Calculator permutări și aranjamente

Pentru a calcula numărul de aranjamente, introdu numărul de opțiuni (n), numărul de alegeri permise (de obicei notat cu k sau r) și bifează opțiunea „Cu repetiții” dacă opțiunile pot fi alese de mai multe ori. Apasă butonul „Calculează”, iar rezultatul va fi afișat mai jos.

Număr de elemente (n): Lungimea șirului (k sau r): Cu repetiții: Bază:

Rezultat:

2026-11-07, de

Adam și-a luat doctoratul în economie, scrie articole tehnice și coordonează dezvoltarea aplicațiilor online. Îl poți găsi la:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Ce sunt aranjamentele și permutările?

O permutare reprezintă o modificare a ordinii elementelor dintr-un șir. Numărul de permutări arată în câte moduri diferite poate fi reordonată un șir de elemente.

Un aranjament de n elemente luate câte k reprezintă o modalitate de a ordona k elemente dintr-o mulțime de n elemente. Calculatorul de permutări și aranjamente calculează numărul acestora pentru valori date ale lui n și k. În unele surse, în loc de k se folosește litera r — cele două au aceeași semnificație.

Aranjamentele de n elemente luate câte k sunt de două tipuri. În primul caz, avem aranjamente fără repetiții, ceea ce înseamnă că fiecare dintre cele n elemente poate apărea într-un șir cel mult o dată. În al doilea caz, dacă elementele pot apărea de mai multe ori în același șir, avem aranjamente de n luate câte k cu repetiții. Cu acest calculator poți calcula ambele tipuri de aranjamente.

Aranjamente și combinări

Aranjamentele sunt adesea confundate cu combinările. De exemplu, în limbajul de zi cu zi se poate vorbi despre o „combinație” de cifre care deschide o încuietoare sau un seif. Totuși, în sens strict, o secvență de cifre care deschide o încuietoare este, de cele mai multe ori, un aranjament cu repetiții.

Diferența dintre aranjamente și combinări, așa cum sunt definite în matematică, este că, în cazul aranjamentelor, ordinea elementelor contează, motiv pentru care vorbim despre ordonări și șiruri. Pe de altă parte, în cazul combinărilor, ordinea nu contează, astfel că este mai potrivit să vorbim despre alegerea elementelor și despre submulțimi de elemente.

Un cod care deschide o încuietoare este un șir în care ordinea cifrelor contează în mod clar. Astfel, chiar dacă în limba română îl numim în mod obișnuit „combinație”, acesta nu poate fi confundat cu termenul matematic „combinare” — o astfel de „combinație” nu este, din punct de vedere tehnic, o „combinare”.

Dacă te interesează combinările, nu aranjamentele, accesează Calculatorul nostru de combinări.

Formula aranjamentelor

Să analizăm mai întâi aranjamentele de n elemente luate câte k fără repetiții. Dacă formezi șiruri de lungime k folosind n elemente, numărul de șiruri diferite pe care le poți obține este dat de formula

A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!} .

În formulă, n! reprezintă factorialul lui n. Pe lângă notația $A_{n}^{k},$ în unele surse sunt folosite și alte simboluri:

A_{n}^{k} = A (n, k) = {}_{n}A_{k} = A_{n, k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Pe de altă parte, pentru aranjamentele de n elemente luate câte k cu repetiții, se folosește formula

{\overline{A}}_{n}^{k} = n^{k} .

Aceasta este pur și simplu n la puterea k.

Din motive tehnice, calculatorul nostru utilizează simbolurile cele mai des întâlnite în sursele de limbă engleză, și anume $P (n, k)$ pentru aranjamente fără repetiții și $U (n, k)$ pentru aranjamente cu repetiții.

Formula aranjamentelor explicată

Să presupunem că vrem să formăm un șir de lungime k din n elemente. Pentru prima poziție din șir, putem alege oricare dintre cele n elemente. În cazul aranjamentelor fără repetiții, elementul ales este eliminat din mulțimea disponibilă, astfel că pentru a doua poziție mai rămân $n - 1$ elemente. Apoi, și al doilea element ales este eliminat din mulțimea disponibilă, astfel că pentru a treia poziție mai pot fi alese doar $n - 2$ elemente. Se continuă în același mod până când completăm întreg șir, obținând astfel următoarea formulă:

A_{n}^{k} = \underset{k factori}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Putem apoi să înmulțim și să împărțim formula cu același număr, fără să-i schimbăm valoarea. Alegem $(n - k)!$ și obținem

A_{n}^{k} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

În cazul aranjamentelor cu repetiții, situația este asemănătoare la început. Pentru prima poziție din șir putem alege oricare dintre cele n elemente. Pentru că sunt permise repetițiile, elementul ales nu este eliminat din mulțimea disponibilă, așa că și pentru a doua poziție avem tot n elemente din care să alegem. Același lucru se întâmplă și pentru a treia poziție și pentru cele următoare. În total, facem k alegeri, iar formula devine

{\overline{A}}_{n}^{k} = \underset{k factori}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Exemple de aranjamente

Exemplu: În câte moduri diferite pot fi aranjate cărțile dintr-un pachet?

Un pachet obișnuit are 52 de cărți. În câte moduri diferite pot fi aranjate acestea? Numărul total de elemente este 52, deci n = 52. Lungimea șirului, adică numărul de cărți pe care vrem să le includem în aranjament, este tot 52, deoarece folosim întregul pachet. Prin urmare, k = 52. Nu avem repetiții, deoarece fiecare carte apare o singură dată în aranjament. Avem astfel toate informațiile necesare pentru a aplica formula:

A_{52}^{52} = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Acesta este un număr foarte mare. Poți afla rezultatul exact folosind Calculatorul nostru de permutări și aranjamente. Deoarece aici este vorba despre o permutare, adică un tip particular de aranjament în care numărul de elemente selectate este egal cu numărul total de elemente (k = n), formula se reduce la un simplu factorial. Astfel, rezultatul exact poate fi obținut și calculând factorialul lui 52.

Exemplu: Câte cuvinte de 3 litere pot forma folosind literele cuvântului LUNA?

Avem patru litere diferite și vrem să aflăm câte aranjamente distincte din trei litere putem crea cu ele. Și în acest caz, fiecare literă poate fi folosită o singură dată, așa că formula este $A_{4}^{3} = 24 .$ Iată toate cele 24 de aranjamente:

LUN

LUA

LNU

LNA

LAU

LAN

ULN

ULA

UNL

UNA

UAL

UAN

NLU

NLA

NUL

NUA

NAL

NAU

ALU

ALN

AUL

AUN

ANL

ANU

Exemplu: În câte moduri putem împărți 7 bile de culori diferite la 4 copii?

În acest exemplu, vrem să dăm câte o bilă fiecăruia dintre cei patru copii: Ana, Maria, Andrei și Vlad. Avem șapte bile: una albă, una portocalie, una albastră, una verde, una galbenă, una mov și una maro. În câte moduri diferite putem face această împărțire? Și aici ne ajută aranjamentele. Deoarece aceeași bilă nu poate fi dată mai multor copii, folosim aranjamente fără repetiții: $A_{7}^{4} = 840 .$

Prin urmare, bilele pot fi împărțite între copii în 840 de moduri diferite.

Exemplu: Dintr-o asociație cu 20 de membri, în câte moduri pot fi alese trei persoane pentru funcțiile de președinte, secretar și trezorier?

Sunt 20 de persoane care pot fi alese pentru funcția de președinte. Alegem una dintre ele. Odată ales președintele, mai rămân 19 persoane care pot fi alese pentru funcția de secretar. În cele din urmă, după alegerea președintelui și a secretarului, mai rămân 18 persoane care pot ocupa funcția de trezorier. Înmulțim aceste numere și obținem $20 \times 19 \times 18 = 6840$ de moduri posibile de a alege trei persoane pentru aceste funcții.

În general, atunci când avem k funcții diferite de ocupat și un grup de n candidați, există exact $A_{n}^{k}$ moduri de a face acest lucru. În acest caz, avem $A_{20}^{3} = 6840 .$

Exemplu: Câte coduri diferite de 4 cifre pot fi folosite pentru un lacăt, dacă nu se folosește cifra 0?

Acesta nu este un lacăt obișnuit, deoarece cifrele disponibile sunt de la 1 la 9, nu de la 0 la 9. Prin urmare, numărul de elemente este n = 9, iar lungimea șirului este k = 4. Fiecare cifră poate fi folosită de câte ori este nevoie, așa că în acest caz folosim aranjamente cu repetiții. Formula este

{\overline{A}}_{n}^{k} = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Există 6561 de combinații posibile. Dacă verificarea fiecărei combinații durează o secundă, ar trebui să putem deschide lacătul încercându-le pe toate în mai puțin de două ore. Aici, termenul „combinație” nu are același sens cu termenul matematic „combinare”. Deoarece ordinea cifrelor contează, vorbim de fapt despre aranjamente cu repetiții, nu despre combinări.

Exemplu: Câte parole diferite putem crea?

Răspunsul depinde de lungimea parolei și de numărul de caractere disponibile. De exemplu, vom calcula câte parole de 10 caractere se pot crea. Avem la dispoziție atât literele mici, cât și literele mari ale alfabetului englez (de la a la z și de la A la Z — 52 de litere în total), cifrele (de la 0 la 9) și caractere speciale (30 distincte în total):

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

În total, avem 52 + 10 + 30 = 92 de caractere diferite. Fiecare caracter poate fi folosit de câte ori dorim, așa că avem aranjamente de n elemente luate câte k cu repetiții. Formula este

{\overline{A}}_{n}^{k} = n^{k} = 92^{10} = 43.438.845.422.363.213.824 .

Rezultă un număr foarte mare de parole unice. Este foarte puțin probabil ca cineva să îți ghicească parola încercând toate combinațiile posibile, atâta timp cât caracterele au fost alese aleatoriu și nu ai folosit ceva ușor de ghicit, cum ar fi parola12345 sau Parola0!.

Calculul aranjamentelor în Python

Dacă vrei să calculezi numărul de aranjamente într-un limbaj de programare precum Python, poți folosi formula aranjamentelor pentru a-ți crea propria funcție:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

În mod similar, poți folosi formula pentru aranjamente cu repetiții:

def nUk(n, k):
	return n**k

Dacă vrei să generezi toate aranjamentele fără repetiții, poți scrie:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

Iar pentru aranjamente cu repetiții:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Calculator exponențial pentru numere mari

Deoarece formula pentru aranjamente cu repetiții este ${\overline{A}}_{n}^{k} = n^{k},$ poți folosi acest Calculator de permutări și aranjamente pentru a calcula exponenți. Este util mai ales atunci când rezultatul este foarte mare (de exemplu, poți obține cu ușurință valoarea exactă a lui 3¹⁰⁰⁰), deoarece calculatoarele obișnuite nu gestionează întotdeauna bine rezultate atât de mari. Bifează opțiunea „Cu repetiții”, introdu la n numărul care va fi ridicat la putere, iar la k exponentul. Poți folosi doar numere întregi nenegative.

Cum se folosește Calculatorul de permutări și aranjamente

Pentru a folosi acest calculator, introdu în câmpul marcat cu n numărul de elemente din care se face alegerea. Numărul de elemente selectate, adică lungimea șirului, se introduce în câmpul de mai jos (marcat cu k sau r). Dacă vrei să calculezi aranjamente cu repetiții, bifează opțiunea „Cu repetiții”, apoi apasă butonul „Calculează” pentru a efectua calculul sau butonul „Șterge” pentru a introduce alte valori.

Rezultatul este afișat în câmpul „Rezultat” de mai jos. Dacă rezultatul este mic, acesta apare pe un singur rând. Numerele mai mari sunt afișate în două moduri: aproximarea în notație științifică apare deasupra, iar valoarea exactă este afișată dedesubt. Dacă apare o eroare în timpul calculului, aceasta va fi afișată în locul rezultatului.

Calculatorul acceptă doar numere întregi nenegative. Pentru aranjamentele fără repetiții, valorile introduse trebuie să respecte și condiția k ≤ n. Pentru aranjamentele cu repetiții, cele două valori nu pot fi simultan egale cu zero, deoarece valoarea lui 0⁰ este nedeterminată. Nu există o valoare maximă pentru valorile introduse. Poți obține cu ușurință rezultate foarte mari, de exemplu pentru n = 8000000000 și k = 1000 (de pildă, numărul de moduri în care pot fi alese 1000 de persoane din populația Pământului). În funcție de configurația sistemului, pot fi obținute și rezultate mult mai mari. Totuși, calcularea unui rezultat foarte mare poate dura mult timp, iar dacă operațiile depășesc capacitatea dispozitivului, site-ul se poate bloca.

Poți alege baza în care vrei să fie afișate rezultatele. Valoarea implicită este 10, ceea ce înseamnă că rezultatele vor fi afișate în sistem zecimal. Pentru bază, poți folosi orice număr întreg de la 2 la 36. Totuși, doar rezultatele vor fi afișate în baza selectată. Valorile introduse pentru n și k sunt interpretate întotdeauna ca fiind scrise în baza 10.

Poți: 1) copia rezultatul în clipboard, 2) descărca rezultatul ca fișier, 3) imprima rezultatul, 4) copia în clipboard linkul către rezultate și 5) șterge câmpul „Rezultat”. Pentru a folosi oricare dintre aceste opțiuni, apasă pictograma corespunzătoare de deasupra câmpului „Rezultat”.

Citarea sau încorporarea acestui conținut

Acest site poate fi folosit gratuit, inclusiv în scopuri comerciale, cu condiția ca acesta să fie citat ca sursă. Dacă vrei să îl citezi într-un text științific, poți folosi următoarea referință bibliografică:

Narkiewicz, Adam. Calculator permutări și aranjamente, https://minesweeper.us/ro/calculator-permutări-și-aranjamente/. Accesat în 2026-10-29.

Dacă vrei să citezi acest site pe internet, poți adăuga un link către acesta folosind adresa URL principală (https://minesweeper.us/ro/calculator-permutări-și-aranjamente/). Dacă vrei să afișezi un anumit rezultat, poți folosi butonul „Copiază linkul în clipboard”.

De asemenea, poți să încorporezi această pagină pe site-ul tău folosind un element iframe. Dacă vrei ca pagina să afișeze doar calculatorul și să ascundă restul conținutului (meniuri, articole etc.), poți folosi următoarea adresă URL în atributul src: https://minesweeper.us/ro/calculator-permutări-și-aranjamente/?iframe=1.

Te rugăm să menționezi această pagină pe site-ul tău, citând-o printr-un link activ. De asemenea, ne poți anunța că ai încorporat aplicația noastră pe site-ul tău, trimițându-ne un e-mail la contact@simiade.com. Astfel, te vom putea anunța dacă facem modificări care necesită actualizarea modului în care aplicația este afișată pe site-ul tău.

Referințe

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Contactează-ne

Dacă ai întrebări, comentarii sau sugestii, ne poți lăsa opinia ta aici:

Sau ne poți contacta prin poștă:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polonia
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/ro/

Ce sunt aranja­mentele și permutările?