Kalkulačka faktoriálů

Pro výpočet faktoriálu zadejte číslo do pole „Faktoriál čísla“ a klikněte na „Vypočítat“. Výsledek se zobrazí v poli „Výsledek“.

Faktoriál čísla:

Základ soustavy:

Výsledek:

2026-05-11, autor:

Adam má doktorát z ekonomie, píše odborné články a dohlíží na vývoj online aplikací. Můžete ho najít na:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Co je faktoriál?

Faktoriál čísla získáte vynásobením všech celých čísel od jedničky až po dané číslo. Pro zapsání faktoriálu použijte vykřičník. Například

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24,

což čteme jako „čtyři faktoriál se rovná 24“ nebo „faktoriál čísla čtyři je 24“.

Faktoriál lze vypočítat pouze pro nezáporná celá čísla (n ≥ 0). Z praktických důvodů je stanoveno, že $0! = 1$ , tedy nula faktoriál se rovná jedné.

Vzorec pro faktoriál

Faktoriál daného čísla n lze zapsat pomocí jakéhokoli z následujících vzorců:

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

Všechny tyto vzorce vedou ke stejnému výsledku. 1. vzorec vychází z definice (vynásobení všech celých čísel od jedničky až po n). 2. vzorec je kratší verze 1. vzorce. Je zapsaný s pomocí operátoru součinu. 3. vzorec je rekurzivní vzorec, který čteme jako „n faktoriál se rovná n-krát faktoriál čísla n mínus jedna“.

Faktoriály v praxi – příklady

Faktoriály mají mnoho využití – jsou oblíbené například v kombinatorice a teorii pravděpodobnosti, protože udávají, kolika způsoby lze uspořádat sadu různých objektů. Konkrétně se faktoriály používají ve vzorcích pro permutace, variace a kombinace. Současně se používají v mnoha dalších oblastech matematiky.

Příklad: Kolika způsoby lze uspořádat 3 předměty?

Předpokládejme, že máme tři kusy ovoce: ananas, banán a citron. Musíme se rozhodnout, v jakém pořadí je sníme. Pro ovoce, které sníme jako první, máme tři možnosti. Jakmile ho sníme, zbývají nám dvě možnosti, co jíst dál. Jakmile zbývá poslední kus, vybírat si už nemůžeme – musíme sníst to, co zbylo. Plody tedy můžeme uspořádat $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ způsoby:

Ananas, Banán, Citron

Ananas, Citron, Banán

Banán, Ananas, Citron

Banán, Citron, Ananas

Citron, Ananas, Banán

Citron, Banán, Ananas

Příklad: Kolika způsoby lze uspořádat 4 číslice?

Předpokládejme, že máme čtyři číslice od 1 do 4. Kolika způsoby je můžeme uspořádat? Odpověď je $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ . Zde je všech 24 možností:

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

Tato metoda funguje pouze v případě, že máme čtyři různé číslice. Pokud se některé číslice opakují, například máme 3, 5, 5 a 7, pak již nemůžeme jednoduše použít faktoriál – vzorec bude komplikovanější. Podrobněji si to ukážeme v následujícím příkladu.

Příklad: Kolika způsoby lze uspořádat 5 písmen?

Kolika způsoby můžeme uspořádat písmena ze slova „CESTA“? Odpověď je $5! = 120$ . Máme spoustu možností!

Tento jednoduchý vzorec ovšem funguje pouze tehdy, když se ve slově písmena neopakují. Pokud máte slovo s opakujícími se písmeny, musíte vzít faktoriál délky slova a pro každé písmeno jej vydělit faktoriálem počtu jeho opakování. Například slovo „MISSISSIPPI“ má 11 písmen, ale písmena S a I se objevují čtyřikrát, zatímco P se zde vyskytuje dvakrát. Proto lze písmena v tomto slově uspořádat 34 650 způsoby:

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650 .

Proč musíme dát do jmenovatele ty faktoriály? Pokud si například dvě ze čtyř písmen S prohodí místa, slovo se nezmění. Protože jsou zde čtyři písmena S, existuje 4! způsobů, jak je přeuspořádat. Všechna tato uspořádání chceme eliminovat, protože vedou k identickým slovům. Uděláme to tak, že hlavní faktoriál vydělíme 4!.

Příklad: Kolika způsoby lze zamíchat balíček 52 karet?

V tomto posledním příkladu zjistíme, kolika způsoby lze uspořádat standardní balíček 52 karet. Odpověď je samozřejmě 52 faktoriál, což je velmi vysoké číslo: 52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 nebo přibližně $52! \approx 8,066 \times 10^{67}$ .

To znamená, že pokud karty dobře zamícháte, prakticky neexistuje šance, že byste kdykoli na stejné uspořádání narazili znovu.

Jaký je faktoriál čísla...

Zde je přehled těch nejoblíbenějších faktoriálů:

Otázka	Odpověď
Kolik je 0 faktoriál?	0 faktoriál se rovná 1.
Kolik je 1 faktoriál?	1 faktoriál se rovná 1.
Kolik je 2 faktoriál?	2 faktoriál se rovná 2.
Kolik je 3 faktoriál?	3 faktoriál se rovná 6.
Kolik je 4 faktoriál?	4 faktoriál se rovná 24.
Kolik je 5 faktoriál?	5 faktoriál se rovná 120.
Kolik je 6 faktoriál?	6 faktoriál se rovná 720.
Kolik je 7 faktoriál?	7 faktoriál se rovná 5 040.
Kolik je 8 faktoriál?	8 faktoriál se rovná 40 320.
Kolik je 9 faktoriál?	9 faktoriál se rovná 362 880.
Kolik je 10 faktoriál?	10 faktoriál se rovná 3 628 800.
Kolik je 52 faktoriál?	52 faktoriál se rovná 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.
Kolik je 100 faktoriál?	100 faktoriál se rovná 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

Faktoriál čísla 100 lze aproximovat pomocí vědeckého zápisu: $100! \approx 9,333 \times 10^{157}$ .

Faktoriál v Pythonu

Pokud používáte programovací jazyk, jako je Python, můžete použít vestavěnou funkci:

import math
math.factorial(n)

Pokud si však chcete naprogramovat vlastní funkci pro výpočet faktoriálu, můžete k tomu využít rekurzi:

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

Nebo můžete použít iterace:

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

Faktoriál záporného čísla

Faktoriál je definován pouze pro nezáporná celá čísla. Existovalo mnoho pokusů o zobecnění faktoriálu tak, aby fungoval i pro reálná a komplexní čísla. Panuje však shoda na tom, že faktoriál záporného čísla by měl zůstat nedefinován. Například Gama funkce zobecňuje faktoriál pro všechna komplexní čísla s výjimkou… záporných celých čísel.

Aproximace faktoriálu

Násobení všech celých čísel až do n může být časově náročné, zejména když je n vysoké. Proto matematici navrhli vzorce, které faktoriály rychle aproximují. Dva takové slavné vzorce najdete níže.

Stirlingův vzorec

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

Rámanudžanova aproximace

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

Jak používat Kalkulačku faktoriálů?

Pro použití této kalkulačky stačí zadat číslo do pole „Faktoriál čísla“ a stisknout tlačítko „Vypočítat“. Výsledek se zobrazí níže. Pokud je výsledkem vysoké číslo, zobrazí se dvěma způsoby: nahoře uvidíte kratší, přibližný výsledek ve vědeckém zápisu a pod ním přesné řešení.

Kalkulačka funguje pouze s celými čísly, počínaje 0. Neexistuje žádný předem naprogramovaný horní limit – pokud to vaše zařízení a webový prohlížeč umožní, můžete zadat libovolně velké číslo. Na stolních počítačích dokážou některé verze prohlížeče Chrome snadno vypočítat faktoriál 10 000 000, zatímco Firefox a Safari mohou mít potíže se zpracováním čísel vyšších než 60 000.

U vysokých čísel může výpočet výsledku trvat několik sekund a další prodleva bude, než se zobrazí na obrazovce. Pokud je zadané číslo příliš vysoké, zobrazí se vám chybová zpráva. Někdy místo zobrazení zprávy stránka spadne a je nutné ji znovu načíst.

Výsledek si můžete zobrazit i v jiné číselné soustavě než desítkové. Můžete si vybrat jakékoli číslo mezi 2 a 36. Pokud například chcete získat výsledek v hexadecimální soustavě, zadejte 16. Je důležité pamatovat si, že výsledek zobrazený ve vědeckém zápisu používá zvolený základ soustavy v mantise i v exponentu. Naopak, vstup je vždy čten a zobrazován v desítkové soustavě.

Citování nebo vložení tohoto obsahu

Tento web můžete používat zdarma, a to i pro komerční účely, pokud tento web uvedete jako zdroj. Pokud ho citujete ve vědeckém textu, můžete použít následující citaci:

Narkiewicz A., Kalkulačka faktoriálů, https://minesweeper.us/hledání-min/kalkulačka-faktoriálů/, citováno 2026-04-27.

Pokud chcete citovat tento web na internetu, můžete na něj odkázat pomocí hlavní URL (https://minesweeper.us/hledání-min/kalkulačka-faktoriálů/) nebo, pokud chcete odkázat na konkrétní výsledek, použijte tlačítko „Zkopírovat odkaz do schránky“.

Tuto stránku můžete také vložit na svůj web pomocí prvku iframe. Pokud chcete, aby stránka zobrazovala pouze kalkulačku a skryla veškerý ostatní obsah (menu, článek atd.), můžete v atributu src použít následující URL: https://minesweeper.us/hledání-min/kalkulačka-faktoriálů/?iframe=1.

Uveďte, prosím, na svém webu odkaz na tuto stránku formou citace s prokliknutelným odkazem. Můžete nám také dát vědět, že jste naši aplikaci vložili na svůj web, zasláním e-mailu na contact@simiade.com. Díky tomu vás budeme moci informovat o případných změnách v naší aplikaci, které by mohly vyžadovat, aby webmasteři upravili způsob jejího zobrazení na svých stránkách.

Zdroje

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

Kontaktujte nás

Pokud máte jakékoli dotazy, připomínky nebo návrhy, můžete nám svou zpětnou vazbu zanechat zde:

Nebo nás můžete kontaktovat poštou:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polsko
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/cs/