Permutationsberegner

For at beregne antallet af permutationer skal du indtaste antallet af valgmuligheder (n), antallet af gange du må vælge (normalt betegnet som k eller r) og markere afkrydsningsfeltet "Tillad tilbagelægning", hvis valgmulighederne må vælges mere end én gang. Tryk på knappen "Beregn" og resultatet vil blive vist nedenfor.

Antal elementer (n): Antal elementer i følgen (k eller r): Tillad tilbagelægning: Grundtal:

Resultat:

2026-06-07, af

Adam har en ph.d.-grad i økonomi, er ansvarlig for at skrive tekniske artikler og fører tilsyn med udviklingen af online-applikationer. Du kan finde ham på:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Hvad er permutationer?

En permutation er en ændring af rækkefølgen af elementer i en følge. Antallet af permutationer fortæller, hvor mange forskellige måder en følge af elementer kan arrangeres på.

En permutation af k ud af n er en måde at ordne k elementer fra en større mængde med n elementer. Permutationsberegneren kan beregne antallet af sådanne ordninger for givne værdier n og k. I nogle kilder bruges bogstavet r i stedet for k. Betydningen er den samme.

Permutationer af k ud af n elementer findes i to varianter. Den første type er følger uden tilbagelægning, hvor hvert af de n elementer højst kan bruges én gang i en følge. Den anden type er permutationer med tilbagelægning, hvor elementerne må forekomme flere gange i samme følge. Denne beregner kan beregne begge typer permutationer.

Permutationer og kombinationer

Permutationer bliver ofte forvekslet med kombinationer. I daglig tale kan man for eksempel tale om en talkombination, der åbner en lås eller et pengeskab. Strengt taget er en sådan talfølge dog som regel en permutation med tilbagelægning.

Forskellen mellem permutationer og kombinationer, sådan som de defineres i matematik, er, at rækkefølgen af elementerne har betydning ved permutationer. Derfor taler man om ordninger og følger. Ved kombinationer har rækkefølgen derimod ingen betydning, og derfor er det mere passende at tale om valg af elementer og delmængder af elementer.

En kode, der åbner en lås, er en talfølge, hvor rækkefølgen af cifrene tydeligvis har betydning. Derfor er det matematisk set ikke korrekt at kalde den en "kombination", selv om det er almindeligt i daglig tale.

Hvis du er interesseret i kombinationer frem for permutationer, kan du besøge vores Kombinationsberegner.

Permutationsformlen

Lad os først betragte permutationer af k ud af n uden tilbagelægning. Hvis du danner følger med længden k ud fra n elementer, er antallet af forskellige følger givet ved formlen:

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} .

n! i formlen betyder n fakultet. Ud over $P (n, k)$ bruges der i nogle kilder også andre symboler:

P (n, k) = {}_{n}P_{k} = P_{n, k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Permutationer af k ud af n med tilbagelægning beregnes derimod med formlen

U (n, k) = n^{k} .

Dette er ganske enkelt n opløftet i k’te potens.

Af tekniske årsager bruger vores beregner de symboler, der er mest udbredte i engelsksprogede kilder, nemlig $P (n, k)$ for permutationer uden tilbagelægning og $U (n, k)$ for permutationer med tilbagelægning.

Permutationsformlen forklaret

Forestil dig, at vi skal danne en følge med længden k ud fra n elementer. Vi kan placere et hvilket som helst af de n elementer til den første plads i følgen. Ved permutationer uden tilbagelægning fjernes det valgte element fra de tilgængelige elementer, så der kun er $n - 1$ elementer tilbage til den anden plads. Derefter fjernes også det andet valgte element og der er nu kun $n - 2$ elementer tilbage, som kan placeres på den tredje plads. Denne proces fortsætter, indtil hele følgen er udfyldt, hvilket giver følgende formel:

P (n, k) = \underset{k faktorer}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Vi kan derefter multiplicere og dividere denne formel med det samme tal uden at ændre dens værdi. Hvis vi vælger $(n - k)!,$ får vi:

P (n, k) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

For permutationer med tilbagelægning er situationen i begyndelsen den samme: Vi kan vælge et hvilket som helst af de n elementer til den første plads i følgen. Men fordi tilbagelægning er tilladt, fjernes elementet ikke fra de tilgængelige elementer, så vi har stadig n elementer at vælge imellem til den anden plads i følgen. Det samme gælder for den tredje plads osv. Da vi foretager k valg i alt, bliver den endelige formel derfor:

U (n, k) = \underset{k faktorer}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Eksempler på permutationer

Eksempel: Hvor mange permutationer findes der af et sæt spillekort?

Et almindeligt sæt spillekort består af 52 kort. Hvor mange forskellige rækkefølger kan disse kort arrangeres i? Det samlede antal tilgængelige elementer er 52, så n = 52. Følgens længde, altså antallet af kort vi ønsker at have med i arrangementet, er også 52, fordi vi vil arrangere hele kortsættet. Derfor er k = 52. Der er ingen tilbagelægning, fordi hvert kort kun forekommer én gang i arrangementet. Dermed har vi alle de oplysninger, vi skal bruge for at anvende formlen:

P (52, 52) = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Dette er et meget stort tal. Du kan få den eksakte løsning ved at bruge vores Permutationsberegner. Da antal træk er lig med det samlede antal elementer, altså k = n, reduceres formlen til et almindeligt fakultet – du kan derfor også finde det eksakte resultat ved at beregne 52 fakultet.

Eksempel: Hvor mange ord på tre bogstaver kan jeg danne ud fra ordet FISK?

Vi har fire forskellige bogstaver og vi vil se, hvor mange forskellige ordninger af 3 bogstaver vi kan danne med dem. Igen må hvert bogstav kun bruges én gang, så vi bruger formlen $P (4, 3) = 24 .$ Her er alle 24 permutationer:

FIS

FIK

FSI

FSK

FKI

FKS

IFS

IFK

ISF

ISK

IKF

IKS

SFI

SFK

SIF

SIK

SKF

SKI

KFI

KFS

KIF

KIS

KSF

KSI

Eksempel: På hvor mange måder kan jeg give 7 bolde i forskellige farver til 4 børn?

I dette eksempel vil vi give én bold til hvert af børnene: Mikkel, Sofie, Emil og Freja. Vi har syv bolde: hvid, orange, blå, grøn, gul, lilla og brun. Hvor mange forskellige måder er der at tildele én bold til hvert barn? Igen hjælper permutationer os. Da vi ikke kan give den samme bold til mere end ét barn, bruger vi permutationer uden tilbagelægning: $P (7, 4) = 840 .$

Så der er 840 måder at fordele boldene mellem børnene på.

Eksempel: Hvor mange måder er der at vælge en formand, en referent og en kasserer fra en forening på 20 personer?

Der er 20 personer, som kan blive formand. Lad os vælge én person. Nu når vi har valgt formanden, er der 19 personer tilbage, som kan blive referent. Og til sidst, når vi har valgt både formanden og referenten, er der 18 personer tilbage, som kan blive kasserer. Vi ganger disse tal og vi får $20 \times 19 \times 18 = 6840$ mulige måder at vælge tre personer til disse poster på.

Generelt gælder det, at når vi har k forskellige pladser, der skal besættes, og en gruppe på n kandidater, er der præcis $P (n, k)$ måder at gøre det på. I dette specifikke tilfælde har vi $P (20, 3) = 6840 .$

Eksempel: Hvor mange kombinationer er der i en 4-cifret lås, hvis der ikke er nogen nuller?

Dette er ikke en typisk lås, da cifrene går fra 1 til 9 i stedet for fra 0 til 9. Antallet af elementer er således n = 9. Længden af følgen er k = 4. Hvert ciffer kan bruges så mange gange, som der er brug for, så i dette tilfælde bruger vi permutationer med tilbagelægning. Formlen er:

U (n, k) = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Der er 6561 mulige "kombinationer". Hvis det tager ét sekund at tjekke hver kombination, burde vi kunne åbne låsen ved at tjekke samtlige kombinationer på under to timer. Bemærk, at ordet "kombinationer", som bruges i dette spørgsmål, ikke er strengt korrekt. Da cifrenes rækkefølge har betydning, burde vi her tale om permutationer med tilbagelægning, ikke kombinationer.

Eksempel: Hvor mange adgangskoder er der?

Svaret afhænger af længden på adgangskoderne og antallet af tilgængelige tegn. Som et eksempel vil vi beregne antallet af adgangskoder, der er 10 tegn lange. Vi har til rådighed både små og store latinske bogstaver (fra a til z og fra A til Z – der er 52 bogstaver), tal (fra 0 til 9) og specialtegn (der er 30 af dem):

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

I alt har vi 52 + 10 + 30 = 92 forskellige tegn. Vi kan bruge hvert tegn så mange gange, som vi vil, så vi tæller permutationer af længde k fra n elementer med tilbagelægning. Formlen er:

U (n, k) = n^{k} = 92^{10} = 43.438.845.422.363.213.824 .

Dette er et meget stort antal unikke adgangskoder. Der er praktisk talt ingen chance for, at nogen kan gætte din adgangskode ved blot at afprøve alle mulige "kombinationer" – så længe du har valgt tegnene tilfældigt i stedet for at finde på noget let, som for eksempel 123456789 eller klovn123.

Permutationer i Python

Hvis du vil beregne antallet af permutationer i et programmeringssprog som Python, kan du bruge permutationsformlen til selv at lave din egen funktion:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

På samme måde kan du bruge formlen for permutationer med tilbagelægning:

def nUk(n, k):
	return n**k

Hvis du er interesseret i at generere alle permutationer uden tilbagelægning, kan du skrive:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

Og for permutationer med tilbagelægning:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Eksponentialberegner til store tal

Da formlen for permutationer med tilbagelægning er $U (n, k) = n^{k},$ kan du bruge denne Permutationsberegner asom en eksponentialberegner til at beregne en potens af et tal. Dette kan være praktisk, især når resultatet er meget stort (for eksempel kan du nemt få en præcis værdi af 3¹⁰⁰⁰), fordi traditionelle beregnere ikke håndterer store resultater særlig godt. Sæt flueben i "Tillad tilbagelægning" og indtast det opløftede tal som n og eksponenten som k. Du kan kun bruge ikke-negative heltal.

Sådan bruger du Permutationsberegneren

For at bruge denne beregner skal du indtaste antallet af elementer, der skal vælges imellem, i feltet markeret med bogstavet n. Antallet af træk, det vil sige følgens længde, skal indtastes i feltet nedenfor (markeret med k eller r). Hvis du er interesseret i permutationer med tilbagelægning, skal du markere afkrydsningsfeltet "Tillad tilbagelægning". Klik derefter på knappen "Beregn" for at udføre beregningerne eller på knappen "Ryd" for at indtaste værdierne igen.

Resultatet vises i feltet "Resultat" nedenfor. Hvis resultatet er lille, vises det på en enkelt linje. Større tal vises på to måder: den omtrentlige værdi i videnskabelig notation vises øverst og det nøjagtige tal vises nedenfor. Hvis der opstår en fejl under beregningerne, vil denne blive vist i stedet for resultatet.

Beregneren accepterer kun ikke-negative heltal. For permutationer uden tilbagelægning skal de indtastede tal desuden opfylde k ≤ n. For permutationer med tilbagelægning kan begge tal ikke være nul på samme tid, da værdien af 0⁰ er ubestemt. Der er ingen øvre grænse for de værdier, du indtaster. Du bør nemt kunne opnå store tal, som f.eks. for n = 8000000000 og k = 1000 (antallet af måder at vælge 1.000 mennesker fra Jordens befolkning). Afhængigt af dit systems konfiguration, kan der også opnås meget større resultater. Det kan dog tage lang tid at beregne et stort resultat; hvis beregningerne overstiger din enheds kapacitet, kan hjemmesiden gå ned.

Du kan vælge det grundtal, som du ønsker, at resultaterne skal vises i. Standard er 10, det vil sige, at resultaterne vises i decimalsystemet. Som grundtal kan du bruge ethvert heltal fra 2 til 36. Det er dog kun resultaterne, der vises i det valgte grundtal. De værdier, du indtaster som n og k, behandles altid, som om de er skrevet i decimalsystemet.

Du har mulighed for: 1) at kopiere resultatet til udklipsholderen, 2) at downloade resultatet som en fil, 3) at udskrive resultatet, 4) at kopiere linket til resultaterne til udklipsholderen og 5) at rydde feltet "Resultat". For at aktivere en af disse funktioner skal du bruge det relevante ikon over feltet "Resultat".

Citere eller integrere dette indhold

Du kan bruge denne hjemmeside gratis, herunder til kommercielle formål, så længe du angiver den som kilde. Hvis du citerer den i en videnskabelig tekst, kan du bruge følgende reference:

Narkiewicz A., Permutationsberegner, https://minesweeper.us/minestryger/permutationsberegner/, hentet 2026-06-03.

Hvis du vil henvise til denne hjemmeside på internettet, kan du linke til den ved hjælp af dens hoved-URL (https://minesweeper.us/minestryger/permutationsberegner/). Du kan også linke til et bestemt resultat ved at bruge knappen "Kopier link til udklipsholder".

Du kan også integrere denne side på din hjemmeside ved hjælp af et iframe-element. Hvis du ønsker, at siden kun skal vise beregneren og skjule alt det øvrige indhold (menuer, artikel osv.), kan du bruge følgende URL i din src-attribut: https://minesweeper.us/minestryger/permutationsberegner/?iframe=1.

Du bedes kreditere denne side på din hjemmeside ved at citere den med et klikbart link. Du kan også give os besked om, at du har integreret vores app på din hjemmeside, ved at sende en e-mail til contact@simiade.com. På den måde kan vi informere dig, hvis vi foretager ændringer i vores app, som kan kræve, at webmasters opdaterer hvordan den vises på hjemmesiden.

Referencer

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Kontakt os

Hvis du har spørgsmål, bemærkninger eller forslag, kan du skrive din feedback her:

Eller du kan kontakte os via post:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polen
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/da/