Kertomalaskin

Laske kertoma syöttämällä luku ”Kertoma luvusta” -kenttään ja painamalla ”Laske”. Tulos näytetään ”Tulos”-kentässä.

Kertoma luvusta:

Kantaluku:

Tulos:

2026-10-02, tekijä

Adam on kauppatieteiden tohtori, vastaa teknisten artikkelien kirjoittamisesta ja valvoo verkkosovellusten kehitystä. Löydät hänet täältä:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Mikä on kertoma?

Saat luvun kertoman kertomalla kaikki kokonaisluvut alkaen yhdestä kyseiseen lukuun asti. Käytä kertoman kirjoittamiseen huutomerkkiä. Esimerkiksi

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24,

joka voidaan lukea ”neljän kertoma on yhtä suuri kuin 24”.

Kertomaa voidaan käyttää vain ei-negatiivisten kokonaislukujen kanssa (kokonaislukujen, jotka ovat yhtä suuria tai suurempia kuin 0). Käytännön syistä matemaatikot päättivät, että $0! = 1$ eli nollan kertoma on yhtä kuin yksi.

Kertoman laskukaava

Luvun n kertoma voidaan kuvata millä tahansa seuraavista kaavoista:

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

Kaikki nämä kaavat antavat saman tuloksen. Kaava 1 seuraa määritelmästä (kerro kaikki kokonaisluvut alkaen yhdestä n:ään). Kaava 2 on lyhyempi versio kaavasta 1 tulo-operaattorilla kirjoitettuna. Kaava 3 on rekursiivinen kaava, joka voidaan lukea ”n:n kertoma on yhtä suuri kuin n kertaa n miinus yhden kertoma”.

Kertomat käytännössä – esimerkkejä

Kertomilla on monia käyttötarkoituksia. Ne ovat suosittuja esimerkiksi kombinatoriikassa ja todennäköisyyslaskennassa, koska ne kertovat, kuinka monella tavalla erilaisten kohteiden kokoelma voidaan järjestää. Erityisesti kertomia käytetään permutaatioiden ja kombinaatioiden laskukaavoissa. Niitä käytetään myös monilla muilla matematiikan aloilla.

Esimerkki: Kuinka monella tavalla 3 esinettä voidaan järjestää?

Oletetaan, että meillä on kolme esinettä: omena, banaani ja kookospähkinä. Meidän on päätettävä, missä järjestyksessä ne syödään. Meillä on kolme vaihtoehtoa sille, mikä syödään ensin. Kun olemme syöneet ensimmäisen hedelmän, meillä on kaksi vaihtoehtoa sille, mikä syödään seuraavaksi. Kun jäljellä on vain yksi hedelmä, vaihtoehtoja ei enää ole – meidän on syötävä se, mikä on jäljellä. Siten voimme järjestää hedelmät $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ tavalla:

Omena, Banaani, Kookospähkinä

Omena, Kookospähkinä, Banaani

Banaani, Omena, Kookospähkinä

Banaani, Kookospähkinä, Omena

Kookospähkinä, Omena, Banaani

Kookospähkinä, Banaani, Omena

Esimerkki: Kuinka monella tavalla 4 numeroa voidaan järjestää?

Oletetaan, että meillä on neljä numeroa väliltä 1–4. Kuinka monella tavalla voimme järjestää ne? Vastaus on $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ . Tässä ovat kaikki 24 mahdollisuutta:

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

Tämä toimii vain, jos meillä on neljä eri numeroa. Jos jotkin numeroista toistuvat esimerkiksi niin, että meillä on 3, 5, 5 ja 7, emme voi enää käyttää yksinkertaisesti kertomaa – kaavasta tulee monimutkaisempi. Tämä selitetään seikkaperäisemmin seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki: Kuinka monella tavalla 5 kirjainta voidaan järjestää?

Kuinka monella tavalla sanan ”OMENA” kirjaimet voidaan järjestää? Vastaus on $5! = 120$ . Mahdollisuuksia on paljon!

Tämä yksinkertainen kaava toimii vain, jos sanassa ei ole toistuvia kirjaimia. Jos sanassa on toistuvia kirjaimia, on otettava sanan pituuden kertoma ja jaettava se kunkin kirjaimen toistojen kertomalla. Esimerkiksi sanassa ”MISSISSIPPI” on 11 kirjainta, mutta kirjaimet S ja I esiintyvät kumpikin neljä kertaa, kun taas P esiintyy kaksi kertaa. Tämän sanan kirjaimet voidaan järjestää 34 650 eri tavalla:

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650 .

Miksi nämä kertomat täytyy laittaa nimittäjään? Jos esimerkiksi kaksi neljästä S-kirjaimesta vaihtaa paikkaa, sana ei muutu. Koska S-kirjaimia on neljä, ne voidaan järjestää uudelleen 4! eri tavalla. Haluamme eliminoida kaikki nämä uudelleenjärjestelyt, koska ne johtavat identtisiin sanoihin. Teemme sen jakamalla pääkertoman luvulla 4!.

Esimerkki: Kuinka monella tavalla 52 kortin pakka voidaan sekoittaa?

Tässä viimeisessä esimerkissä selvitämme, kuinka monella tavalla 52 kortin pakka voidaan järjestää. Tämä on tietysti luvun 52 kertoma, joka on erittäin suuri luku: 52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 tai likimääräisesti $52! \approx 8,066 \times 10^{67}$ .

Tämä tarkoittaa, että jos sekoitat kortit hyvin, ei ole käytännössä mitään mahdollisuutta, että sama järjestys toistuisi koskaan.

Mikä on luvun kertoma...

Tässä on joitakin suosittuja kertomia:

Kysymys	Vastaus
Mikä on luvun 0 kertoma?	Luvun 0 kertoma on yhtä kuin 1.
Mikä on luvun 1 kertoma?	Luvun 1 kertoma on yhtä kuin 1.
Mikä on luvun 2 kertoma?	Luvun 2 kertoma on yhtä kuin 2.
Mikä on luvun 3 kertoma?	Luvun 3 kertoma on yhtä kuin 6.
Mikä on luvun 4 kertoma?	Luvun 4 kertoma on yhtä kuin 24.
Mikä on luvun 5 kertoma?	Luvun 5 kertoma on yhtä kuin 120.
Mikä on luvun 6 kertoma?	Luvun 6 kertoma on yhtä kuin 720.
Mikä on luvun 7 kertoma?	Luvun 7 kertoma on yhtä kuin 5 040.
Mikä on luvun 8 kertoma?	Luvun 8 kertoma on yhtä kuin 40 320.
Mikä on luvun 9 kertoma?	Luvun 9 kertoma on yhtä kuin 362 880.
Mikä on luvun 10 kertoma?	Luvun 10 kertoma on yhtä kuin 3 628 800.
Mikä on luvun 52 kertoma?	Luvun 52 kertoma on yhtä kuin 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.
Mikä on luvun 100 kertoma?	Luvun 100 kertoma on yhtä kuin 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608, 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

Luvun 100 kertoma voidaan approksimoida tieteellisellä merkintätavalla: $100! \approx 9,333 \times 10^{157}$ .

Kertoma Pythonissa

Pythonin kaltaisessa ohjelmointikielessä voit käyttää sisäänrakennettua funktiota:

import math
math.factorial(n)

Jos kuitenkin haluat ohjelmoida oman kertomafunktiosi, voit tehdä sen käyttämällä rekursiota:

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

Tai voit käyttää iterointia:

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

Negatiivisen luvun kertoma

Kertoma on määritelty vain ei-negatiivisille kokonaisluvuille. Kertomaa yritettiin useaan otteeseen yleistää toimimaan reaali- ja kompleksiluvuilla. Konsensus on kuitenkin, että negatiivisen luvun kertoman tulee pysyä määrittelemättömänä. Esimerkiksi gammafunktio yleistää kertoman kaikille kompleksiluvuille paitsi... negatiivisille kokonaisluvuille.

Kertoman approksimaatio

Kaikkien kokonaislukujen kertominen lukuun n asti voi viedä aikaa erityisesti n:n ollessa suuri, joten matemaatikot ovat kehittäneet kaavoja, jotka approksimoivat kertomia nopeasti. Alla on kaksi kuuluisaa kaavaa.

Stirlingin approksimaatio

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

Ramanujanin approksimaatio

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

Miten kertomalaskinta käytetään?

Voit käyttää tätä laskinta syöttämällä luvun kenttään ”Kertoma luvusta” ja painamalla ”Laske”-painiketta. Tulos näytetään alla. Jos tulos on suuri luku, se näytetään kahdella tavalla: lyhyempi, likimääräinen tulos tieteellisellä merkintätavalla näytetään ylempänä ja täsmällinen ratkaisu sen alla.

Laskin toimii vain kokonaisluvuilla alkaen nollasta. Esiohjelmoitua ylärajaa ei ole – laitteesi ja selaimesi salliessa voit syöttää mielivaltaisen suuren numeron. Pöytätietokoneilla jotkin Chromen versiot pystyvät helposti laskemaan luvun 10 000 000 kertoman, kun taas Firefoxilla ja Safarilla voi olla vaikeuksia käsitellä lukuja, jotka ovat suurempia kuin 60 000.

Suurten lukujen kohdalla tuloksen laskeminen voi kestää useita sekunteja ja sen näyttäminen ruudullasi vieläkin kauemmin. Jos syöttämäsi luku on liian suuri, näytetään virheilmoitus. Joskus viestin näyttämisen sijaan sivu kaatuu ja on ladattava uudelleen.

Asetuksissa on mahdollisuus näyttää tulos muulla kantaluvulla kuin 10. Voit määrittää minkä tahansa luvun väliltä 2–36. Jos esimerkiksi haluat tuloksen heksadesimaalijärjestelmässä, syötä tähän 16. On tärkeää muistaa, että tieteellisellä merkintätavalla esitetty tulos käyttää aina valittua kantalukujärjestelmää sekä mantissalle että eksponentille. Syöte sen sijaan luetaan ja näytetään aina 10-järjestelmällä.

Viittaa tähän sisältöön tai upota se

Voit käyttää tätä sivustoa veloituksetta, mukaan lukien kaupallisiin tarkoituksiin, kunhan mainitset tämän sivuston lähteenä. Jos viittaat siihen tieteellisessä tekstissä, voit käyttää seuraavaa viittaustapaa:

Narkiewicz A.: Kertomalaskin. https://minesweeper.us/miinaharava/kertomalaskin/. Viitattu 2026-09-30.

Jos viittaat tähän sivustoon internetissä, voit linkittää siihen sen pääosoitteella (https://minesweeper.us/miinaharava/kertomalaskin/), tai jos haluat lisätä linkin tiettyyn tulokseen, käytä painiketta ”Kopioi linkki leikepöydälle”.

Voit myös upottaa tämän sivuston omalle sivustollesi iframe-elementin avulla. Jos haluat, että tämä sivu näyttää vain laskimen ja piilottaa kaiken muun sisällön (valikot, artikkelin jne.), voit käyttää seuraavaa URL-osoitetta src-attribuutissa: https://minesweeper.us/miinaharava/kertomalaskin/?iframe=1.

Mainitsethan tämän sivun sivustollasi viittaamalla siihen napsautettavalla linkillä. Voit myös ilmoittaa meille, että olet upottanut sovelluksemme sivustollesi, lähettämällä sähköpostia osoitteeseen contact@simiade.com. Tällöin pystymme tiedottamaan sinulle mahdollisista sovellukseen tekemistämme muutoksista, jotka saattavat vaatia sivustovastaajia päivittämään tapaa, jolla sivustot näyttävät sovelluksen.

Lähteet

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

Ota yhteyttä

Jos sinulla on kysyttävää, kommentteja tai ehdotuksia, voit jättää palautetta tänne:

Tai voit ottaa meihin yhteyttä postitse:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Puola
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/fi/