Kalkulator silni

Aby obliczyć silnię danej liczby, wpisz ją w polu „Silnia liczby” i naciśnij przycisk „Oblicz”. Wynik pokaże się w polu poniżej.

Silnia liczby:

Podstawa:

Wynik:

2025-12-10,

Adam jest doktorem ekonomii. Jest odpowiedzialny za tworzenie specjalistycznych artykułów oraz nadzoruje rozwój aplikacji internetowych. Znajdziesz go na:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Czym jest silnia?

Aby uzyskać silnię danej liczby, pomnóż wszystkie liczby całkowite od 1 do tej liczby. Do zapisu silni używa się wykrzyknika. Dla przykładu:

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24,

co możemy odczytać jako „cztery silnia równa się 24”.

Silni można używać tylko do liczb całkowitych nieujemnych (większych lub równych 0). Dla ułatwienia matematycy przyjęli, że $0! = 1$ , to znaczy zero silnia wynosi jeden.

Wzór silni

Silnię danej liczby n można opisać za pomocą któregokolwiek z poniższych wzorów:

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

Wszystkie z nich dają identyczny wynik. Wzór (1) wynika wprost z definicji silni (iloczyn wszystkich liczb całkowitych od 1 do n). Wzór (2) to skrócona wersja wzoru (1), zapisana przy użyciu iloczynu skończonego. Wzór (3) to wzór rekurencyjny, który możemy odczytać jako „n silnia równa się n razy n minus jeden silnia”.

Przykłady zastosowań silni

Silnie mają wiele zastosowań. Są powszechnie wykorzystywane np. w kombinatoryce i teorii prawdopodobieństwa, ponieważ informują nas o tym, na ile sposobów możemy uporządkować zbiór różnych obiektów. Konkretnie rzecz ujmując, silnie wykorzystuje się do obliczania permutacji, wariacji i kombinacji bez powtórzeń, choć swoje zastosowanie znalazły też w wielu innych gałęziach matematyki.

Przykład: Na ile sposobów możemy uporządkować trzy przedmioty?

Załóżmy, że mamy trzy przedmioty: ananasa, banana i cytrynę. Musimy zdecydować, w jakiej kolejności je zjemy. Pierwszy owoc wybieramy spośród trzech możliwych. Po zjedzeniu go pozostają nam dwie opcje, spośród których wybieramy następny owoc. Wtedy zostaje nam już tylko jeden, więc nie mamy z czego wybierać – musimy zjeść ten, który został. A zatem możemy uporządkować te owoce na $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ sposobów:

Ananas, Banan, Cytryna

Ananas, Cytryna, Banan

Banan, Ananas, Cytryna

Banan, Cytryna, Ananas

Cytryna, Ananas, Banan

Cytryna, Banan, Ananas

Przykład: Na ile sposobów możemy uporządkować cztery cyfry?

Tym razem załóżmy, że mamy do dyspozycji cztery cyfry, od 1 do 4. Na ile różnych sposobów możemy je uporządkować? Odpowiedź brzmi: $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ . Oto wszystkie 24 możliwości:

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

Ten sposób sprawdzi się tylko w przypadku, gdy mamy do wyboru cztery różne cyfry. Jeśli któreś z nich się powtarzają, jak w zbiorze 3, 5, 5, 7, nie możemy użyć zwykłej silni – wzór stanie się wtedy bardziej skomplikowany. Poniższy przykład opisuje ten problem bardziej szczegółowo.

Przykład: Na ile sposobów możemy uporządkować pięć liter?

Ile istnieje sposobów uporządkowania liter ze słowa WAZON? Odpowiedź brzmi: $5! = 120$ . To całkiem sporo możliwości!

Ten prosty wzór działa tylko wtedy, gdy żadna z liter w wyrazie się nie powtarza. Jeśli któraś z liter występuje więcej niż raz, należy obliczyć silnię długości wyrazu (jak dotychczas), a następnie podzielić ją przez iloczyn silni powtórzeń każdej powtarzającej się litery. Rozważmy to na przykładzie – w wyrazie MISSISSIPPI występuje 11 liter, z czego S i I pojawiają się po cztery razy, a P występuje dwa razy. Wynika z tego, że litery w tym wyrazie możemy uporządkować na 34 650 sposobów:

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650 .

Dlaczego potrzebujemy tych silni w mianowniku? Dlatego, że jeśli na przykład dwie z czterech liter S zamienią się miejscami, postać słowa nie zmieni się w żaden sposób. A ponieważ w wyrazie mamy cztery litery S, istnieje 4! różnych sposobów by je uporządkować. Chcemy pozbyć się tych różnych sposobów uporządkowania takich samych liter, ponieważ nie wpływają one na uzyskany wyraz. I właśnie to osiągamy, dzieląc główną silnię przez 4!.

Przykład: Na ile sposobów możemy potasować talię kart?

W tym ostatnim już przykładzie sprawdzimy, ile istnieje różnych przetasowań 52-kartowej talii. Aby to zrobić, musimy oczywiście obliczyć 52 silnia, co daje ogromny wynik: 52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000, czyli w przybliżeniu $52! \approx 8,066 \times 10^{67}$ .

W praktyce oznacza to, że jeśli porządnie tasujesz talię, praktycznie nie masz szans na zetknięcie się z tym samym ułożeniem kart dwa razy.

Ile wynosi silnia liczby…

Poniżej przedstawiamy kilka przykładowych silni:

Pytanie	Odpowiedź
Ile wynosi 0 silnia?	0 silnia wynosi 1.
Ile wynosi 1 silnia?	1 silnia wynosi 1.
Ile wynosi 2 silnia?	2 silnia wynosi 2.
Ile wynosi 3 silnia?	3 silnia wynosi 6.
Ile wynosi 4 silnia?	4 silnia wynosi 24.
Ile wynosi 5 silnia?	5 silnia wynosi 120.
Ile wynosi 6 silnia?	6 silnia wynosi 720.
Ile wynosi 7 silnia?	7 silnia wynosi 5,040.
Ile wynosi 8 silnia?	8 silnia wynosi 40,320.
Ile wynosi 9 silnia?	9 silnia wynosi 362,880.
Ile wynosi 10 silnia?	10 silnia wynosi 3,628,800.
Ile wynosi 52 silnia?	52 silnia wynosi 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.
Ile wynosi 100 silnia?	100 silnia wynosi 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

100 silnia można także zapisać w przybliżeniu, korzystając z notacji naukowej: $100! \approx 9,333 \times 10^{157}$ .

Silnia w Pythonie

Jeśli korzystasz z języka programowania takiego jak Python, możesz skorzystać z wbudowanej funkcji:

import math
math.factorial(n)

Jeśli wolisz zaprogramować własną funkcję do obliczania silni, możesz to zrobić za pomocą rekurencji:

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

Możesz też użyć iteracji:

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

Silnia liczby ujemnej

Silnię definiuje się tylko dla liczb całkowitych nieujemnych. Było wiele prób uogólnienia silni dla liczb rzeczywistych i zespolonych, ale konsensus pozostaje niezmienny – silnia liczby ujemnej powinna być nieoznaczona. Funkcja gamma, na przykład, uogólnia silnię na wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem… właśnie liczb całkowitych ujemnych.

Aproksymacje silni

Mnożenie wszystkich liczb całkowitych aż do n może być czasochłonne, szczególnie jeśli n jest duże. Z tego powodu matematycy wyprowadzili wzory, dzięki którym możemy szybko znaleźć przybliżenie silni. Poniżej przedstawiliśmy dwa z najbardziej znanych wzorów takich aproksymacji.

Wzór Stirlinga

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

Wzór Ramanujana

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

Jak korzystać z Kalkulatora silni?

Żeby skorzystać z niniejszego narzędzia, wprowadź liczbę w polu „Silnia liczby” i kliknij „Oblicz”. Wynik pojawi się poniżej. Jeśli wynikiem będzie duża liczba, podane zostaną dwa sposoby jej zapisu – krótsza, przybliżona wersja w notacji naukowej pojawi się u góry, a dokładny wynik poniżej.

Kalkulator działa tylko dla liczb całkowitych, począwszy od zera. Nie ma żadnej górnej granicy – jeśli pozwoli na to Twój sprzęt i przeglądarka, możesz wprowadzić dowolnie wysoką liczbę. Na komputerach stacjonarnych niektóre wersje Chrome’a są w stanie bez problemu obliczyć 10 000 000 silnia, ale Safari i Firefox mogą mieć trudności z liczbami większymi niż 60 000.

W przypadku dużych liczb obliczanie wyniku może zająć kilka sekund, a wyświetlenie go na ekranie nawet dłużej. Jeśli wprowadzona przez Ciebie liczba jest za duża, na ekranie pojawi się komunikat o błędzie. Może się jednak zdarzyć, że zamiast komunikatu strona się zawiesi i trzeba będzie ją odświeżyć.

Ponadto Kalkulator umożliwia przedstawienie wyniku za pomocą podstawy innej niż 10. Możesz wybrać dowolną liczbę z zakresu od 2 do 36. Jeżeli na przykład chcesz uzyskać wynik zapisany w systemie szesnastkowym, wprowadź w polu „Podstawa” liczbę 16. Ważne jest, aby pamiętać, że wynik zapisany w notacji naukowej korzysta z wybranej podstawy zarówno w mantysie, jak i w wykładniku. Wprowadzane przez użytkownika dane są zawsze odczytywane i wyświetlane w systemie dziesiętnym.

Cytowanie i osadzanie

Korzystanie z tej strony jest zupełnie darmowe, również w celach komercyjnych, o ile wskażesz ją jako źródło. W przypadku cytowania jej w tekście naukowym możesz skorzystać z poniższego wzoru cytowania:

Narkiewicz A., Kalkulator silni. https://minesweeper.us/saper/kalkulator-silni/, dostęp: 2025-12-10.

Aby zacytować tę stronę w Internecie, możesz umieścić link do niej w postaci głównego adresu URL (https://minesweeper.us/saper/kalkulator-silni/) lub, jeśli chcesz zamieścić link do konkretnego wyniku, użyj przycisku „Skopiuj link do schowka”.

Możesz również osadzić tę stronę na swojej witrynie za pomocą elementu iframe. Jeśli chcesz, aby na Twojej stronie wyświetlał się tylko kalkulator, bez pozostałej treści (menu, artykułu itd.), użyj w atrybucie src następującego adresu URL: https://minesweeper.us/saper/kalkulator-silni/?iframe=1.

Prosimy o cytowanie tej strony przy pomocy klikalnego odnośnika. Jeśli zdecydujesz się osadzić naszą aplikację na swojej stronie, powiadom nas o tym w mailu pod adresem contact@simiade.com. Dzięki temu będziemy mogli poinformować Cię o wszelkich zmianach w naszej aplikacji, które mogą wiązać się z koniecznością aktualizacji sposobu jej wyświetlania na innych stronach internetowych.

Bibliografia

Mortici, Cristinel. “Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation”, Applied Mathematics and Computation, 217 (6), 2010, s. 2579-2585.

Weisstein, Eric W. “Factorial”, MathWorld—A Wolfram Resource, [dostęp: 2025-12-19].

Weisstein, Eric W. “Stirling's Approximation”, MathWorld—A Wolfram Resource, [dostęp: 2025-12-19].

Kontakt

Jeśli masz jakiekolwiek pytania, uwagi lub sugestie, możesz podzielić się nimi tutaj:

Możesz też skontaktować się z nami tradycyjną pocztą:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polska
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/pl/