階乘計算器

要計算階乘，請在「求階乘」欄位中輸入一個數字，再按下「計算」。計算結果會顯示在「結果」欄位中。

求階乘：

進位制：

結果：

2026-09-20，撰寫

Adam 擁有經濟學博士學位，負責撰寫技術文章，並督導線上應用程式的開發。您可以在以下平台找到他：
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什麼是階乘？

要計算一個數的階乘，就是把從1開始，一直到這個數為止的所有整數全部相乘。階乘的符號是嘆號「!」。例如

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 ，

可以讀作「四的階乘等於24」。

階乘只能用在非負整數，也就是0或大於0的自然數。為了計算上的方便，數學家約定 $0! = 1$ ，也就是說，0的階乘等於1。

階乘公式

給定一個數字 n，它的階乘可以用以下幾種公式表示：

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

這幾個公式雖然寫法不同，但算出來的結果都一樣。公式（1）是從階乘的定義來的，也就是把1到 n 的所有整數相乘。公式（2）則是公式（1）的簡寫，使用乘積符號來表示。公式（3）是遞迴公式，可以讀作：「n 的階乘等於 n 乘以 n–1 的階乘。」

階乘的用途與例子

階乘在數學中有許多用途。舉例來說，在組合數學和機率論裡，階乘很常見，因為它可以幫助我們計算一組不同物件有多少種排法。更具體地說，階乘常用在排列與組合的公式中。除此之外，在許多其他數學分支中，也會看到階乘的應用。

例子：3個物品有幾種排法？

我們先從一個簡單的例子來看。假設桌上有三樣東西：一顆蓮霧、一顆釋迦和一顆芭樂。現在要決定吃它們的順序，總共有幾種可能呢？第一個要吃什麼，有3種選擇。吃掉第一個水果之後，剩下2個水果，所以第二個要吃什麼，就只剩2種選擇。等到最後只剩1個水果時，就沒有別的選擇了，只能吃剩下的那一個。因此，這三個水果的排列方式是 $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 種：

蓮霧、釋迦、芭樂

蓮霧、芭樂、釋迦

釋迦、蓮霧、芭樂

釋迦、芭樂、蓮霧

芭樂、蓮霧、釋迦

芭樂、釋迦、蓮霧

例子：4個數字有幾種排法？

再來看看4個數字的情況。假設我們有1到4這四個數字，想知道它們總共有幾種排列方式。答案就是： $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ 。也就是說，一共有24種可能。下面列出這24種排列方式：

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

不過，這個算法有一個前提：四個數字必須都不相同。如果有些數字重複出現，例如3、5、5和7，就不能只用簡單的階乘來算了，公式會變得稍微複雜一些。這一點，我們會在下一個例子中再仔細說明。

例子：5個字母有幾種排法？

我們再來看一個字母排列的例子。英文單字 FRUIT 一共有5個字母，而且每個字母都不相同。那麼，這5個字母總共有幾種排列方式呢？答案是： $5! = 120$ ，也就是說，可能的排法相當多！

不過，這個簡單的公式只適用在沒有重複字母的情況。如果一個單字裡有重複出現的字母，算法就要稍微調整。做法是：先取整個單字長度的階乘，再依照每個重複字母出現的次數，分別除以它們的階乘。例如 MISSISSIPPI 這個英文單字（一條美國的河流名字），一共有11個字母。其中，S 和 I 都各出現4次，P 則出現2次。因此，這些字母總共有34,650種不同的排列方式：

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650

為什麼要把這些階乘放在分母呢？我們可以用 S 來想。假如四個 S 當中的兩個互換位置，整個單字看起來其實沒有任何改變。因為 S 一共有4個，所以光是這4個 S 彼此交換，就有 4! 種排法；但這些排法都會得到一模一樣的字。因此，我們要把這些重複計算的情況扣掉，方法就是把原本的總階乘除以 4!。其他重複字母也是同樣的道理。

例子：一副52張的撲克牌有幾種洗牌方式？

最後，我們來看一個很有趣的例子：一副52張的撲克牌，總共有多少種不同的排列方式？答案就是52的階乘，也就是52!。這是一個非常大的數字：52! = 80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000 或者也可以用科學記號近似表示為： $52! \approx 8.066 \times 10^{67}$ 。

這代表什麼呢？簡單來說，如果您把一副牌確實洗亂，要再次洗出一模一樣的排列，幾乎可以說是不可能的。

一個數的階乘是……

以下整理了一些常見的階乘：

問題	答案
0的階乘是多少？	0的階乘等於1。
1的階乘是多少？	1的階乘等於1。
2的階乘是多少？	2的階乘等於2。
3的階乘是多少？	3的階乘等於6。
4的階乘是多少？	4的階乘等於24。
5的階乘是多少？	5的階乘等於120。
6的階乘是多少？	6的階乘等於720。
7的階乘是多少？	7的階乘等於5,040。
8的階乘是多少？	8的階乘等於40,320。
9的階乘是多少？	9的階乘等於362,880。
10的階乘是多少？	10的階乘等於3,628,800。
52的階乘是多少？	52的階乘等於80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000。
100的階乘是多少?	100的階乘等於93,326,215,443,944,152,681,699,238,856,266,700,490,715,968,264,381,621,468,592,963,895,217,599,993,229,915,608,941,463,976,156,518,286,253,697,920,827,223,758,251,185,210,916,864,000,000,000,000,000,000,000,000。

100的階乘可以用科學記號近似表示為： $100! \approx 9.333 \times 10^{157}$ 。

Python 中的階乘

如果使用 Python 這類程式語言，可以直接呼叫內建函式來計算階乘：

import math
math.factorial(n)

不過，如果想自己寫一個階乘函式，也可以用遞迴的方式來做：

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

或者，也可以使用迴圈來計算：

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

負數的階乘

階乘只定義在非負整數上，也就是0或大於0的整數。過去有不少人嘗試把階乘推廣到實數或複數的範圍。不過，一般仍認為，負數的階乘應該保持未定義。舉例來說，伽瑪函數可以把階乘的概念推廣到幾乎所有複數，但有一個例外：負整數。

階乘的近似值

把1到 n 的所有整數一個一個相乘，有時候會很花時間，尤其當 n 很大的時候更是如此。因此，數學家也想出了一些公式，可以快速估算階乘的大小。下面列出兩個很有名的近似公式。

史特靈公式

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

拉馬努金公式

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

如何使用階乘計算器？

要使用這個計算器，請在「求階乘」欄位中輸入一個數字，然後按下「計算」按鈕。計算結果會顯示在下方。如果結果是一個很大的數字，系統會用兩種方式呈現：上方會先顯示較短的科學記號近似值，下方則會顯示完整的精確結果。

這個計算器只能處理非負整數，也就是0或大於0的整數。它沒有預先設定的上限；只要您的裝置和瀏覽器能夠負荷，理論上可以輸入任意大的數字。在桌上型電腦上，有些版本的 Chrome 可以很輕鬆地計算10,000,000的階乘；但 Firefox 和 Safari 在處理超過60,000的數字時，可能就會比較吃力。

對於很大的數字，計算結果可能需要幾秒鐘，顯示在畫面上甚至可能花更久。如果輸入的數字太大，系統會顯示錯誤訊息。有時候，頁面也可能還來不及顯示訊息就當掉，這時就需要重新整理頁面。

計算器也可以用10以外的進位制來顯示結果。您可以指定2到36之間的任一數字。例如，如果想用十六進制顯示結果，就輸入16。這裡要特別注意：如果結果是用科學記號顯示，尾數和指數都會使用您選擇的進位制。不過，輸入的數字本身，仍然一律會以十進位讀取和顯示。

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參考資料

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

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