Calcolatore di disposizioni e permutazioni

Per calcolare il numero di disposizioni, inserisci il numero di elementi dell’insieme (n), il numero di scelte consentite (di solito indicato con k o r) e seleziona la casella “Consenti le ripetizioni” se gli elementi dell’insieme possono essere scelti più di una volta.

Numero di elementi (n): Lunghezza della sequenza (k o r): Consenti le ripetizioni: Base:

Risultato:

2026-05-03, da

Adam ha un dottorato di ricerca in economia, si occupa della scrittura di articoli tecnici e supervisiona lo sviluppo delle applicazioni online. Puoi trovarlo su:
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Che cosa sono le disposizioni?

Una disposizione di n elementi a k a k è un modo di disporre k elementi da un insieme più grande di n elementi. Il Calcolatore di disposizioni e permutazioni determina il numero di tali disposizioni per un dato valore di n e k. In alcune fonti, al posto di k viene usata la lettera r, con lo stesso significato.

Una permutazione è una variazione dell’ordine degli elementi in una sequenza. Il numero di permutazioni indica in quanti modi diversi è possibile riordinare una sequenza di elementi.

Le disposizioni di n elementi a k a k esistono in due varianti. La prima riguarda le sequenze semplici, cioè quelle senza ripetizione: ciascuno degli n elementi può essere usato in una sequenza al massimo una volta. La seconda riguarda le sequenze in cui gli elementi possono ripetersi: in questo caso si parla di disposizioni di n elementi a k a k con ripetizione. Questo calcolatore permette di determinare entrambi i tipi di disposizioni.

Disposizioni e combinazioni

Le disposizioni vengono spesso confuse con le combinazioni. Una delle ragioni è che, nel linguaggio quotidiano, si parla della combinazione di un lucchetto o di una cassaforte, cioè della sequenza di cifre che permette di aprirli. Tuttavia, in termini matematici, nella maggior parte dei casi queste combinazioni sono in realtà disposizioni con ripetizione.

La differenza tra disposizioni e combinazioni, così come sono definite in matematica, sta nell’ordine degli elementi. Nelle disposizioni e nelle permutazioni, l’ordine degli elementi conta, perciò si parla di sequenze ordinate. Nelle combinazioni, invece, l’ordine non conta, quindi è più appropriato parlare di scelta di elementi e di sottoinsiemi di elementi.

Un codice che apre un lucchetto è una sequenza in cui l’ordine delle cifre sicuramente conta; quindi chiamarlo “combinazione”, pur essendo comune nel linguaggio quotidiano, non è matematicamente corretto.

Se ti interessano le combinazioni piuttosto che le disposizioni, visita il nostro Calcolatore di combinazioni.

La formula delle disposizioni

Innanzitutto, consideriamo le disposizioni in cui la ripetizione non è consentita, ovvero le disposizioni semplici di n elementi a k a k. Se stai costruendo sequenze di lunghezza k utilizzando n elementi, il numero di sequenze diverse che puoi ottenere è dato dalla formula:

D_{n, k} = \frac{n!}{(n - k)!} .

n! nella formula indica il fattoriale di n. Oltre a $D_{n, k},$ alcune fonti utilizzano anche altri simboli:

D_{n, k} = {}_{n}D_{k} = D (n, k) = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

D’altra parte, le disposizioni con ripetizione di n elementi a k a k utilizzano la formula:

{D'}_{n, k} = n^{k} .

Si tratta semplicemente di n elevato alla potenza k.

Per ragioni tecniche, il nostro calcolatore adotta la notazione matematica inglese: $P (n, k)$ per indicare permutazioni e disposizioni semplici e $U (n, k)$ per indicare permutazioni e disposizioni con ripetizione.

Spiegazione della formula delle disposizioni

Immaginiamo di dover costruire una sequenza di lunghezza k utilizzando n elementi. Possiamo inserire uno qualsiasi degli n elementi all’inizio della sequenza. Nelle disposizioni semplici, l’elemento scelto viene rimosso dall’insieme disponibile e, per la seconda posizione, restano solo $n - 1$ elementi. Successivamente, anche il secondo elemento scelto viene rimosso, e per la terza posizione rimangono $n - 2$ elementi possibili. Il processo continua allo stesso modo fino a completare l’intera sequenza, portando alla seguente formula:

D_{n, k} = \underset{k fattori}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Possiamo quindi moltiplicare e dividere questa formula per lo stesso numero senza modificarne il valore. Scegliamo opportunamente $(n - k)!$ e otteniamo

D_{n, k} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

Per le disposizioni con ripetizione, la situazione iniziale è simile: possiamo scegliere uno degli n elementi per la prima posizione nella sequenza. Tuttavia, poiché la ripetizione è consentita, questo elemento non viene rimosso dall’insieme disponibile, quindi per la seconda posizione nella sequenza abbiamo ancora n elementi tra cui scegliere. Lo stesso vale per la terza posizione, e così via. Effettuiamo k scelte di questo tipo e la formula finale diventa

{D'}_{n, k} = \underset{k fattori}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Esempi di disposizioni

Esempio: Quante disposizioni di un mazzo di carte si possono ottenere?

Un mazzo tipico ha 52 carte. Quante disposizioni distinte si possono ottenere con queste carte? Il numero totale di elementi disponibili è 52, quindi n = 52. La lunghezza della sequenza, cioè il numero di carte che vogliamo includere nella nostra disposizione, è anch’essa 52, perché vogliamo considerare le disposizioni dell’intero mazzo. Di conseguenza, k = 52. Non ci può essere ripetizione, perché in ogni disposizione ciascuna carta compare esattamente una volta. A questo punto, abbiamo tutto ciò che serve per applicare la formula:

D_{52, 52} = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Questo è un numero molto grande. Puoi ottenere il risultato esatto utilizzando il nostro Calcolatore di disposizioni e permutazioni. Poiché si tratta di una permutazione, ovvero una disposizione in cui la dimensione del campione coincide con il numero totale di elementi (k = n), la formula si riduce a un semplice fattoriale. Puoi ottenere la risposta esatta anche calcolando il fattoriale di 52.

Esempio: Quante parole di 3 lettere possiamo creare a partire dalla parola PACE?

Abbiamo quattro lettere diverse e vogliamo sapere quante disposizioni di tre lettere possiamo costruire usando queste lettere. Anche in questo caso, possiamo usare ogni lettera una sola volta, quindi la formula è $D_{4, 3} = 24 .$ Ecco tutte le 24 disposizioni:

PAC

PAE

PCA

PCE

PEA

PEC

APC

APE

ACP

ACE

AEP

AEC

CPA

CPE

CAP

CAE

CEP

CEA

EPA

EPC

EAP

EAC

ECP

ECA

Esempio: In quanti modi possiamo dare 7 palline di colori diversi a 4 bambini?

In questo esempio, vogliamo dare una pallina a ciascun bambino: Anna, Bianca, Carlo e Dario. Abbiamo sette palline: bianca, arancione, blu, verde, gialla, viola e marrone. In quanti modi diversi è possibile dare una pallina a ciascun bambino? Anche in questo caso, le disposizioni ci aiutano. Poiché non possiamo dare la stessa pallina a più di un bambino, usiamo le disposizioni semplici: $D_{7, 4} = 840 .$

Quindi ci sono 840 modi per distribuire le palline tra i bambini.

Esempio: Da un gruppo di 20 membri di un’associazione, in quanti modi è possibile scegliere il presidente, il segretario e il tesoriere?

Ci sono 20 persone che possono diventare presidente dell’associazione. Scegliamone una. Ora, poiché abbiamo già scelto il presidente, restano 19 persone che possono diventare segretario. Infine, una volta scelti il presidente e il segretario, rimangono 18 candidati per il ruolo di tesoriere. Moltiplichiamo questi numeri e otteniamo $20 \times 19 \times 18 = 6840$ possibili modi di assegnare questi tre ruoli.

In generale, ogni volta che abbiamo k posizioni diverse da riempire e un gruppo di n candidati, esistono esattamente $D_{n, k}$ per farlo. In questo caso specifico, abbiamo $D_{20, 3} = 6840$ modi.

Esempio: Quante sequenze di 4 cifre possono aprire un lucchetto a combinazione se non ci sono zeri?

Questo non è un lucchetto tipico perché le cifre vanno da 1 a 9 invece che da 0 a 9. Il numero di elementi è quindi n = 9. La lunghezza della sequenza è k = 4. Ogni cifra può essere usata tutte le volte che si vuole; quindi, in questo caso utilizziamo le disposizioni con ripetizione. La formula è:

{D'}_{n, k} = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Ci sono 6561 possibili sequenze. Se occorre un secondo per controllare ciascuna sequenza, dovremmo essere in grado di aprire il lucchetto controllandole tutte in meno di due ore. In questo contesto, nel linguaggio quotidiano queste sequenze vengono spesso chiamate “combinazioni”, ma, dal punto di vista matematico, il termine non è del tutto corretto. Poiché l’ordine delle cifre conta, in questo caso dovremmo parlare di disposizioni con ripetizione, non di combinazioni.

Esempio: Quante password esistono?

La risposta dipende dalla lunghezza delle password e dal numero di caratteri disponibili. Come esempio, calcoleremo il numero di password lunghe 10 caratteri. Abbiamo a disposizione sia lettere latine minuscole sia maiuscole (da a a z e da A a Z: in totale sono 52 lettere), cifre (da 0 a 9) e caratteri speciali (ce ne sono 30):

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

In totale, abbiamo 52 + 10 + 30 = 92 caratteri diversi. Possiamo usare ciascun carattere tutte le volte che vogliamo, quindi stiamo contando le disposizioni con ripetizione di n elementi a k a k. La formula è:

{D'}_{n, k} = n^{k} = 92^{10} = 43.438.845.422.363.213.824 .

Questo è un numero molto grande di password uniche. Non c’è praticamente alcuna possibilità che qualcuno riesca a indovinare la tua password semplicemente provando tutte le sequenze possibili, purché tu abbia scelto i caratteri in modo casuale anziché inventarti qualcosa di facile, come admin12345 o Password0!.

Disposizioni in Python

Se vuoi calcolare il numero di disposizioni in un linguaggio di programmazione come Python, puoi usare la formula delle disposizioni per creare una tua funzione:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

Allo stesso modo, puoi usare la formula per le disposizioni con ripetizione:

def nUk(n, k):
	return n**k

Se sei interessato a generare tutte le disposizioni semplici, puoi scrivere:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

E per le disposizioni con ripetizione:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Calcolatore esponenziale per numeri grandi

Poiché la formula per le disposizioni con ripetizione è ${D'}_{n, k} = n^{k},$ puoi usare questo Calcolatore di disposizioni e permutazioni come calcolatore esponenziale per calcolare la potenza di un numero. Questo può essere comodo, soprattutto quando il risultato è enorme (per esempio, puoi ottenere facilmente il valore esatto di 3¹⁰⁰⁰), dal momento che le calcolatrici tradizionali non gestiscono bene risultati molto grandi. Seleziona la casella “Consenti le ripetizioni” e inserisci la base della potenza nel campo n e l’esponente nel campo k. Puoi usare solo numeri interi non negativi.

Come usare il Calcolatore di disposizioni e permutazioni

Per usare questo calcolatore, inserisci il numero di elementi tra cui scegliere nel campo contrassegnato con la lettera n. La dimensione del campione, ovvero la lunghezza della sequenza, va inserita nel campo sottostante (contrassegnato con k o r). Se sei interessato alle disposizioni con ripetizione, seleziona la casella “Consenti le ripetizioni”. Quindi, fai clic sul pulsante “Calcola” per eseguire i calcoli oppure sul pulsante “Cancella” per inserire nuovi valori.

Il risultato viene mostrato nel campo “Risultato” sottostante. Se il risultato è piccolo, viene visualizzato su una sola riga. I numeri più grandi vengono mostrati in due modi: sopra compare un’approssimazione in notazione scientifica e sotto viene mostrato il valore esatto. Se durante i calcoli si verifica un errore, verrà visualizzato al posto del risultato.

Il calcolatore accetta solo numeri interi non negativi. Per le disposizioni semplici i numeri inseriti devono inoltre soddisfare la condizione k ≤ n. Per le disposizioni con ripetizione, entrambi i numeri non possono essere zero contemporaneamente, in quanto il valore di 0⁰ è indeterminato. Non esiste un limite superiore ai valori che puoi inserire. Dovresti riuscire facilmente a ottenere numeri molto grandi, come nel caso di n = 8000000000 e k = 1000 (ad esempio, il numero di modi di stilare la classifica delle 1000 persone più ricche della popolazione mondiale). A seconda della configurazione del tuo sistema, si possono ottenere risultati ancora più grandi. Tuttavia, calcolare un risultato molto grande può richiedere molto tempo oppure, se i calcoli superano la capacità del tuo dispositivo, il sito web potrebbe bloccarsi.

Puoi scegliere la base in cui vuoi che i risultati siano visualizzati. Il valore predefinito è 10; cioè, i risultati saranno mostrati usando il sistema decimale. Per la base puoi usare qualsiasi numero naturale da 2 a 36. Tuttavia, solo i risultati saranno visualizzati utilizzando la base selezionata. I valori che inserisci come n e k vengono sempre trattati come se fossero scritti usando la base decimale.

Hai la possibilità di: 1) copiare il risultato negli appunti, 2) scaricare il risultato come file, 3) stampare il risultato, 4) copiare negli appunti il link ai risultati e 5) cancellare il campo “Risultato”. Per attivare una di queste opzioni, utilizza l’icona corrispondente sopra il campo “Risultato”.

Cita o incorpora questo contenuto

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Narkiewicz A., Calcolatore di disposizioni e permutazioni, https://minesweeper.us/campo-minato/calcolatore-di-disposizioni-e-permutazioni/, consultato il 2026-04-08.

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Bibliografia

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

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