Kalkulačka variací a permutací

Pro výpočet počtu variací zadejte počet možností (n), počet výběrů (obvykle označovaný jako k nebo r) a pokud lze prvky vybrat vícekrát, zaškrtněte pole „Povolit opakování“. Stiskněte tlačítko „Vypočítat“ a výsledek se zobrazí níže.

Počet prvků (n): Délka posloupnosti (k nebo r): Povolit opakování: Základ soustavy:

Výsledek:

2026-05-14, autor:

Adam má doktorát z ekonomie, píše odborné články a dohlíží na vývoj online aplikací. Můžete ho najít na:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Co jsou variace a permutace?

k-členná variace z n prvků je způsob, jak uspořádat k prvků vybraných z větší množiny o n prvcích. Kalkulačka variací a permutací tento počet vypočítá pro zadané hodnoty n a k. V některých zdrojích se místo písmene k používá písmeno r – jejich význam zůstává stejný.

Permutace je změna pořadí prvků v posloupnosti. Počet permutací udává, kolika různými způsoby lze prvky přeuspořádat v dané posloupnosti.

k-členné variace z n prvků existují ve dvou variantách. První jsou posloupnosti bez opakování, kde lze každý z n prvků použít maximálně jednou. Druhou variantou jsou variace s opakováním, kde se prvky mohou v posloupnosti vyskytovat vícekrát. Tato kalkulačka umožňuje výpočet obou typů.

Variace a kombinace

Variace se často pletou s kombinacemi. Například v běžné řeči se mluví o „kombinaci“ čísel k zámku nebo trezoru. No, přesněji řečeno, číselný kód k zámku je nejčastěji variací s opakováním.

Rozdíl mezi variacemi a kombinacemi, jak jsou definovány v matematice, spočívá v tom, že u variací záleží na pořadí prvků, proto mluvíme o uspořádáních a posloupnostech. Naopak u kombinací na pořadí nezáleží, takže je přesnější mluvit o výběru prvků a podmnožinách.

Kód k zámku je posloupnost, u které na pořadí číslic rozhodně záleží. Označovat jej jako „kombinaci“ je sice v běžné řeči normální, ale z matematického hlediska to správně není.

Pokud vás více než variace zajímají právě kombinace, vyzkoušejte naši Kalkulačku kombinací.

Vzorec pro variace

Pojďme se nejprve podívat na variace, ve kterých není povoleno opakování, tedy na k-členné variace bez opakování z n prvků. Pokud tvoříte posloupnosti o délce k z n prvků, je počet všech možných různých posloupností dán vzorcem:

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} .

n! ve vzorci znamená faktoriál čísla n. Kromě značení $P (n, k),$ používají některé zdroje také jiné symboly:

P (n, k) = {}_{n}P_{k} = V (k, n) = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Na druhou stranu k-členné variace s opakováním z n prvků (tedy ty, kde prvky po výběru vracíme a můžeme je zvolit znovu) používají vzorec

U (n, k) = n^{k} .

Jde o jednoduché umocnění čísla n na k.

Z technických důvodů používá naše kalkulačka symboly běžné v anglických zdrojích, tj. $P (n, k)$ pro označení permutací a variací bez opakování a $U (n, k)$ pro označení permutací a variací s opakováním.

Vysvětlení vzorce variací

Představte si, že tvoříme posloupnost o délce k z n prvků. Na první místo můžeme dosadit jakýkoliv z n prvků. U variací bez opakování se vybraný prvek z dalšího výběru vyřadí, takže pro druhé místo zbývá už jen $n - 1$ prvků. Následně se vyřadí i druhý zvolený prvek a pro třetí místo máme k dispozici pouze $n - 2$ prvků. Tento proces pokračuje, dokud nezaplníme celou posloupnost, což vede k následujícímu vzorci:

P (n, k) = \underset{k činitelů}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Tento vzorec pak můžeme vynásobit a vydělit stejným číslem, aniž by se změnila jeho hodnota. Šikovně zvolíme $(n - k)!,$ a tím získáme:

P (n, k) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

U variací s opakováním je situace zpočátku podobná: pro první místo v posloupnosti můžeme vybrat jeden z n prvků. Protože se ale prvky mohou opakovat, vybraný prvek se z nabídky nevyřazuje, takže pro druhé místo máme stále na výběr z n prvků. Totéž platí pro třetí místo a tak dále. Takových voleb provedeme celkem k, takže výsledný vzorec vypadá takto:

U (n, k) = \underset{k činitelů}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Příklady variací

Příklad: Kolik existuje variací jednoho balíčku karet?

Typický balíček má 52 karet. Jaký je počet všech možných uspořádání těchto karet? Celkový počet prvků je 52, tedy n = 52. Délka posloupnosti – počet karet, které chceme zahrnout do našeho uspořádání – je rovněž 52, protože chceme seřadit celý balíček. Proto k = 52. Opakování zde není možné, protože každá karta se v balíčku vyskytuje právě jednou. Nyní máme vše potřebné pro dosazení do vzorce:

P (52, 52) = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Toto je velmi velké číslo. Přesný výsledek můžete získat pomocí naší Kalkulačky variací a permutací. Protože v tomto případě jde o permutaci, tj. o variaci, ve které je rozsah výběru roven celkovému počtu prvků, tedy k = n, vzorec se zjednoduší na prostý faktoriál. Přesný výsledek tak získáte i výpočtem faktoriálu čísla 52.

Příklad: Kolik třípísmenných slov lze vytvořit ze slova BRNO?

Máme čtyři různá písmena a chceme zjistit, kolik různých třípísmenných uspořádání z nich lze vytvořit. Každé písmeno můžeme opět použít pouze jednou, takže podle vzorce $P (4, 3) = 24 .$ Zde je všech 24 variací:

BRN

BRO

BNR

BNO

BOR

BON

RBN

RBO

RNB

RNO

ROB

RON

NBR

NBO

NRB

NRO

NOB

NOR

OBR

OBN

ORB

ORN

ONB

ONR

Příklad: Kolika způsoby lze rozdělit 7 různobarevných míčků mezi 4 děti?

V tomto příkladu chceme dát po jednom míčku každému ze čtyř dětí: Aničce, Barče, Cyrilovi a Danovi. Máme sedm míčků: bílý, oranžový, modrý, zelený, žlutý, fialový a hnědý. Kolika způsoby lze každému dítěti dát jeden míček? Opět nám pomohou variace. Protože nemůžeme dát stejný míček více než jednomu dítěti, použijeme variace bez opakování: $P (7, 4) = 840 .$

Takže existuje 840 způsobů, jak míčky mezi děti rozdělit.

Příklad: Ve třídě je 20 dětí. Kolika způsoby můžeme z nich vybrat předsedu, místopředsedu a pokladníka?

Na pozici předsedy máme 20 kandidátů. Vybereme jednoho z nich. Jakmile je předseda zvolen, zbývá 19 dětí, které se mohou stát místopředsedou. A konečně, když už máme předsedu i místopředsedu, zbývá 18 kandidátů na funkci pokladníka. Tato čísla mezi sebou vynásobíme a získáme $20 \times 19 \times 18 = 6840$ možných způsobů, jak do těchto funkcí vybrat tři žáky.

Obecně platí, že kdykoliv máme k různých pozic, které je třeba obsadit skupinou n kandidátů, existuje přesně $P (n, k)$ způsobů, jak to udělat. V tomto konkrétním případě máme $P (20, 3) = 6840 .$

Příklad: Kolik existuje „kombinací“ u 4místného zámku, pokud na něm nejsou nuly?

Nejde o typický zámek, protože číslice jsou v rozsahu od 1 do 9 namísto od 0 do 9. Počet prvků je tedy n = 9. Délka posloupnosti je k = 4. Každou číslici lze použít kolikrát chceme, takže v tomto případě použijeme variace s opakováním. Vzorec je:

U (n, k) = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Existuje 6 561 možných „kombinací“. Pokud by vyzkoušení každé z nich trvalo jednu sekundu, měli bychom být schopni zámek otevřít (prověřením všech možností) za méně než dvě hodiny. Všimněte si, že slovo „kombinace“ použité v této otázce není z matematického hlediska správné. Protože na pořadí číslic záleží, měli bychom zde mluvit o variacích s opakováním, nikoliv o kombinacích.

Příklad: Kolik existuje hesel?

Odpověď závisí na délce hesla a počtu znaků, které máme k dispozici. Jako příklad si vypočítáme počet hesel o délce 10 znaků. K dispozici máme malá i velká písmena latinky (od a do z a od A do Z, celkem to je 52 písmen), číslice (0 až 9) a speciální znaky (těch je 30):

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

Celkem tedy máme 52 + 10 + 30 = 92 různých znaků. Protože každý znak můžeme použít kolikrát chceme, počítáme k-členné variace s opakováním z n prvků. Vzorec je:

U (n, k) = n^{k} = 92^{10} = 43 438 845 422 363 213 824 .

heslo uhodl pouhým vyzkoušením všech možných „kombinací“ – tedy za předpokladu, že jste znaky zvolili náhodně a nevymysleli něco jednoduchého, jako je například qwert12345 nebo Hesl0!.

Variace v Pythonu

Pokud si chcete spočítat počet variací v programovacím jazyce, jako je Python, můžete k vytvoření vlastní funkce použít vzorec pro variace:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

Podobně můžete použít vzorec pro variace s opakováním:

def nUk(n, k):
	return n**k

Pokud chcete generovat všechny variace bez opakování, můžete napsat:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

A pro variace s opakováním:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Exponenciální kalkulačka pro velká čísla

Vzhledem k tomu, že vzorec pro variace s opakováním je $U (n, k) = n^{k},$ můžete tuto Kalkulačku variací a permutací použít také jako exponenciální kalkulačku k výpočtu mocniny čísla. To se může hodit zejména v případech, kdy je výsledek obrovský (například můžete snadno získat přesnou hodnotu 3¹⁰⁰⁰), protože běžné kalkulačky si s takto velkými čísly neporadí. Stačí zaškrtnout políčko „Povolit opakování“, zadat základ mocniny jako n a exponent jako k. Použít lze pouze nezáporná celá čísla.

Jak používat Kalkulačku variací a permutací

Pro použití této kalkulačky zadejte počet prvků, ze kterých vybíráte, do pole označeného písmenem n. Rozsah výběru, tedy délku posloupnosti, zadejte do pole níže (označeného k nebo r). Pokud vás zajímají variace s opakováním, zaškrtněte políčko „Povolit opakování“. Poté klikněte na tlačítko „Vypočítat“ pro provedení výpočtu, nebo na tlačítko „Smazat“ pro zadání nových hodnot.

Výsledek se zobrazí níže v poli „Výsledek“. Pokud je výsledkem malé číslo, zobrazí se v jednom řádku. Větší čísla budou zobrazena dvěma způsoby: nahoře uvidíte přibližnou hodnotu ve vědeckém zápisu a pod ní přesné číslo. Pokud během výpočtu dojde k chybě, zobrazí se místo výsledku chybové hlášení.

Do kalkulačky lze zadávat pouze nezáporná celá čísla. U variací bez opakování musí zadané hodnoty navíc splňovat podmínku k ≤ n. U variací s opakováním nesmí být současně obě čísla nula, protože hodnota 0⁰ je neurčitý výraz. Horní hranice pro zadávané hodnoty není omezena. Měli byste být schopni snadno získat i velmi vysoká čísla, například hodnotu pro n = 8000000000 a k = 1000 (což odpovídá počtu způsobů, jak vybrat 1 000 nejbohatších lidí z celkové světové populace). V závislosti na konfiguraci vašeho systému můžete získat i mnohem větší výsledky. Výpočet extrémně velkých čísel však může trvat delší dobu, a pokud výpočty přesáhnou kapacitu vašeho zařízení, může dojít ke spadnutí stránky.

Můžete si vybrat základ soustavy, ve kterém chcete výsledky zobrazit. Výchozí hodnota je 10; to znamená, že výsledky budou zobrazeny v desítkové soustavě. Jako základ soustavy můžete použít libovolné celé číslo od 2 do 36. Ovšem ve zvoleném základu bude zobrazen pouze výsledek. Hodnoty, které zadáváte jako n a k, jsou vždy chápány tak, jako by byly zapsány v desítkové soustavě.

Následně můžete: 1) zkopírovat výsledek do schránky, 2) stáhnout výsledek jako soubor, 3) vytisknout výsledek, 4) zkopírovat odkaz na výsledek do schránky a 5) vymazat pole „Výsledek“. Pro aktivaci některé z těchto možností použijte příslušnou ikonu nad polem „Výsledek“.

Citování nebo vložení tohoto obsahu

Tento web můžete používat zdarma, a to i pro komerční účely, pokud tento web uvedete jako zdroj. Pokud ho citujete ve vědeckém textu, můžete použít následující citaci:

Narkiewicz A., Kalkulačka variací a permutací, https://minesweeper.us/hledání-min/kalkulačka-variací-a-permutací/, citováno 2026-05-04.

Pokud chcete citovat tento web na internetu, můžete na něj odkázat pomocí hlavní URL (https://minesweeper.us/hledání-min/kalkulačka-variací-a-permutací/) nebo, pokud chcete odkázat na konkrétní výsledek, použijte tlačítko „Zkopírovat odkaz do schránky“.

Tuto stránku můžete také vložit na svůj web pomocí prvku iframe. Pokud chcete, aby stránka zobrazovala pouze kalkulačku a skryla veškerý ostatní obsah (menu, článek atd.), můžete v atributu src použít následující URL: https://minesweeper.us/hledání-min/kalkulačka-variací-a-permutací/?iframe=1.

Uveďte, prosím, na svém webu odkaz na tuto stránku formou citace s prokliknutelným odkazem. Můžete nám také dát vědět, že jste naši aplikaci vložili na svůj web, zasláním e-mailu na contact@simiade.com. Díky tomu vás budeme moci informovat o případných změnách v naší aplikaci, které by mohly vyžadovat, aby webmasteři upravili způsob jejího zobrazení na svých stránkách.

Zdroje

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Kontaktujte nás

Pokud máte jakékoli dotazy, připomínky nebo návrhy, můžete nám svou zpětnou vazbu zanechat zde:

Nebo nás můžete kontaktovat poštou:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polsko
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/cs/