Kalkulačka kombinací

Vítejte v Kalkulačce kombinací. Zadejte prosím celkový počet prvků (n) a počet vybíraných prvků (k nebo r). Pokud lze prvky vybírat opakovaně, zaškrtněte políčko níže. Poté stiskněte tlačítko „Vypočítat“.

Počet prvků (n): Rozsah výběru (k nebo r): Povolit opakování: Základ soustavy:

Výsledek:

2026-05-15, autor:

Adam má doktorát z ekonomie, píše odborné články a dohlíží na vývoj online aplikací. Můžete ho najít na:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Vzorec pro kombinace

Kombinace nám říká, které k prvků vybrat z množiny n prvků. Často se mluví o k-členné kombinaci z n prvků, kterou nesmíme zaměňovat s k-člennou variací z n prvků. U kombinací na pořadí vybraných prvků nezáleží, zatímco u variací ano.

Kolika způsoby lze vybrat k prvků z větší množiny o n prvcích? Symbol pro počet k-členných kombinací z n prvků bez opakování (tedy v případě, kdy je každý vybraný prvek vyřazen z množiny, aby nemohl být vybrán znovu) je $C (n, k) .$ Mnoho zdrojů používá také symboly ${}_{n}C_{k}$ or $(\binom{n}{k}),$ přičemž právě poslední zmíněný symbol je velmi populární. Můžeme tedy zapsat

C (n, k) = {}_{n}C_{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!},

kde n! označuje faktoriál čísla n. Na druhou stranu symbol pro počet k-členných kombinací z n prvků s opakováním (což znamená, že se vybrané prvky vrací a mohou být vybrány znovu) je $E (n, k)$ , někdy psaný také jako $((\binom{n}{k})) :$

E (n, k) = ((\binom{n}{k})) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Kombinace a variace bez opakování jsou si příbuzné vzorcem

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} .

Počet variací se dělí k! pro zohlednění pořadí položek; to je klíčové pro variace, ale u kombinací nehraje roli. Pokud vás zajímají situace, kde na pořadí vybraných položek záleží, vyzkoušejte naši Kalkulačku variací a permutací.

Z technických důvodů používá naše kalkulačka symboly běžné v anglických zdrojích, tj. $C (n, k)$ pro označení kombinací bez opakování a $E (n, k)$ pro označení kombinací s opakováním.

Příklady kombinací

Kolikrát si skupina 100 lidí potřese rukou?

Představte si, že jste právě dorazili na večírek. Je tam celkem 100 hostů (včetně vás). A jak se snažíte s každým pozdravit podáním ruky, napadne vás, kolik podání rukou by celkem proběhlo, kdyby se takto pozdravil každý s každým.

Máme n = 100 lidí. Kolik různých dvojic lze v této skupině vytvořit? Nebo jinými slovy, kolik existuje 2-členných kombinací ze 100 prvků? Odpověď je:

C (100, 2) = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950 .

Bylo by to 4 950 podání ruky. Všimněte si, že používáme kombinace bez opakování, protože člověk si nepotřese rukou sám se sebou!

Kolik existuje pokerových kombinací?

Uvažujme hru bez žolíků, tedy balíček, který má 52 karet. Vybíráme pět karet bez opakování (protože stejnou kartu nemůžeme vytáhnout dvakrát). Na pořadí karet nezáleží. Proto můžeme použít k-členné kombinace bez opakování z n prvků, kde k = 5 a n = 52:

(\binom{52}{5}) = 2598960 .

Existuje tedy 2 598 960 unikátních pokerových kombinací. Díky této znalosti můžeme vypočítat pravděpodobnost, že získáte kteroukoli z pokerových výherních kombinací.

Jaká je šance, že získám čtveřici?

Abychom získali čtveřici, musíme nejprve vybrat hodnotu, která se bude opakovat (13 možností), a poté vybrat pátou kartu (48 možností). Existuje tedy $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ různých kombinací obsahujících čtveřici. Pravděpodobnost, že takovou kombinaci získáte náhodou, je tedy $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0,024% .$

Jaká je šance, že získám full house?

Výpočet pravděpodobnosti, že získáte full house, je o něco složitější. Nejdříve musíme vybrat hodnotu pro dvojici (13 možností) a hodnotu pro trojici (12 možností – nemůže být stejná jako u dvojice, takže jedna z možností odpadá). Dále musíme zohlednit různé kombinace barev. Existuje $(\binom{4}{2})$ kombinací barev pro pár a $(\binom{4}{3})$ kombinací barev pro trojici. Nyní tato čísla vynásobíme, abychom získali celkový počet možností:

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744 .

Existuje 3 744 různých kombinací pro full house, takže pravděpodobnost, že jej získáte náhodou, je $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0,144% .$ To znamená, že získání full housu je šestkrát pravděpodobnější než získání čtveřice.

Jaká je šance, že získám barvu?

Barva nastává, když máme pět karet stejné barvy. Nejdříve vybereme barvu – zde máme čtyři možnosti. Poté vybereme pět ze 13 karet dané barvy: existuje $(\binom{13}{5})$ způsobů, jak to udělat. Celkový počet různých kombinací s barvou je

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148 .

Pravděpodobnost, že barvu získáte náhodou, je $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx 0,198% .$

Všimněte si! Tento vzorec zahrnuje i šanci na získání postupky v barvě, speciálního typu barvy, u které mají karty nejen stejnou barvu, ale jsou také v sekvenci (postupce). Pokud chcete vypočítat pravděpodobnost získání „běžné“ barvy, kde karty nejsou v postupce, musíte od výše vypočtené pravděpodobnosti odečíst pravděpodobnost na získání postupky v barvě (viz níže).

Jaká je šance, že získám postupku?

V tomto případě nás zajímá získání sekvence pěti karet – každá karta má hodnotu o jedna vyšší než předchozí – bez ohledu na jejich barvu. Abychom určili počet takových kombinací, musíme nejprve zvolit nejvyšší kartu. Nejvyšší kartou může být eso, král, dáma, kluk, 10, 9, 8, 7, 6 nebo 5 (eso může sloužit také jako nejnižší karta v postupce 5-4-3-2-eso), takže pro hodnotu nejvyšší karty existuje 10 možností. Jakmile vybereme nejvyšší kartu, hodnoty všech zbývajících karet jsou dané. Nyní musíme vybrat barvy. Existují čtyři možné barvy a barvu vybíráme pro každou z pěti karet samostatně. Používáme tedy 5-členné variace s opakováním ze 4 prvků, pro které platí vzorec 4⁵. Celkový počet kombinací tvořících postupku je tedy

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240 .

Pravděpodobnost, že postupku dostanete náhodou, je $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx 0,394% .$

Všimněte si! Tento vzorec zahrnuje i šanci na získání postupky v barvě, speciálního typu postupky, u které jsou karty nejen v sekvenci, ale také mají stejnou barvu. Pokud chcete vypočítat pravděpodobnost získání „běžné“ postupky, u které nemají všechny karty stejnou barvu, musíte od výše vypočtené pravděpodobnosti odečíst pravděpodobnost na získání postupky v barvě (viz níže).

Jaká je šance, že získám postupku v barvě?

Postupka v barvě je jednou z nejcennějších a nejvzácnějších pokerových kombinací. V této kombinaci jsou karty za sebou, podobně jako u postupky, ale zároveň mají všechny stejnou barvu. Abychom vypočítali počet takových kombinací, musíme nejprve zvolit nejvyšší kartu. Stejně jako u běžné postupky existuje 10 způsobů, jak to udělat. Poté, co jsou určeny hodnoty karet, musíme vybrat barvu, kde jsou čtyři možnosti. Výsledný vzorec je:

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40 .

Existuje pouze 40 takových kombinací, takže pravděpodobnost, že získáte postupku v barvě náhodou, je $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx 0,00154% .$

Všimněte si! Tento vzorec zahrnuje i šanci na získání královské postupky (viz níže). Pokud chcete vypočítat pravděpodobnost získání postupky v barvě, která není královskou postupkou, musíte odečíst hodnotu získanou pro královskou postupku od pravděpodobnosti vypočítané výše.

Jaká je šance, že získám královskou postupku?

Šance na získání královské postupky jsou ještě nižší než šance na získání postupky v barvě. Je to dáno tím, že královská postupka je vlastně postupka v barvě s esem jako nejvyšší kartou. Hodnoty karet v královské postupce jsou tedy vždy stejné: eso, král, dáma, kluk a 10. Jediné, co se může měnit, je jejich barva. Protože existují pouze čtyři barvy, existují pouze čtyři kombinace tvořící královskou postupku. Pravděpodobnost jejího získání je $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx 0,000154% .$ To je desetkrát menší než pravděpodobnost získání postupky v barvě.

Jaká je šance, že získám trojici?

Pro získání trojice je třeba nejdříve vybrat těmto třem kartám hodnotu. Existuje 13 způsobů, jak to udělat. Poté musíme ze zbývajících 12 hodnot vybrat hodnoty pro další dvě karty. Musíme se přitom ujistit, že tyto dvě karty nevytvoří dvojici (jinak by nám místo trojice vznikl full house), takže použijeme 2-členné kombinace bez opakování ze 12 prvků: $(\binom{12}{2}) .$ Nakonec musíme vybrat barvy. Nejprve vybereme barvy trojice: $(\binom{4}{3}) .$ Poté vybereme barvy pro dvě zbývající karty – a protože mají tyto karty odlišnou hodnotu, použijeme 2-členné variace s opakováním ze 4 prvků, což nám dává 4². Celý vzorec tedy vypadá následovně:

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912 .

Pravděpodobnost získání trojice je $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx 2,11% .$

Jaká je šance, že získám dva páry?

Kolika různými způsoby můžeme získat dva páry? Nejprve musíme vybrat hodnoty pro páry: $(\binom{13}{2}) .$ Za druhé, musíme vybrat hodnotu páté karty: $(\binom{11}{1}) .$ Za třetí, musíme vybrat barvy karet v každém páru. V každém páru musí být karty jiné barvy, takže existuje $(\binom{4}{2})$ způsobů, jak vybrat barvy pro nižší pár a $(\binom{4}{2})$ způsobů, jak vybrat barvy pro vyšší pár. Nakonec musíme vybrat barvu pro pátou kartu, a existují čtyři způsoby, jak to udělat. Proto po vynásobení všech těchto faktorů dostaneme:

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552 .

Pravděpodobnost získání dvou párů je $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx 4,75% .$

Jaká je šance, že získám pár?

A konečně, šanci na získání páru můžeme vypočítat následovně: 1) vybereme hodnotu páru: $(\binom{13}{1});$ 2) vybereme hodnoty zbývajících karet: $(\binom{12}{3});$ 3) vybereme barvy karet v páru: $(\binom{4}{2});$ a 4) wvybereme barvy zbývajících tří karet: 4³. Možná se ptáte, proč vybíráme hodnoty tří různých karet pomocí kombinací (tedy $(\binom{12}{3})$ ), ale jejich barvy pomocí variací (tedy 4³)? Při výběru hodnot musíme použít kombinace, protože nezáleží na tom, v jakém pořadí karty těchto hodnot držíme v ruce – i když pořadí karet v ruce změníme, stále jde o stejnou pokerovou kombinaci. Máme zde však tři karty různých hodnot, které mají své přirozené pořadí – od nejvyšší po nejnižší. Toto přirozené pořadí můžeme využít k identifikaci každé karty při výběru jejich barev. Nejdříve vybereme barvu pro kartu s nejvyšší hodnotou, poté zvolíme barvu pro kartu se střední hodnotou a nakonec vybereme barvu pro kartu s nejnižší hodnotou. Každý výběr nabízí čtyři možnosti, což nám dává $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ možností.

Proto celkový počet kombinací s jedním párem je

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240

a pravděpodobnost získání jednoho páru je $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx 42,3% .$ Tento výsledek můžete ověřit experimentálně. Promíchejte balíček a vytáhněte pět karet. Držíte pár? Zaznamenejte odpověď. Tento proces několikrát opakujte – měli byste dostat jeden pár v o něco méně než polovině případů.

Jaká je šance, že vyhraji v loterii?

Mnoho zemí má svou loterii, ve které se losuje několik očíslovaných míčků z většího osudí. Ten, kdo tipne správná čísla, vyhrává – a výhry jsou často astronomické. Populárním příkladem v ČR je Eurojackpot. V této loterii si musíte vybrat pět čísel od 1 do 50 (bez opakování) a poté samostatně zvolit dvě další čísla (tzv. Euročísla) od 1 do 12. Počet všech možných kombinací je:

(\binom{50}{5}) (\binom{12}{2}) = 2118760 \times 66 = 139838160 .

Pro Eurojackpot tedy existuje 139 838 160 způsobů, jak vybrat čísla. Jinými slovy, museli byste si koupit 139 838 160 tiketů, abyste měli jistotu, že jackpot vyhrajete. Pokud si koupíte pouze jeden sloupec, je vaše šance na výhru 1 ku 139 838 160, což je přibližně 0,000000715%.

Kolik existuje způsobů, jak přinést občerstvení na večírek?

V tomto příkladu si představte, že jdete na večírek ke kamarádovi. Byli jste požádáni, abyste přispěli a přinesli nějaké občerstvení. Na výběr jsou tři druhy: chipsy, sušenky a krekry. Máte v úmyslu koupit celkem pět sáčků. Kolik existuje možných kombinací?

Nejprve si všimněme, že vybíráme ze tří prvků, tedy n = 3. Za druhé, na pořadí, v jakém je uspořádáme, nezáleží. Za třetí, od každého druhu občerstvení můžeme koupit více než jeden kus. Proto bychom měli použít 5-členné kombinace s opakováním ze 3 prvků. Vzorec je:

E (3, 5) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21 .

Existuje 21 způsobů, jak vybrat občerstvení na večírek. Abychom si ověřili, že je náš výsledek správný, vypíšeme si všechny možné kombinace (pro stručnost označíme jednotlivé druhy jako A, B a C):

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

Vysvětlení vzorce kombinací

k-členné kombinace bez opakování z n prvků

Vzorec pro k-členné kombinace bez opakování z n prvků (někdy nazývaný také jako kombinační číslo „n nad k“ nebo „n nad r“) je:

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Abychom si ověřili, že je tento vzorec skutečně správný, prozkoumejme proces výběru k čísel v rozmezí od 1 do n. Začneme tím, že vybraná čísla uspořádáme do posloupnosti o délce k. Na prvním místě v posloupnosti může být libovolné z n čísel. Poté, co toto číslo z výběru odebereme, zbývá pro druhé místo v posloupnosti n − 1 možností. I toto číslo z výběru odebereme, takže pro třetí místo nám zůstane na výběr pouze n − 2 čísel. Tímto způsobem pokračujeme ve výběru čísel, dokud nezaplníme celou posloupnost o délce k. Abychom získali celkový počet takových posloupností (který odpovídá počtu k-členných variací bez opakování z n prvků), musíme vynásobit počty možností, které jsme měli v každém kroku:

P (n, k) = \underset{k činitelů}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Tento součin je však v podstatě součinem k největších činitelů faktoriálu. Můžeme jej tedy přepsat jako

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!},

kde faktoriál ve jmenovateli vykrátí n − k nejmenších činitelů v čitateli, takže zbytek odpovídá předchozímu vzorci.

Tímto však příběh nekončí, protože jsme zatím vypočítali počet variací, nikoliv kombinací. U variací záleží na pořadí prvků; při sestavování posloupnosti jsme na pořadí brali ohled – vybírali jsme číslo pro první pozici, pak pro druhou, třetí a tak dále. My však nyní chceme považovat všechny posloupnosti složené ze stejných čísel za jednu jedinou kombinaci. Kolik různých posloupností lze tedy vytvořit z k různých čísel? Odpověď je snadná: je to k!. Variací je tedy k!-krát více než kombinací. Abychom získali počet kombinací, musíme počet variací vydělit k!:

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

k-členné kombinace s opakováním z n prvků

Jak tedy získat vzorec pro k-členné kombinace s opakováním z n prvků? Každý z n prvků může být vybrán 0 až k-krát. Představme si tedy n přihrádek očíslovaných od 1 do n. V každé přihrádce může být až k míčků, přičemž celkový počet míčků ve všech přihrádkách je roven k. Přihrádky představují jednotlivé prvky a míčky v dané přihrádce nám říkají, kolikrát jsme daný prvek vybrali.

Jak popsat počet míčků v jednotlivých přihrádkách pomocí číselné posloupnosti? Můžeme vytvořit posloupnost n − 1 čísel sestavenou následujícím způsobem: i-té číslo v této posloupnosti nám udává, kolik míčků a přihrádek je dohromady v úseku od první do i-té přihrádky. Například první číslo v této posloupnosti je rovno jedničce plus počtu míčků v první přihrádce (může to tedy být cokoli od 1 do k + 1). Druhé číslo je rovno dvojce plus počtu míčků v prvních dvou přihrádkách (může to být cokoli od 2 do k + 2, ale musí být větší než první číslo). Třetí číslo je rovno trojce plus počtu míčků v prvních třech přihrádkách (cokoli mezi 3 a k + 3, ale větší než druhé číslo). A tak dále. Je snadné vidět, že hodnota posledního čísla v této posloupnosti je n − 1 plus počet míčků ve všech přihrádkách kromě té poslední. Tato hodnota může být tak nízká jako n − 1 (pokud jsou všechny míčky v poslední přihrádce) nebo tak vysoká jako n − 1 + k (pokud v poslední přihrádce nejsou žádné míčky).

Nyní změňme úhel pohledu. Máme množinu čísel od 1 do n − 1 + k. Z této množiny vybereme (bez opakování) n − 1 čísel. Seřadíme je do posloupnosti od nejmenšího po největší, a tím zjistíme, kolik míčků přijde do každé přihrádky. Každý způsob výběru n − 1 čísel z větší množiny n − 1 + k čísel přesně odpovídá jednomu způsobu rozdělení k míčků do n přihrádek. Kolik způsobů výběru n − 1 čísel bez opakování z množiny n − 1 + k čísel tedy existuje? Je to:

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} .

To je téměř vzorec, který hledáme. Posledním krokem je uvědomit si, že můžeme zaměnit pořadí faktoriálů ve jmenovateli, tedy

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C (n + k - 1, k)

a konečně

E (n, k) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Pascalův trojúhelník a binomické koeficienty

Binom (dvojčlen) je výraz obsahující dva členy, například $x + y .$ Binomické koeficienty jsou čísla, která se objevují u proměnných x a y, když výraz $x + y$ umocníme na nezáporné celé číslo. Například ${(x + y)}^{0} = 1,$ ${(x + y)}^{1} = x + y,$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2},$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ – v těchto případech jsou binomické koeficienty postupně: 1, 1-1, 1-2-1 a 1-3-3-1. Ukazuje se, že binomické koeficienty úzce souvisejí s k-člennými kombinacemi z n prvků: když rozepíšeme ${(x + y)}^{n},$ koeficient stojící u $x^{k} y^{n - k}$ je $(\binom{n}{k}) .$ V ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3},$ například, koeficient stojící u $x^{2} y$ je $(\binom{3}{2}) = 3 .$ Tento fakt lze obecně vyjádřit vzorcem

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .

Kromě toho tvoří binomické koeficienty zajímavý vzorec – lze je uspořádat do trojúhelníku, který je běžně známý jako Pascalův trojúhelník:

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

Zajímavým faktem o Pascalově trojúhelníku je, že každý další řádek lze vytvořit sečtením sousedních prvků v předchozím řádku. Například číslo 6 v řádku pro n = 4 vznikne jako součet 3 + 3 v předcházejícím řádku. Podobně číslo 10 v řádku pro n = 5 vznikne jako 4 + 6 v řádku nad ním. Toto pozorování lze shrnout rovnicí

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

Binomické rovnice a identity

Zde jsou některé z nejznámějších identit zahrnujících binomické koeficienty:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

Výběr k prvků z n v Pythonu

V programovacím jazyce Python použijte pro získání počtu k-členných kombinací bez opakování z n prvků funkci comb z modulu math:

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

Pro získání počtu k-členných kombinací s opakováním z n prvků využijte vzorec vyjadřující vztah mezi kombinacemi s opakováním a kombinacemi bez opakování:

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

Pokud chcete vypsat všechny k-členné kombinace bez opakování z n prvků, existuje pro tento účel vestavěná funkce:

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

A pro vypsání všech k-členných kombinací s opakováním z n prvků použijte:

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

Pokud si chcete napsat vlastní funkci pro výpočet počtu k-členných kombinací bez opakování z n prvků, zde je příklad:

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

A pro funkci vypočítávající počet k-členných kombinací s opakováním z n prvků můžete použít:

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

Jak používat Kalkulačku kombinací

Kalkulačka kombinací vám umožňuje vypočítat k-členné kombinace z n prvků s opakováním i bez něj. Pro provedení výpočtu zadejte počet dostupných prvků do pole označeného písmenem n. Poté zadejte počet tažených prvků do pole označeného k nebo r. Pokud vás zajímají kombinace s opakováním, zaškrtněte políčko níže. Nakonec stiskněte tlačítko „Vypočítat“ a výsledek se zobrazí níže.

Tato kalkulačka je obzvláště vhodná pro výpočty zahrnující velmi vysoká čísla. Vypočítat výsledek pro zadání jako n = 1000000 a k = 1000 pro ni nebude problém. U velkých čísel zobrazuje kalkulačka výsledek ve dvou formách. Na prvním řádku zobrazí aproximaci ve vědeckém zápisu a na druhém řádku zobrazí přesné řešení.

Kalkulačka nemá žádné pevně stanovené limity a pokusí se provést výpočet bez ohledu na velikost n a k. Zda bude výpočet úspěšný, závisí na konfiguraci vašeho systému. Moderní verze prohlížeče Chrome na stolních počítačích snadno vypočítají výsledky pro zadání jako n = 8000000000 a k = 10000000 (kolika způsoby lze vybrat 10 000 000 přeživších, kteří budou žít na obří vesmírné lodi poté, co dopad asteroidu zničí Zemi?). Jiné systémové konfigurace, zejména na mobilních zařízeních, mohou mít s takto velkými čísly potíže.

Kalkulačka má několik dalších funkcí. Můžete:

Zvolit základ soustavy, ve kterém chcete zobrazit výsledky. Můžete použít jakékoli celé číslo od 2 do 36. Výchozí základ je 10, což znamená, že se výsledky standardně zobrazují v desítkové soustavě. Pokud zvolíte jiný základ soustavy, bude použit pouze pro zobrazení výsledků. Vstupní hodnoty jsou vždy interpretovány v základu 10.
Vymazat pole s n a k kliknutím na tlačítko „Vymazat“. Poté můžete znovu zadat požadované hodnoty.
Zkopírovat výsledek do schránky. Pro použití této funkce (a všech následujících funkcí) stiskněte příslušné tlačítko nad polem „Výsledek“.
Stáhnout výsledek a uložit ho na své zařízení jako textový soubor.
Vytisknout výsledek.
Zkopírovat odkaz na výsledek do schránky.
Vymazat výsledek.

Citování nebo vložení tohoto obsahu

Tento web můžete používat zdarma, a to i pro komerční účely, pokud tento web uvedete jako zdroj. Pokud ho citujete ve vědeckém textu, můžete použít následující citaci:

Narkiewicz A., Kalkulačka kombinací, https://minesweeper.us/hledání-min/kalkulačka-kombinací/, citováno 2026-05-08.

Pokud chcete citovat tento web na internetu, můžete na něj odkázat pomocí hlavní URL (https://minesweeper.us/hledání-min/kalkulačka-kombinací/) nebo, pokud chcete odkázat na konkrétní výsledek, použijte tlačítko „Zkopírovat odkaz do schránky“.

Tuto stránku můžete také vložit na svůj web pomocí prvku iframe. Pokud chcete, aby stránka zobrazovala pouze kalkulačku a skryla veškerý ostatní obsah (menu, článek atd.), můžete v atributu src použít následující URL: https://minesweeper.us/hledání-min/kalkulačka-kombinací/?iframe=1.

Uveďte, prosím, na svém webu odkaz na tuto stránku formou citace s prokliknutelným odkazem. Můžete nám také dát vědět, že jste naši aplikaci vložili na svůj web, zasláním e-mailu na contact@simiade.com. Díky tomu vás budeme moci informovat o případných změnách v naší aplikaci, které by mohly vyžadovat, aby webmasteři upravili způsob jejího zobrazení na svých stránkách.

Zdroje

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Kontaktujte nás

Pokud máte jakékoli dotazy, připomínky nebo návrhy, můžete nám svou zpětnou vazbu zanechat zde:

Nebo nás můžete kontaktovat poštou:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polsko
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/cs/