyla en yüksek kartın değeri için 10 seçenek vardır. En yüksek kartı seçtiğimizde kalan tüm kartların değerleri belirlenmiş olur. Şimdi renkleri seçmemiz gerekiyor. Dört olası renk vardır ve beş kartın her biri için rengi ayrı ayrı seçeriz. Bu nedenle formülü 4⁵ olan 4’ün tekrarlı 5’li permütasyonlarını kullanıyoruz. Dolayısıyla toplam kent (straight) eli sayısı 10240’tır:

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240 .

Rastgele kent çekme olasılığı $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx %0,394$ ’tür.

Dikkat! Bu formül kartların yalnızca ardışık değil aynı zamanda renklerinin aynı olduğu özel bir kent türü olan sıralı renk (straight flush) çekme olasılığını da kapsamaktadır. Kartların aynı renkte olmadığı “normal” kent çekme olasılığını hesaplamak istiyorsanız, yukarıda hesaplanan olasılıktan sıralı renk için elde edilen değeri (aşağıda görebilirsiniz) çıkarmalısınız.

Sıralı renk çekme ihtimali

Sıralı renk (straight flush) pokerin en değerli ve nadir ellerinden biridir. Bu elde kartlar kent elindeki gibi ardışık olmakla birlikte renk elindeki gibi aynı renktedir. Bu tür ellerin sayısını hesaplamak için önce en yüksek kartı seçmemiz gerekir. Kentte olduğu gibi burada 10 seçeneğimiz vardır. Kartların değerleri belirlendikten sonra rengi seçmemiz gerekir ve bunu yapmanın da 4 yolu vardır. Nihai formül şöyle olur:

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40 .

Bu elden yalnızca 40 tane vardır, dolayısıyla rastgele sıralı renk çekme olasılığı $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx %0,00154$ ’tür.

Dikkat! Bu formül aynı zamanda royal renk çekme olasılığını (aşağıda görebilirsiniz) da kapsamaktadır. Royal renk içermeyen sıralı renk çekme olasılığını hesaplamak istiyorsanız yukarıda hesaplanan olasılıktan royal renk için elde edilen değeri çıkarmalısınız.

Royal renk çekme ihtimali

Royal renk (royal flush) çekme ihtimali sıralı renk çekme ihtimalinden bile düşüktür. Bunun nedeni royal renk elinin aslında en yüksek kartı as olan bir sıralı renk eli olmasıdır. Bu nedenle royal renk elindeki kartların değerleri her zaman aynıdır: as, papaz, kız, vale ve 10. Değişebilecek tek şey renktir. Yalnızca dört renk olduğundan, royal renk içeren yalnızca dört el vardır. Bunlardan birini çekme olasılığı $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx %0,000154$ ’tür. Bu da sıralı renk çekme olasılığından 10 kat daha düşüktür.

Set çekme ihtimali

Set (three of a kind) çekmek için önce setin değerini seçmemiz gerekir. Bunu yaparken 13 seçeneğimiz vardır. Ardından kalan 12 değerden diğer iki kartın değerlerini seçmemiz gerekir. Elimizde per olmayacağından emin olmalıyız (aksi takdirde set yerine ful elde ederiz), dolayısıyla 12’nin tekrarsız 2’li kombinasyonlarını kullanırız: $(\binom{12}{2}) .$ Son olarak renkleri seçmemiz gerekir. Önce seddin renklerini seçeriz: $(\binom{4}{3}) .$ Ardından kalan iki kartın renklerini seçeriz; farklı değerde oldukları için formülü 4² olan 4’ün tekrarlı 2’li permütasyonlarını kullanırız. Tüm bunları bir araya getirdiğimizde formül şöyle olur:

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912 .

Set çekme olasılığı $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx %2,11$ ’dir.

Döper çekme ihtimali

Kaç farklı şekilde döper (two pairs) elde edebiliriz? Önce iki kartlı perlerin yani çiftlerin değerlerini seçmemiz gerekir: $(\binom{13}{2}) .$ İkinci olarak ise beşinci kartın değerini seçmeliyiz: $(\binom{11}{1}) .$ Üçüncü olarak her bir perdeki kartların renklerini seçmemiz gerekir. Her per içinde kartlar farklı renkte olmalıdır; dolayısıyla düşük değerli perin renkleri için $(\binom{4}{2})$ ve yüksek değerli perin renkleri için $(\binom{4}{2})$ olasılık vardır. Son olarak beşinci kartın rengini seçmemiz gerekir ve burada da dört seçeneğimiz vardır. Böylece tüm bu çarpanları çarparak aşağıdaki formülü elde ederiz:

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552 .

Döper çekme ihtimali $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx %4,75$ ’tir.

Bir çift çekme ihtimali

Son olarak, bir çift (one pair) çekme ihtimali şu şekilde hesaplanabilir: 1) çiftin değerini seçeriz: $(\binom{13}{1});$ 2) kalan kartların değerlerini seçeriz: $(\binom{12}{3});$ 3) çiftteki kartların renklerini seçeriz: $(\binom{4}{2});$ 4) kalan üç kartın renklerini seçeriz: 4³. Üç farklı kartın değerlerini kombinasyon ile seçerken (yani $(\binom{12}{3})$ ), renklerini neden permütasyon kullanarak seçtiğimizi (yani 4³) merak edebilirsiniz. Değerleri seçerken kombinasyon kullanmamız gerekir; çünkü bu değerlere sahip kartların elimizdeki sırası önemli değildir; elimizdeki kartların sırasını değiştirsek bile yine aynı poker eli olur. Ancak bunlar farklı değerlerde üç karttır; dolayısıyla en yüksekten en düşüğe doğal bir sıraya sahiptir. Renklerini seçerken kartın her birini tanımlamak için bu doğal sırayı kullanabiliriz. Önce en yüksek sayılı kartın rengini seçeriz. Ardından orta değerdeki kartın rengini seçeriz. Ve son olarak en düşük sayılı kartın rengini seçeriz. Her seçimde dört seçenek mevcuttur; bu da bize $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ olasılık verir.

Dolayısıyla bir çift içeren toplam el sayısı

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240 ’tır

ve bir çift çekme olasılığı $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx %42,3$ ’tür. Bu sonucu deneysel olarak doğrulayabilirsiniz. Desteyi karıştırın ve beş kart çekin. Bir çift elde ettiniz mi? Cevabı not edin. Bu işlemi birkaç kez tekrarlayın, on kez denediğinizde yaklaşık 4 kez iki kartlı per elde etmiş olmalısınız.

Piyangoyu kazanma ihtimali nedir?

Pek çok ülkede büyük bir top havuzundan üzerinde numara yazılı topların çekildiği bir piyango oynanır. Doğru numaraları seçen kişi kazanır ve ödüller de çoğunlukla yüksek meblağlardır. Popüler bir örnek Milli Piyango’nun Çılgın Sayısal Loto’dur. Sayısal lotoda 1 ile 90 arasından altı sayı seçmelisiniz (tekrarsız). Tüm olası kombinasyonların sayısı şudur:

(\binom{90}{6}) = 622614630 .

Dolayısıyla Çılgın Sayısal Loto’da bir numara seçmenin 622.614.630 yolu vardır. Diğer bir deyişle, büyük ikramiyeyi kesin olarak kazanmak için 622.614.630 bilet satın almanız gerekir. Yalnızca bir bilet satın alırsanız kazanma şansınız 622.614.630’da 1’dir; bu da yaklaşık %0,000000161’ya karşılık gelir.

Bir partiye atıştırmalık getirmenin kaç yolu vardır?

Bu örnekte bir arkadaşınızın evindeki bir partiye gideceğinizi hayal edin. Sizden atıştırmalık getirerek katkı yapmanız istendi. Üç çeşit atıştırmalık var: cips, kurabiye ve kraker. Beş paket satın almayı düşünüyorsunuz. Kaç olası kombinasyon vardır?

Öncelikle seçim yapılacak üç eleman olduğunu görüyoruz; dolayısıyla n = 3’tür. İkinci olarak, bunları düzenlediğimiz sıra önemli değildir. Üçüncü olarak, her atıştırmalık türünden birden fazla satın alabiliriz. Bu nedenle 3’ün tekrarlı 5’li kombinasyonlarını kullanmamız gerekir:

E (3, 5) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21 .

Partiye atıştırmalık seçmenin 21 farklı yolu vardır. Doğru sonucu bulduğumuzu doğrulamak için tüm olası kombinasyonları listeleyelim (kısa tutmak için atıştırmalıkları A, B ve C olarak adlandırıyoruz):

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

Kombinasyon formülünün açıklaması

n’nin tekrarsız k’lı kombinasyonları

n’nin tekrarsız k’lı kombinasyonlarının formülü (bazen “n tane elemandan k tane seçme” veya “n tane elemandan r tane seçme” formülü olarak da adlandırılır) şu şekildedir:

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Formülün gerçekten doğru olup olmadığını doğrulamak için 1 ile n arasından k sayıyı seçme sürecini inceleyelim. Seçilen sayıları k uzunluğunda bir diziye yerleştirerek başlayacağız. Dizideki ilk yeri n sayının herhangi biri işgal edebilir. Birinci yerdeki sayı havuzdan çıkarılınca ikinci yer için n − 1 seçenek kalır. Bu sayı da havuzdan çıkarılır ve üçüncü yer için yalnızca n − 2 sayı kalır. k uzunluğundaki dizinin tamamını doldurana kadar sayıları bu şekilde seçmeye devam ederiz. Böyle bir dizinin toplam sayısını elde etmek için her adım için elimizdeki seçenek sayısını (bu da n’nin tekrarsız k’lı permütasyonu sayısına eşittir) çarpmamız gerekir:

P (n, k) = \underset{k çarpan}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Ancak bu çarpma işlemi bir faktöriyelin en büyük k çarpanının çarpımından başka bir şey değildir. Bu nedenle bunu

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}

olarak yeniden yazabiliriz, burada paydadaki faktöriyel paydaki en küçük n − k çarpanıyla sadeleşir ve geriye kalan ifade önceki formülle aynı hale gelir.

Ancak iş burada bitmiyor çünkü şimdiye kadar kombinasyon sayısını değil, permütasyon sayısını hesapladık. Permütasyonlarda elemanların sırası önemlidir; diziyi oluştururken sıraya önem verdik yani birinci sıra için sayıyı seçtik, ardından ikinciyi, üçüncüyü ve böyle devam ettik. Şimdi ise aynı sayılardan oluşan tüm dizileri tek bir kombinasyon olarak ele almak istiyoruz. Peki k farklı sayıyla kaç farklı dizi oluşturulabilir? Cevap basit: k!’dir. Kombinasyon sayısından k! kat daha fazla permütasyon vardır. Kombinasyon sayısını elde etmek için permütasyon sayısını k!’e bölmemiz gerekir:

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

n’nin tekrarlı k’lı kombinasyonları

n’nin tekrarlı k’lı kombinasyonlarının formülünü nasıl elde ederiz? n elemanın her biri 0 ile k kez arasında seçilebilir; o yüzden 1’den n’ye kadar numaralandırılmış n tane kutu hayal edelim. Her kutuda k adete kadar top bulunur ve tüm kutulardaki toplam top sayısı k’ya eşittir. Kutular elemanları temsil eder ve herhangi bir kutudaki toplar o kutunun temsil ettiği elemanı kaç kez seçtiğimizi göstermektedir.

Her kutuda kaç top olduğunu bir sayı dizisiyle nasıl ifade ederiz? n − 1 sayıdan oluşan şu şekilde düzenlenmiş bir dizi oluşturabiliriz: dizideki i. sayı birinci kutudan i. kutuya kadar toplam kaç top ve kutu olduğunu bize söyler. Örneğin, bu dizideki ilk sayı birinci kutudaki top sayısının bir fazlasıdır (dolayısıyla 1 ile k + 1 arasında herhangi bir değer olabilir). İkinci sayı, ilk iki kutudaki top sayısının iki fazlasıdır (dolayısıyla 2 ile k + 2 arasında herhangi bir değer olabilir, ancak birinci sayıdan büyük olmalıdır). Üçüncü sayı, ilk üç kutudaki top sayısının üç fazlasıdır (3 ile k + 3 arasında herhangi bir değer, ancak ikinci sayıdan büyük). Bu şekilde devam eder. Bu dizideki son sayının değerinin, son kutu hariç tüm kutulardaki top sayısının n − 1 fazlası olduğu kolayca görülür. Bu değer en düşük n − 1 (tüm toplar son kutudaysa) veya en yüksek n − 1 + k (son kutuda hiç top yoksa) olabilir.

Şimdi bakış açımızı değiştirelim. 1 ile n − 1 + k arasında elemanı olan bir sayı kümemiz var. Bu sayı kümesinden tekrarsız olarak n − 1 sayı seçiyoruz. Bunları küçükten büyüğe doğru bir diziye koyuyoruz ve artık her kutuya kaç topun gideceğini biliyoruz. n − 1 + k sayıdan n − 1 sayı seçmenin her bir yolu, k topu n kutuya dağıtmanın tam olarak bir yoluna karşılık gelir. Peki n − 1 + k sayıdan oluşan bir kümeden tekrarsız olarak n − 1 sayı seçmenin kaç yolu vardır? Cevap şudur:

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} .

Bu hemen hemen aradığımız formüldür. Son adım ise paydadaki faktöriyellerin sırasını değiştirebileceğimizi görmektedir:

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C (n + k - 1, k)

ve sonuç şöyle olur:

E (n, k) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Pascal üçgeni ve binom katsayıları

Binom, $x + y$ gibi iki terim içeren bir ifadedir. Binom katsayıları $x + y$ ’nin negatif olmayan bir tam sayı kuvvetinin açılımında x ve y’nin yanında yer alan sayılardır. Örneğin ${(x + y)}^{0} = 1,$ ${(x + y)}^{1} = x + y,$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2},$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ ; bu örneklerde binom katsayıları sırasıyla 1, 1-1, 1-2-1 ve 1-3-3-1’dir. Binom katsayılarının n’nin k’lı kombinasyonlarıyla ilişkili olduğu anlaşılmaktadır: ${(x + y)}^{n}$ yazdığımızda $x^{k} y^{n - k}$ ’nın yanındaki katsayı $(\binom{n}{k})$ ’dır. Örneğin ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ ’de, $x^{2} y$ ’nin yanındaki katsayı $(\binom{3}{2}) = 3$ ’tür. Bu da genellikle aşağıdaki formülle ifade edilebilir:

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .

Üstelik binom katsayıları ilginç bir desen oluşturur; Pascal üçgeni olarak bilinen bir üçgen biçiminde düzenlenebilirler:

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

Pascal üçgeniyle ilgili ilginç bir bilgi de bir satırın önceki satırdaki bitişik elemanların toplanarak oluşturulabilmesidir. Örneğin n = 4 satırındaki 6 bir önceki satırdaki 3 + 3’ten gelir. Benzer şekilde, n = 5 satırındaki 10 üstteki satırdaki 4 + 6’dan gelir. Bu gözlem

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

denklemi şeklinde özetlenebilir.

Binom denklemleri ve özdeşlikleri

İşte binom katsayıları barındıran en iyi bilinen özdeşliklerden bazıları:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

Python’da n elemandan k eleman seçme

Python programlama dilinde n’nin tekrarsız k’lı kombinasyonlarının sayısını elde etmek için math modülündeki comb fonksiyonunu kullanın:

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

n’nin tekrarlı k’lı kombinasyonlarının sayısı için ise tekrarlı kombinasyonları tekrarsız kombinasyonlarla ilişkilendiren formülü kullanın:

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

n’nin tekrarsız k’lı kombinasyonlarının tamamını görüntülemek istiyorsanız, tam olarak bunu yapan yerleşik bir fonksiyon mevcuttur:

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

n’nin tekrarlı k’lı kombinasyonlarını görüntülemek için ise şunu kullanın:

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

n’nin tekrarsız k’lı kombinasyonlarının sayısını veren kendi fonksiyonunuzu yazmak istiyorsanız, işte bir örnek:

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

n’nin tekrarlı k’lı kombinasyonlarının sayısını hesaplayan bir fonksiyon için şunu kullanabilirsiniz:

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

Kombinasyon Hesaplayıcı nasıl kullanılır?

Kombinasyon Hesaplayıcı n’nin tekrarlı ve tekrarsız k’lı kombinasyonlarını hesaplamanızı sağlar. Hesaplama yapmak için n harfiyle işaretlenmiş alana kullanılabilir eleman sayısını girin. Ardından k veya r ile işaretlenmiş alana seçim sayısını girin. Tekrarlı kombinasyonlarla ilgileniyorsanız aşağıdaki kutucuğu işaretleyin. Son olarak “Hesapla” butonuna basın; sonuçlar aşağıda görüntülenecektir.

Hesaplayıcı özellikle çok büyük sayılar içeren hesaplamalar için oldukça uygundur. n = 1000000 ve k = 1000 gibi girdiler için sonucu hesaplamak sorun olmayacaktır. Büyük sayılarda Hesaplayıcı sonucu iki biçimde gösterir. Birinci satırda bilimsel gösterimdeki yaklaşık değeri, ikinci satırda ise tam sonucu gösterir.

Tanımlı herhangi bir sınır bulunmamaktadır ve hesaplayıcı n ile k’nın büyüklüğünden bağımsız olarak hesaplamaları yapmaya çalışır. Hesaplamaların başarılı olup olmayacağı sisteminizin yapılandırmasına bağlıdır. Masaüstü bilgisayarlarda Chrome tarayıcısının modern sürümleri n = 8000000000 ve k = 10000000 gibi girdiler için sonuçları (bir asteroit çarpmasının Dünya’yı yok etmesinden sonra dev bir uzay gemisinde yaşayacak 10.000.000 kişiyi seçmenin kaç yolu olduğu gibi) kolaylıkla hesaplayabilir. Ancak diğer sistem yapılandırmaları, özellikle mobil cihazlarda bu kadar büyük sayılarda zorlanabilir.

Hesaplayıcının başka özellikleri de mevcuttur. Şunları yapabilirsiniz:

Sonuçların görüntülenmesini istediğiniz tabanı seçebilirsiniz. 2 ile 36 arasında herhangi bir tam sayı kullanabilirsiniz. Varsayılan taban 10’dur yani varsayılan olarak sonuçlar ondalık sistemde görüntülenir. Farklı bir taban seçtiğinizde o taban yalnızca sonuçları görüntülemekte kullanılır. Girdi her zaman 10 tabanında okunur.
“Temizle” butonuna tıklayarak n ve k alanlarını temizleyebilirsiniz. Sonrasında istediğiniz değerleri yeniden girebilirsiniz.
Sonucu panoya kopyalayabilirsiniz. Bu özelliği (ve aşağıdaki tüm özellikleri) kullanmak için “Sonuç” alanının üzerindeki ilgili butona basın.
Sonucu indirip cihazınıza bir metin dosyası olarak kaydedebilirsiniz.
Sonucu yazdırabilirsiniz.
Sonucun bağlantısını panoya kopyalayabilirsiniz.
Sonucu temizleyebilirsiniz.

Bu içeriği kaynak gösterin veya ekleyin

Ticari amaçlar dahil olmak üzere bu web sitesini kaynak gösterdiğiniz sürece ücretsiz olarak kullanabilirsiniz. Bilimsel bir metinde kaynak gösteriyorsanız aşağıdaki alıntı biçimini kullanabilirsiniz:

Narkiewicz A., Kombinasyon Hesaplayıcı, https://minesweeper.us/mayın-tarlası/kombinasyon-hesaplayıcı/. Erişim tarihi: 2026-07-22.

Bu web sitesini internette kaynak göstermek için ana URL’si (https://minesweeper.us/mayın-tarlası/kombinasyon-hesaplayıcı/) aracılığıyla bağlantı verebilir ya da belirli bir sonuca bağlantı vermek istiyorsanız “Bağlantıyı panoya kopyala” butonunu kullanabilirsiniz.

Ayrıca bir iframe öğesi kullanarak bu sayfayı kendi web sitenize ekleyebilirsiniz. Sayfanın yalnızca hesaplayıcıyı görüntülemesini ve geri kalan tüm içeriği (menüler, makale vb.) gizlemesini istiyorsanız src özniteliğinde aşağıdaki URL’yi kullanabilirsiniz: https://minesweeper.us/mayın-tarlası/kombinasyon-hesaplayıcı/?iframe=1.

Lütfen bu sayfayı web sitenizde tıklanabilir bir bağlantıyla kaynak göstererek belirtin. Uygulamamızı web sitenize eklediğinizi contact@simiade.com adresine e-posta göndererek bize bildir. Bu sayede uygulamamızda web yöneticilerinin sayfayı güncellemesini gerektirebilecek değişiklikler yaparsak sizi bilgilendirebiliriz.

Kaynakça

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Bize ulaşın

Herhangi bir sorunuz, yorumunuz veya öneriniz varsa geri bildiriminizi buraya bırakabilirsiniz:

Bize posta yoluyla da ulaşabilirsiniz:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polonya
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/tr/