階乗計算機

階乗を計算するには、「以下の階乗」欄に数値を入力して「計算」を押します。結果は「結果」欄に表示されます。

以下の階乗⁚

基数⁚

結果⁚

2026-09-12、著

Adam Narkiewicz氏は経済学の博士号を取得し、技術的な記事を書きながら、オンラインアプリの開発を管理しています。詳細については、以下のWebサイトを参照してください。
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

階乗の概要

ある数字の階乗を求めるには、1からその数字までの全整数の積を計算します。階乗を表記する場合、「!」を数字の後ろに付けます。例えば、

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24

の場合、「4の階乗は24と等しい」と表現します。

階乗は負の整数以外にのみ使用されます（0以上の整数）。便宜上、数学者たちは $0! = 1$ として定められているため、0の階乗は1になります。

階乗の公式

ある数字 n 階乗は、以下の公式を使用して表記できます。

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

これらの公式はすべて同じ結果を出します。公式（1）は定義に従います（1から n までの全整数の積を計算する）。公式（2）は公式（1）の短いバージョンであり、積演算子を表記します。公式（3）は「nの階乗は、（n–1）の階乗とnの積と等しい」として表現される再帰公式です。

実用的な階乗の例

階乗には多数の用途があります。例えば、一連の様々な物体を何通りの配置方法で説明できるため、組合せ論や確率論に一般的に使用されます。具体的には、階乗は置換や組み合わせの公式に使用されます。数学の他の分野でも使用されます。

例⁚3個の物体を並べるパターン数

りんご、なし、みかんがあることを想定しましょう。どの順番で食べるか検討します。この場合、最初に食べるものの選択肢は3つあります。最初の果物を食べたら、次の選択肢は2つあります。果物が1個残ったら、当然ながら選択対象はありません。従って、果物の順序は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りあります。

りんご、なし、みかん

りんご、みかん、なし

なし、りんご、みかん

なし、みかん、りんご

みかん、りんご、なし

みかん、なし、りんご

例⁚4つの数字の順序のパターン数

1〜4の数字が4つあるとしましょう。何通りのパターンで配置できるでしょうか？回答は $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ です。24通りのパターンは以下の通りです。

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

異なる数字が4つあることが前提条件です。一部の数字が反復される場合の「3、5、5、7」などの例では、階乗は使用できなくなり、公式がさらに複雑になります。次の例では、この条件を詳しく説明します。

例⁚5文字の順序のパターン数

「さくらんぼ」という単語の文字は、何通りのパターンで配置できるでしょうか？回答は $5! = 120$ です。パターンが多数あります。

単語に反復する文字がない場合に限り、この簡単な公式を使用できます。単語に反復する文字がある場合、単語の文字数の階乗（A）を計算します。反復する文字においては、反復回数の階乗の積（B）を計算して、（A)を(B)で割ります。例えば、「MISSISSIPPI」という英語の固有名詞（米国の州の名称）は11文字ありますが、「S」と「I」は4文字ずつあり、「P」は2文字あります。従って、この単語の文字には34,650通りのパターンがあります（先述の(A)/(B)より）。

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650

分母にこれらの階乗を含める理由について説明します。例えば、4文字ある「S」の2文字を入れ替えても、単語は変わりません。「S」が4文字あるため、配置パターンは4!通りあります。このような配置が重複するために排除します。11!（分子）から排除するには、「S」文字の4!を分母に含めます。

例⁚52枚のカード1組を切るパターン数

この最後の例では、カード52枚の1組を配置するパターン数を計算します。もちろん、52の階乗として計算され、次のような天文学的な数字になります。52! = 80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000 または約 $52! \approx 8.066 \times 10^{67}$ 。

つまり、カードをよく切れば、同じカード順を2回経験する可能性はほぼありません。

基本的な階乗

基本的な階乗をいくつか紹介します。

質問	回答
0の階乗は何？	0の階乗は1。
1の階乗は何？	1の階乗は1。
2の階乗は何？	2の階乗は2。
3の階乗は何？	3の階乗は6。
4の階乗は何？	4の階乗は24。
5の階乗は何？	5の階乗は120。
6の階乗は何？	6の階乗は720。
7の階乗は何？	7の階乗は5,040。
8の階乗は何？	8の階乗は40,320。
9の階乗は何？	9の階乗は362,880。
10の階乗は何？	10の階乗は3,628,800。
52の階乗は何？	52の階乗は80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000。
100の階乗は何？	100の階乗は93,326,215,443,944,152,681,699,238,856,266,700,490,715,968,264,381,621,468,592,963,895,217,599,993,229,915,608,941,463,976,156,518,286,253,697,920,827,223,758,251,185,210,916,864,000,000,000,000,000,000,000,000。

100の階乗は、次の指数表記で近似値を求めることができます⁚ $100! \approx 9.333 \times 10^{157}$ 。

Pythonでの階乗計算

Pythonのようなプログラミング言語を使用している場合、次のようなビルトイン関数を活用できます。

import math
math.factorial(n)

ご自身の階乗関数をプログラミングする場合、再帰関数を使用して行えます。

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

または、次の繰り返し処理を実行できます。

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

負の数の階乗

階乗は非負整数のみに定義されています。階乗を実数や複素数に適用することを法則化する試みが多数ありました。ただし、学者の間では負の数の階乗を定義しないという同意が成り立っています。例えば、ガンマ関数は階乗の概念を複素数全体に法則化しますが、負の整数のみは例外です。

階乗の近似値

特に n が大きな数字である場合、n までの全整数の積を計算すると時間がかるため、数学者たちは階乗の近似値を迅速に求める公式を策定しました。このような知名度が高い公式を2つ紹介します。

スターリングの近似

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

ラマヌジャンの近似

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

階乗計算機の使用方法

この計算機を使用するには、「以下の階乗」欄に数値を入力して「計算」ボタンを押します。結果は下に表示されます。結果が大数の場合、2種類の方法で表示されます。指数表記による短い近似値は上段に表示される一方、正確な結果は下段に表示されます。

計算機は「0」を含む非負の整数のみに機能します。上限値は設定されておらず、お使いのデバイスやブラウザの性能が許す限り、任意の大きさの数を入力できます。デスクトップパソコンでは、一部のChromeバージョンは10,000,000の階乗を簡単に計算できる一方、FirefoxやSafariは60,000を超える数字の階乗を処理するのが精一杯の場合があります。

大数の結果を計算するために数秒かかりますが、画面に表示されるまでさらに時間がかかる場合があります。入力した数字が大きすぎると、エラーメッセージが表示されます。メッセージを表示せずに、ページがクラッシュして再読み込みが必要になる場合があります。

10以外の基数で結果を表示するオプションがあります。2〜36の任意の数字を指定できます。例えば、16進法で結果を得る場合は「16」と入力します。指数表記で表示される結果には、仮数と指数の両方に選択された基数が使用されることを必ず覚えておきましょう。ただし、入力する数値は常に基数10の形式としてみなされて読み取られます。

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Narkiewicz Adam 「階乗計算機」、https://minesweeper.us/マインスイーパー/階乗計算機/、2025-06-30閲覧。

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出典

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

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