Calculator factorial

Pentru a calcula un factorial, introdu un număr în câmpul „Factorialul lui” și apasă „Calculează”. Rezultatul va fi afișat în câmpul „Rezultat”.

Factorialul lui:

Bază:

Rezultat:

2026-11-06, de

Adam și-a luat doctoratul în economie, scrie articole tehnice și coordonează dezvoltarea aplicațiilor online. Îl poți găsi la:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Ce este un factorial?

Factorialul unui număr se calculează înmulțind toate numerele întregi pozitive de la 1 până la acel număr. Factorialul se notează cu semnul exclamării. De exemplu,

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24

se poate citi „patru factorial este egal cu 24” sau „factorialul lui patru este 24”.

Factorialul este definit doar pentru numerele întregi nenegative (adică numere mai mari sau egale cu 0). Prin convenție, matematicienii au stabilit că $0! = 1$ , adică factorialul lui zero este egal cu unu.

Formula factorialelor

Factorialul unui număr n poate fi exprimat prin oricare dintre formulele următoare:

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

Toate aceste formule dau același rezultat. Formula (1) rezultă din definiție (se înmulțesc toate numerele întregi de la unu până la n). Formula (2) este o formă restrânsă a formulei (1), scrisă cu ajutorul notației de produs. Formula (3) este o formulă de recurență pe care o putem citi astfel: „n factorial este egal cu n înmulțit cu factorialul lui n minus unu”.

Utilizarea factorialelor – exemple

Factorialele pot fi folosite în multe domenii. De exemplu, ele sunt frecvent folosite în combinatorică și în teoria probabilităților pentru că ne arată în câte moduri poate fi aranjată o mulțime de obiecte distincte. Mai exact, factorialele sunt folosite la calcularea permutărilor și combinărilor. De asemenea, sunt utilizate în multe alte ramuri ale matematicii.

Exemplu: în câte moduri pot fi ordonate 3 obiecte?

Să presupunem că avem trei obiecte: un măr, o banană și o pară și trebuie să decidem în ce ordine să le mâncăm. Avem trei opțiuni pentru primul fruct pe care îl putem alege. După ce l-am mâncat pe primul, ne rămân două opțiuni pentru următorul. Când mai rămâne un singur fruct, rămânem cu o singură variantă – trebuie să îl mâncăm pe cel rămas. Prin urmare, putem ordona fructele în $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ moduri:

Măr, Banană, Pară

Măr, Pară, Banană

Banană, Măr, Pară

Banană, Pară, Măr

Pară, Măr, Banană

Pară, Banană, Măr

Exemplu: în câte moduri pot fi ordonate 4 numere?

Să presupunem că avem patru numere, de la 1 la 4. În câte moduri le putem ordona? Răspunsul este $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ . Iată toate cele 24 de posibilități:

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

Acest lucru este valabil doar dacă avem patru cifre distincte. Dacă unele cifre se repetă (de exemplu, dacă avem 3, 5, 5 și 7), nu mai putem folosi direct factorialul, iar formula devine mai complicată. Acest aspect este explicat mai în detaliu în exemplul următor.

Exemplu: în câte moduri pot fi ordonate 5 litere?

În câte moduri pot fi ordonate literele din cuvântul „FRUCT”? Răspunsul este $5! = 120$ . Există foarte multe posibilități!

Această formulă simplă este valabilă doar dacă în cuvânt nu există litere care se repetă. Dacă un cuvânt are litere care se repetă, trebuie calculat factorialul lungimii cuvântului și împărțit la factorialul numărului de repetări al fiecărei litere. De exemplu, cuvântul „MISSISSIPPI” are 11 litere, dar literele S și I apar fiecare de patru ori, în timp ce P apare de două ori. Prin urmare, literele din acest cuvânt pot fi ordonate în 34.650 de moduri:

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650 .

De ce trebuie să punem aceste factoriale la numitor? De exemplu, dacă două dintre cele patru litere S își schimbă locul între ele, cuvântul nu se modifică. Deoarece există patru litere S, ele pot fi reordonate în 4! moduri. Vrem să eliminăm toate aceste reordonări deoarece obținem același cuvânt. Facem acest lucru împărțind factorialul principal la 4!.

Exemplu: în câte moduri poate fi amestecat un pachet de 52 de cărți?

În acest ultim exemplu, vom afla în câte moduri pot fi ordonate cărțile dintr-un pachet de 52 de cărți. Acesta este, desigur, factorialul lui 52, care este un număr extrem de mare: 52! = 80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000 sau cu aproximație $52! \approx 8,066 \times 10^{67}$ .

Acest lucru înseamnă că, dacă amestecăm bine cărțile, este practic imposibil să obținem vreodată aceeași ordine de două ori.

Ce este factorialul unui număr…

Iată câteva factoriale uzuale:

Întrebare	Răspuns
Cât este 0 factorial?	Factorialul lui 0 este 1.
Cât este 1 factorial?	Factorialul lui 1 este 1.
Cât este 2 factorial?	Factorialul lui 2 este 2.
Cât este 3 factorial?	Factorialul lui 3 este 6.
Cât este 4 factorial?	Factorialul lui 4 este 24.
Cât este 5 factorial?	Factorialul lui 5 este 120.
Cât este 6 factorial?	Factorialul lui 6 este 720.
Cât este 7 factorial?	Factorialul lui 7 este 5.040.
Cât este 8 factorial?	Factorialul lui 8 este 40.320.
Cât este 9 factorial?	Factorialul lui 9 este 362.880.
Cât este 10 factorial?	Factorialul lui 10 este 3.628.800.
Cât este 52 factorial?	Factorialul lui 52 este 80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000.000.
Cât este 100 factorial?	Factorialul lui 100 este 93.326.215.443.944.152.681.699.238.856.266.700.490.715.968.264.381.621.468.592.963.895.217.599.993.229.915.608.941.463.976.156.518.286.253.697.920.827.223.758.251.185.210.916.864.000.000.000.000.000.000.000.000.

Factorialul lui 100 poate fi aproximat cu ajutorul notației științifice: $100! \approx 9,333 \times 10^{157}$ .

Calculul factorialelor în Python

Dacă folosim un limbaj de programare precum Python, putem utiliza o funcție nativă:

import math
math.factorial(n)

În schimb, dacă vrem să programăm o funcție proprie pentru calculul factorialelor, o putem face prin recursivitate:

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

Sau putem folosi o abordare iterativă:

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

Factorialul unui număr negativ

Factorialul este definit doar pentru numerele întregi nenegative. Au existat numeroase încercări de a-l generaliza și pentru numere reale și complexe. Totuși, consensul este că factorialul unui număr negativ ar trebui să rămână nedefinit. De exemplu, funcția Gamma generalizează factorialul pentru toate numerele complexe, cu excepția... numerelor întregi negative.

Aproximarea factorialelor

Înmulțirea tuturor numerelor întregi până la n poate dura mult, în special când n este mare. Astfel, matematicienii au conceput formule care aproximează rapid factorialele. Două dintre cele mai cunoscute astfel de formule sunt prezentate mai jos.

Formula lui Stirling

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

Formula lui Ramanujan

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

Cum se folosește Calculatorul factorial?

Pentru a folosi acest calculator, introducem un număr în câmpul „Factorialul lui” și apăsăm pe butonul „Calculează”. Rezultatul va fi afișat mai jos. Dacă rezultatul este un număr mare, acesta va fi prezentat în două moduri: rezultatul mai scurt, aproximat în notație științifică, este afișat deasupra, iar rezultatul exact este prezentat dedesubt.

Calculatorul funcționează doar cu numere întregi, începând de la 0. Nu există o limită superioară predefinită – dacă dispozitivul și browserul web permit acest lucru, numărul introdus poate să fie oricât de mare. Pe calculatoarele desktop, unele versiuni de Chrome pot calcula cu ușurință factorialul lui 10.000.000, în timp ce Firefox și Safari pot întâmpina dificultăți cu numerele mai mari de 60.000.

În cazul numerelor mari, calcularea rezultatului poate dura câteva secunde bune, iar afișarea acestuia pe ecran poate dura chiar mai mult. Dacă numărul introdus este prea mare, va fi afișat un mesaj de eroare. Uneori, în loc să afișeze mesajul, pagina se blochează și trebuie reîncărcată.

Există opțiunea de a afișa rezultatul într-o bază diferită de 10. Putem specifica orice număr între 2 și 36. De exemplu, dacă vrem să obținem rezultatul în formă hexazecimală, introducem baza 16. Este important de reținut că rezultatul afișat în notație științifică folosește baza selectată atât pentru mantisă, cât și pentru exponent. Pe de altă parte, valoarea introdusă este întotdeauna citită și afișată în baza 10.

Citarea sau încorporarea acestui conținut

Acest site poate fi folosit gratuit, inclusiv în scopuri comerciale, cu condiția ca acesta să fie citat ca sursă. Dacă vrei să îl citezi într-un text științific, poți folosi următoarea referință bibliografică:

Narkiewicz, Adam. Calculator factorial, https://minesweeper.us/ro/calculator-factorial/. Accesat în 2026-10-27.

Dacă vrei să citezi acest site pe internet, poți adăuga un link către acesta folosind adresa URL principală (https://minesweeper.us/ro/calculator-factorial/). Dacă vrei să afișezi un anumit rezultat, poți folosi butonul „Copiază linkul în clipboard”.

De asemenea, poți să încorporezi această pagină pe site-ul tău folosind un element iframe. Dacă vrei ca pagina să afișeze doar calculatorul și să ascundă restul conținutului (meniuri, articole etc.), poți folosi următoarea adresă URL în atributul src: https://minesweeper.us/ro/calculator-factorial/?iframe=1.

Te rugăm să menționezi această pagină pe site-ul tău, citând-o printr-un link activ. De asemenea, ne poți anunța că ai încorporat aplicația noastră pe site-ul tău, trimițându-ne un e-mail la contact@simiade.com. Astfel, te vom putea anunța dacă facem modificări care necesită actualizarea modului în care aplicația este afișată pe site-ul tău.

Referințe

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

Contactează-ne

Dacă ai întrebări, comentarii sau sugestii, ne poți lăsa opinia ta aici:

Sau ne poți contacta prin poștă:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polonia
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/ro/