Permütasyon Hesaplayıcı

Permütasyon sayısını hesaplamak için seçenek sayısını (n), yapabileceğiniz seçim sayısını (genellikle k veya r ile gösterilir) girin ve seçenekler birden fazla seçilebiliyorsa “Tekrara izin ver” kutucuğunu işaretleyin. “Hesapla” butonuna basın, sonuç aşağıda gösterilecektir.

Eleman sayısı (n): Dizi uzunluğu (k veya r): Tekrara izin ver: Taban:

Sonuç:

2026-07-27,

Ekonomi alanında doktora derecesine sahip olan Adam Narkiewicz teknik makalelerin yazımından sorumludur. Ayrıca çevrimiçi uygulamaların geliştirilmesini denetlemektedir. Kendisine şu adresten ulaşabilirsiniz:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Permütasyon nedir?

Permütasyon bir dizideki elemanların sırasında yapılan bir değişikliktir. Permütasyon sayısı bir eleman dizisini kaç farklı şekilde yeniden düzenleyebileceğinizi gösterir.

n’nin k’lı permütasyonu n elemandan oluşan daha büyük bir küme içerisinden k elemanı düzenlemenin bir yoludur. Permütasyon Hesaplayıcı verilen bir n ve k değeri için bu şekildeki düzenlemelerin sayısını hesaplar. Bazı kaynaklarda k harfi yerine r harfi kullanılır ancak ikisi de aynı anlama gelmektedir.

n’nin k’lı permütasyonları iki türlüdür. İlk olarak, n elemanın her birinin bir dizide en fazla bir kez kullanılabildiği tekrarsız diziler söz konusu olabilir. İkinci olarak, elemanların bir dizi içinde birden fazla kez yer alabildiği n’nin tekrarlı k’lı permütasyonlarından bahsedebiliriz. Bu hesaplayıcıda her iki permütasyon türünü de hesaplayabilirsiniz.

Permütasyonlar ve kombinasyonlar

Permütasyonlar çoğu zaman kombinasyonlarla karıştırılır. Örneğin, günlük dilde bir kilidi veya kasayı açan rakamların “kombinasyonundan” bahsedebilirsiniz. Ancak kesin konuşmak gerekirse bir kilidi açan rakam dizisi çoğu zaman tekrarlı bir permütasyondur.

Matematikte tanımlandığı şekliyle permütasyonlar ve kombinasyonlar arasındaki fark permütasyonlarda elemanların sırasının önemli olmasıdır, işte bu yüzden düzenlemelerden ve dizilerden bahsediyoruz. Kombinasyonlarda ise sıra önemli değildir bu nedenle elemanların seçiminden ve eleman alt kümelerinden bahsetmek daha uygun olur.

Bir kilidi açan kod, sıranın kesinlikle önemli olduğu bir dizidir bu nedenle günlük konuşma dilinde yaygın olsa da bunu “kombinasyon” olarak adlandırmak matematiksel açıdan doğru değildir.

Permütasyonlar yerine kombinasyonlarla ilgileniyorsanız Kombinasyon Hesaplayıcımızı ziyaret edebilirsiniz.

Permütasyon formülü

Önce yinelemeye izin verilmeyen permütasyonları yani n’nin tekrarsız k’lı permütasyonlarını ele alalım. n eleman kullanarak k uzunluğunda diziler oluşturuyorsanız, elde edebileceğiniz farklı dizilerin sayısı

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}

formülüyle verilir. Formüldeki n! n’nin faktöriyelidir. $P (n, k)$ ’ye ek olarak bazı kaynaklarda başka semboller de kullanılır:

P (n, k) = {}_{n}P_{k} = P_{n, k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Diğer taraftan, n’nin tekrarlı k’lı permütasyonları için

U (n, k) = n^{k}

formülü kullanılır. Bu basitçe n’nin k kuvvetidir.

Permütasyon formülünün açıklaması

n eleman kullanarak k uzunluğunda bir dizi oluşturmamız gerektiğini düşünelim. Dizinin başına n elemandan herhangi birini koyabiliriz. Tekrarsız permütasyonlarda, seçilen eleman havuzdan çıkarılır ve dizinin ikinci sırasına konulabilecek yalnızca $n - 1$ eleman kalır. Ardından seçtiğimiz ikinci eleman da kullanılabilir havuzdan çıkarılır ve üçüncü sıraya yerleştirilebilecek yalnızca $n - 2$ elemanımız kalır. Bu süreç dizinin tamamını doldurana kadar devam eder ve şu formül elde edilir:

P (n, k) = \underset{k çarpan}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Bu formülü aynı sayıyla çarpıp bölerek değerini değiştirmeden yeniden yazabiliriz. Akıllıca bir seçim yapıp $(n - k)!$ kullandığımızda

P (n, k) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!}

formülünü elde ederiz. Tekrarlı permütasyonlarda durum başlangıçta benzerdir: dizideki ilk sıra için n elemandan birini seçebiliriz. Ancak tekrara izin verildiğinden bu eleman kullanılabilir elemanlar havuzundan çıkarılmaz, dolayısıyla dizideki ikinci sıra için seçebileceğimiz hâlâ n elemanımız vardır. Üçüncü sıra için de aynı durum geçerlidir ve bu şekilde devam eder. Bu şekilde k kez seçim yaparız ve nihai formül

U (n, k) = \underset{k çarpan}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k}

olur.

Permütasyon örnekleri

Örnek: Bir kart destesinde kaç farklı permütasyon vardır?

Normal bir destede 52 kart bulunur. Bu kartlar kaç farklı şekilde düzenlenebilir? Kullanılabilir toplam eleman sayısı 52’dir, dolayısıyla n = 52’dir. Dizinin uzunluğu, yani düzenlemeye dahil etmek istediğimiz kart sayısı da 52’dir çünkü destenin tamamının düzenlenmesini istiyoruz. Bu nedenle k = 52 olur. Her kart düzenlemede tam olarak bir kez yer aldığından tekrar yoktur. Bunları bildiğimizde artık formülü uygulamak için ihtiyacımız olan her şeye sahip oluruz:

P (52, 52) = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Bu çok büyük bir sayıdır. Tam sonucu Permütasyon Hesaplayıcımızı kullanarak elde edebilirsiniz. Seçim sayısı toplam eleman sayısına eşit yani k = n olduğundan, formül basit bir faktöriyele indirgenir ve tam sonucu 52’nin faktöriyelini hesaplayarak da elde edebilirsiniz.

Örnek: ELMA kelimesinden kaç farklı 3 harfli kelime oluşturabilirim?

Dört farklı harfimiz var ve bu harfleri kullanarak kaç farklı üç harfli düzenleme oluşturabileceğimizi bulmak istiyoruz. Her harfi yalnızca bir kez kullanabildiğimizden formül $P (4, 3) = 24$ ’tür. İşte 24 permütasyonun tamamı:

ELM

ELA

EML

EMA

EAL

EAM

LEM

LEA

LME

LMA

LAE

LAM

MEL

MEA

MLE

MLA

MAE

MAL

AEL

AEM

ALE

ALM

AME

AML

Örnek: Farklı renklerdeki 7 topu 4 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtabilirim?

Bu örnekte her çocuğa -Ahmet, Erdem, Ela ve Zeynep- bir top vermek istiyoruz. Yedi topumuz var: beyaz, turuncu, mavi, yeşil, sarı, mor ve kahverengi. Her çocuğa bir top vermenin kaç farklı yolu vardır? Yine permütasyonlar burada işimize yarıyor. Aynı topu birden fazla çocuğa veremeyeceğimizden tekrarsız permütasyonları kullanıyoruz: $P (7, 4) = 840 .$

Yani topları çocuklara dağıtmanın 840 farklı yolu vardır.

Örnek: 20 kişilik bir dernekten dernek başkanı, sekreter ve saymanı kaç farklı şekilde seçebiliriz?

Başkan olabilecek 20 kişi var. Bir kişi seçelim. Başkanı belirlediğimize göre sekreter olabilecek 19 kişi kaldı. Son olarak, başkan ve sekreteri belirlediğimizde sayman olabilecek 18 kişi kalıyor. Bu sayıları çarptığımızda bu üç göreve üç kişiyi seçmenin $20 \times 19 \times 18 = 6840$ farklı yolu olduğunu buluruz.

Genel olarak, doldurulacak k farklı pozisyonumuz ve n adaydan oluşan bir grubumuz olduğunda bunu yapmanın tam olarak $P (n, k)$ farklı yolu vardır. Buradaki özel durumda ise $P (20, 3) = 6840 ’tır.$

Örnek: Sıfırın olmadığı 4 haneli bir kilitte kaç kombinasyon vardır?

Bu normal bir kilit değildir çünkü rakamlar 0’dan 9’a değil, 1’den 9’a kadar gitmektedir. Dolayısıyla eleman sayısı n = 9’dur. Dizi uzunluğu k = 4’tür. Her rakam gerektiği kadar kullanılabildiğinden burada tekrarlı permütasyonları kullanıyoruz. Formül şöyle olur:

U (n, k) = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

6561 uygun “kombinasyon” mevcuttur. Her kombinasyonu kontrol etmek bir saniye sürerse tüm kombinasyonları iki saatten kısa sürede kontrol ederek kilidi açabiliriz. Bu soruda kullanılan “kombinasyon” kelimesinin tam olarak doğru olmadığına dikkat edin. Rakamların sırası önemli olduğundan, burada kombinasyonlardan değil tekrarlı permütasyonlardan bahsetmemiz gerekir.

Örnek: Kaç farklı şifre vardır?

Cevap şifrelerin uzunluğuna ve kullanılabilir karakter sayısına bağlıdır. Örnek olarak, 10 karakter uzunluğundaki şifrelerin sayısını hesaplayalım. Kullanabileceğimiz hem küçük hem de büyük Latin harfleri (a’dan z’ye ve A’dan Z’ye, toplamda 52 harf), rakamlar (0’dan 9’a) ve özel karakterler (bunlardan da 30 tane) vardır:

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

Toplamda 52 + 10 + 30 = 92 farklı karakterimiz var. Her karakteri istediğimiz kadar kullanabildiğimizden n’nin tekrarlı k’lı permütasyonlarını sayıyoruz. Formül şöyle olur:

U (n, k) = n^{k} = 92^{10} = 43.438.845.422.363.213.824 .

Farklı şifrelerin sayısı çok büyüktür. 123456 veya qwerty123 gibi kolay bir şey seçmeyip karakterleri rastgele seçtiğiniz sürece herhangi birisinin tüm olası “kombinasyonları” deneyerek şifrenizi tahmin etme ihtimali pratikte sıfırdır.

Python’da permütasyonlar

Permütasyon sayısını Python gibi bir programlama dilinde hesaplamak istiyorsanız kendi fonksiyonunuzu oluşturmak için permütasyon formülünü kullanabilirsiniz:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

Benzer şekilde tekrarlı permütasyonlar için şu formülü kullanabilirsiniz:

def nUk(n, k):
	return n**k

Tekrarsız tüm permütasyonları oluşturmak istiyorsanız şunu yazabilirsiniz:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

Tekrarlı permütasyonlar için ise:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Büyük sayılar için üstel hesaplayıcı

Tekrarlı permütasyonların formülü $U (n, k) = n^{k}$ olduğundan bu Permütasyon Hesaplayıcı’yı bir üstel hesaplayıcı gibi kullanabilir ve bir sayının kuvvetini hesaplayabilirsiniz. Özellikle sonucun çok büyük olduğu durumlarda (örneğin, 3¹⁰⁰⁰’in tam değerini kolayca elde edebilirsiniz) bu durum kullanışlı olabilir çünkü geleneksel hesap makineleri büyük sonuçları iyi işleyemez. “Tekrara izin ver” kutucuğunu işaretleyin ve tabanı n olarak, üssü ise k olarak girin. Yalnızca negatif olmayan tam sayılar kullanabilirsiniz.

Permütasyon Hesaplayıcı nasıl kullanılır?

Bu hesaplayıcıyı kullanmak için n harfiyle işaretlenmiş alana seçilebilecek eleman sayısını girin. Seçim sayısı yani dizinin uzunluğu aşağıdaki alana (k veya r olarak işaretlenmiş) girilmelidir. Tekrarlı permütasyonlarla ilgileniyorsanız “Tekrara izin ver” kutucuğunu işaretleyin. Ardından hesaplamaları gerçekleştirmek için “Hesapla” butonuna, değerleri yeniden girmek için ise “Temizle” butonuna tıklayın.

Sonuç aşağıdaki “Sonuç” alanında gösterilir. Sonuç küçükse tek satırda görüntülenir. Daha büyük sayılar ise iki farklı biçimde gösterilir: üstte bilimsel gösterimdeki yaklaşık değer, altta ise tam sayı yer alır. Hesaplama sırasında bir hata oluşursa sonuç yerine hata mesajı görüntülenecektir.

Hesaplayıcı yalnızca negatif olmayan tam sayıları kabul eder. Tekrarsız permütasyonlarda girilen sayıların k ≤ n koşulunu da sağlaması gerekir. Tekrarlı permütasyonlarda 0⁰’ın değeri belirsiz olduğundan her iki sayı aynı anda sıfır olamaz. Girdiğiniz değerler için herhangi bir üst sınır yoktur. n = 8000000000 ve k = 1000 durumundaki gibi (örneğin Dünya nüfusundan 1000 insan seçmenin sayısı) büyük sayıları kolaylıkla elde edebilseniz. Sisteminizin yapılandırmasına bağlı olarak çok daha büyük sonuçlar da elde edilebilir. Ancak büyük bir sonucun hesaplanması uzun sürebilir ya da hesaplamalar cihazınızın kapasitesini aşarsa web sitesi çökebilir.

Sonuçların görüntüleneceği tabanı seçebilirsiniz. Varsayılan değer 10’dur, yani sonuçlar ondalık sistem kullanılarak görüntülenecektir. Taban olarak 2 ile 36 arasında herhangi bir tam sayı kullanabilirsiniz. Ancak yalnızca sonuçlar seçilen taban kullanılarak görüntülenecektir. n ve k olarak girdiğiniz değerler her zaman ondalık tabanda yazılmış gibi işlenir.

Şu seçenekleriniz vardır: 1) sonucu panoya kopyalama, 2) sonucu dosya olarak indirme, 3) sonucu yazdırma, 4) sonuçların linkini panoya kopyalama ve 5) “Sonuç” alanını temizleme. Bu seçeneklerden herhangi birini etkinleştirmek için “Sonuç” alanı üzerindeki ilgili simgeyi kullanın.

Bu içeriği kaynak gösterin veya ekleyin

Ticari amaçlar dahil olmak üzere bu web sitesini kaynak gösterdiğiniz sürece ücretsiz olarak kullanabilirsiniz. Bilimsel bir metinde kaynak gösteriyorsanız aşağıdaki alıntı biçimini kullanabilirsiniz:

Narkiewicz A., Permütasyon Hesaplayıcı, https://minesweeper.us/mayın-tarlası/permütasyon-hesaplayıcı/. Erişim tarihi: 2026-07-22.

Bu web sitesini internette kaynak göstermek için ana URL’si (https://minesweeper.us/mayın-tarlası/permütasyon-hesaplayıcı/) aracılığıyla bağlantı verebilir ya da belirli bir sonuca bağlantı vermek istiyorsanız “Bağlantıyı panoya kopyala” butonunu kullanabilirsiniz.

Ayrıca bir iframe öğesi kullanarak bu sayfayı kendi web sitenize ekleyebilirsiniz. Sayfanın yalnızca hesaplayıcıyı görüntülemesini ve geri kalan tüm içeriği (menüler, makale vb.) gizlemesini istiyorsanız src özniteliğinde aşağıdaki URL’yi kullanabilirsiniz: https://minesweeper.us/mayın-tarlası/permütasyon-hesaplayıcı/?iframe=1.

Lütfen bu sayfayı web sitenizde tıklanabilir bir bağlantıyla kaynak göstererek belirtin. Uygulamamızı web sitenize eklediğinizi contact@simiade.com adresine e-posta göndererek bize bildir. Bu sayede uygulamamızda web yöneticilerinin sayfayı güncellemesini gerektirebilecek değişiklikler yaparsak sizi bilgilendirebiliriz.

Kaynakça

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Bize ulaşın

Herhangi bir sorunuz, yorumunuz veya öneriniz varsa geri bildiriminizi buraya bırakabilirsiniz:

Bize posta yoluyla da ulaşabilirsiniz:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polonya
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/tr/