Permutations- und Variationsrechner

Um die Anzahl der Variationen zu berechnen, geben Sie die Anzahl der Optionen (n) und die Anzahl der Auswahlen (in der Regel mit k oder r bezeichnet) ein und klicken Sie auf das Kontrollkästchen „Wiederholung zulassen“, falls Optionen mehrmals ausgewählt werden dürfen. Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“, und das Ergebnis wird unten angezeigt.

Anzahl der Elemente (n): Länge der Folge (k oder r): Wiederholung zulassen: Basis:

Ergebnis:

2026-07-29, von

Adam hat einen Doktortitel in Wirtschaftswissenschaften. Er ist für das Verfassen von Fachartikeln zuständig und leitet die Entwicklung von Online-Anwendungen. Sie finden ihn unter:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Was sind Permutationen und Variationen?

Eine Permutation ist eine Änderung der Reihenfolge der Elemente in einer Folge. Die Anzahl der Permutationen gibt an, auf wie viele verschiedene Arten eine Folge von Elementen neu angeordnet werden kann.

Eine Variation von k aus n Objekten ist eine Möglichkeit, k Elemente aus einer größeren Menge von n Elementen anzuordnen. Der Permutations- und Variationsrechner berechnet die Anzahl solcher Anordnungen für einen gegebenen Wert von n und k. In einigen Quellen wird anstelle von k der Buchstabe r verwendet – beide Buchstaben bedeuten dasselbe.

Es gibt zwei Arten von Variationen von k aus n. Erstens können es Folgen ohne Wiederholung sein; das heißt, jedes der n Elemente darf in einer Folge höchstens einmal vorkommen. Zweitens: Wenn die Elemente innerhalb einer Folge mehrfach vorkommen dürfen, spricht man von Variationen von k aus n mit Wiederholung. Mit diesem Rechner können Sie beide Arten von Variationen berechnen.

Variationen und Kombinationen

Variationen werden oft mit Kombinationen verwechselt. Im Alltagssprachgebrauch spricht man beispielsweise häufig von Zahlenkombinationen, mit denen sich ein Vorhängeschloss oder ein Tresor öffnen lässt. Genau genommen handelt es sich bei einer Zahlenfolge, die ein Vorhängeschloss öffnet, jedoch in der Regel um eine Variation mit Wiederholung.

Der Unterschied zwischen Variationen und Permutationen auf der einen Seite und Kombinationen auf der anderen, wie sie in der Mathematik definiert sind, besteht darin, dass bei Variationen und Permutationen die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielt, weshalb wir von Anordnungen und Folgen sprechen. Bei Kombinationen hingegen spielt die Reihenfolge keine Rolle, weshalb es angemessener ist, von der Auswahl von Elementen und Teilmengen von Elementen zu sprechen.

Ein Code zum Öffnen eines Schlosses ist eine Zahlenfolge, bei der die Reihenfolge der Ziffern durchaus eine Rolle spielt; daher ist die Bezeichnung „Kombination“ – obwohl sie im Alltagssprachgebrauch üblich ist – mathematisch gesehen nicht korrekt.

Falls Sie sich eher für Kombinationen als für Variationen interessieren, besuchen Sie bitte unseren Kombinationsrechner.

Die Formel für Variationen

Betrachten wir zunächst Variationen, bei denen Wiederholung nicht zulässig ist, d. h. die Variationen ohne Wiederholung von k aus n. Wenn Sie aus n Elementen Folgen der Länge k bilden, ergibt sich die Anzahl der verschiedenen möglichen Folgen aus der Formel

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} .

n! in der Formel steht für die Fakultät von n. Neben $P (n, k)$ werden in einigen Quellen auch andere Symbole verwendet:

P (n, k) = {}_{n}P_{k} = P_{n, k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Andererseits gilt für Variationen mit Wiederholung von k aus n die Formel

U (n, k) = n^{k} .

Dies entspricht einfach n hoch k.

Die Variationsformel erklärt

Stellen Sie sich vor, wir müssen eine Folge der Länge k aus n Elementen bilden. Wir können jedes der n Elemente an den Anfang der Folge setzen. Bei Variationen ohne Wiederholung wird das ausgewählte Element aus der Menge entfernt, sodass für die zweite Position nur noch $n - 1$ Elemente übrig bleiben. Anschließend wird auch das zweite Element, das wir auswählen, aus der verfügbaren Menge entfernt, und es stehen nur noch $n - 2$ Elemente zur Verfügung, die an die dritte Stelle gesetzt werden können. Dieser Vorgang wird fortgesetzt, bis die gesamte Folge gefüllt ist, was zu folgender Formel führt:

P (n, k) = \underset{k Faktoren}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Wir können diese Formel dann mit derselben Zahl multiplizieren und dividieren, ohne ihren Wert zu verändern. Wir wählen klugerweise $(n - k)!,$ und erhalten

P (n, k) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

Bei Variationen mit Wiederholung ist die Situation zunächst ähnlich: Wir können eines der n Elemente für die erste Position in der Folge auswählen. Da jedoch Wiederholung zulässig ist, wird dieses Element nicht aus der verfügbaren Menge entfernt, sodass wir für die zweite Stelle in der Folge immer noch n Elemente zur Auswahl haben. Dasselbe gilt für die dritte Stelle und so weiter. Wir treffen k solcher Auswahlen, und die endgültige Formel lautet

U (n, k) = \underset{k Faktoren}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Beispiele für Variationen

Beispiel: Wie viele Permutationen gibt es für ein Kartenspiel?

Ein typisches Kartenspiel besteht aus 52 Karten. Wie viele verschiedene Anordnungen dieser Karten gibt es? Die Gesamtzahl der verfügbaren Elemente beträgt 52, also ist n = 52. Die Länge der Folge, d. h. die Anzahl der Karten, die wir in unsere Anordnung aufnehmen möchten, beträgt ebenfalls 52, da wir die Anordnungen des gesamten Kartenspiels ermitteln möchten. Daher ist k = 52. Es gibt keine Wiederholung, da jede Karte in der Anordnung genau einmal vorkommt. Da wir das wissen, haben wir alles, was wir brauchen, um die Formel anzuwenden:

P (52, 52) = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Das ist eine sehr große Zahl. Die genaue Lösung erhalten Sie mit unserem Permutations- und Variations rechner. Da es sich hierbei um eine Permutation handelt, also um eine spezielle Form der Variation, bei der der Stichprobenumfang der Gesamtzahl der Elemente entspricht (k = n), vereinfacht sich die Formel zu einer einfachen Fakultät. Sie können das exakte Ergebnis auch durch Berechnung der Fakultät von 52 erhalten.

Beispiel: Wie viele Wörter mit drei Buchstaben kann ich aus dem Wort „HAUS“ bilden?

Wir haben vier verschiedene Buchstaben und möchten herausfinden, wie viele verschiedene Dreierkombinationen wir aus diesen Buchstaben bilden können. Auch hier darf jeder Buchstabe nur einmal verwendet werden, daher lautet die Formel $P (4, 3) = 24 .$ Hier sind alle 24 Varianten:

HAU

HAS

HUA

HUS

HSA

HSU

AHU

AHS

AUH

AUS

ASH

ASU

UHA

UHS

UAH

UAS

USH

USA

SHA

SHU

SAH

SUH

SUA

Beispiel: Auf wie viele Arten kann ich 7 Bälle in verschiedenen Farben an 4 Kinder verteilen?

In diesem Beispiel möchten wir jedem der Kinder einen Ball geben: Lilou, Sue, Marley und Noah. Wir haben sieben Bälle: einen weißen, einen orangefarbenen, einen blauen, einen grünen, einen gelben, einen violetten und einen braunen. Auf wie viele verschiedene Arten kann man jedem Kind einen Ball zuweisen? Auch hier kommen uns Variationen zu Hilfe. Da wir nicht mehr als einem Kind denselben Ball geben können, verwenden wir Variationen ohne Wiederholung: $P (7, 4) = 840 .$

Es gibt also 840 Möglichkeiten, die Bälle unter den Kindern zu verteilen.

Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einem Verein mit 20 Mitgliedern den Vorsitzenden, den Schriftführer und den Schatzmeister zu wählen?

Es gibt 20 Mitglieder, die zum Vorsitzenden gewählt werden können. Wählen wir eine Person aus. Nachdem der Vorsitzende feststeht, bleiben noch 19 Mitglieder, die das Amt des Schriftführers übernehmen können. Schließlich, nachdem sowohl der Vorsitzende als auch der Schriftführer gewählt wurden, kommen noch 18 Mitglieder für das Amt des Schatzmeisters in Frage. Wir multiplizieren diese Zahlen und erhalten $20 \times 19 \times 18 = 6840$ mögliche Arten, die drei Ämter zu besetzen.

Im Allgemeinen gilt: Wenn wir k verschiedene Stellen zu besetzen haben und über eine Gruppe von n Bewerbern verfügen, gibt es genau $P (n, k)$ Möglichkeiten, dies zu tun. In diesem speziellen Fall gilt: $P (20, 3) = 6840 .$

Beispiel: Wie viele „Kombinationen“ gibt es bei einem vierstelligen Zahlenschloss, wenn keine Nullen vorkommen?

Dies ist kein gewöhnliches Zahlenschloss, da die Zahlen von 1 bis 9 statt von 0 bis 9 reichen. Die Anzahl der Elemente beträgt somit n = 9. Die Länge der Folge beträgt k = 4. Jede Ziffer kann beliebig oft verwendet werden, daher sprechen wir in diesem Fall von Variationen mit Wiederholung. Die Formel lautet

U (n, k) = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Es gibt 6561 mögliche „Kombinationen“. Wenn die Überprüfung jeder Kombination eine Sekunde dauert, sollten wir das Schloss in weniger als zwei Stunden öffnen können, indem wir alle Kombinationen durchprobieren. Beachten Sie, dass der in dieser Frage verwendete Begriff „Kombinationen“ streng genommen nicht korrekt ist. Da die Reihenfolge der Zahlen eine Rolle spielt, sollten wir hier von Variationen mit Wiederholung sprechen, nicht von Kombinationen.

Beispiel: Wie viele Passwörter gibt es?

Die Antwort hängt von der Länge der Passwörter und der Anzahl der verfügbaren Zeichen ab. Als Beispiel werden wir die Anzahl der Passwörter berechnen, die 10 Zeichen lang sind. Uns stehen zur Verfügung sowohl kleine als auch große lateinische Buchstaben (von a bis z und von A bis Z – insgesamt 52 Buchstaben), Zahlen (von 0 bis 9) sowie Sonderzeichen (insgesamt 30):

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

Insgesamt haben wir 52 + 10 + 30 = 92 verschiedene Zeichen. Wir können jedes Zeichen beliebig oft verwenden, daher zählen wir die Variationen mit Wiederholung von k aus n. Die Formel lautet

U (n, k) = n^{k} = 92^{10} = 43 438 845 422 363 213 824 .

Das ist eine sehr große Anzahl einzigartiger Passwörter. Es ist so gut wie ausgeschlossen, dass jemand Ihr Passwort errät, indem er einfach alle möglichen „Kombinationen“ durchprobiert – vorausgesetzt, Sie haben die Zeichen zufällig ausgewählt und sich nicht etwas Einfaches ausgedacht, wie zum Beispiel „qwert12345“ oder „Password0!“.

Variationen in Python

Wenn Sie die Anzahl der Variationen in einer Programmiersprache wie Python berechnen möchten, können Sie die Variationsformel verwenden, um eine eigene Funktion zu erstellen:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

Ebenso können Sie die Formel für Variationen mit Wiederholung verwenden:

def nUk(n, k):
	return n**k

Wenn Sie alle Variationen ohne Wiederholung generieren wollen, schreiben Sie:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

Und für Variationen mit Wiederholung:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Exponentialrechner für große Zahlen

Da die Formel für Variationen mit Wiederholung $U (n, k) = n^{k}$ lautet, können Sie diesen Permutations- und Variationsrechner als Exponentialrechner verwenden, um die Potenz einer Zahl zu berechnen. Dies kann praktisch sein, insbesondere wenn das Ergebnis sehr groß ist (so erhalten Sie beispielsweise problemlos den genauen Wert von 3¹⁰⁰⁰), denn herkömmliche Taschenrechner kommen mit großen Ergebnissen nicht gut zurecht. Klicken Sie auf das Kontrollkästchen „Wiederholung zulassen“ und geben Sie die potenzierte Zahl als n und den Exponenten als k ein. Sie können nur nichtnegative ganze Zahlen verwenden.

So verwenden Sie den Permutations- und Variationsrechner

Um diesen Rechner zu verwenden, geben Sie die Anzahl der zur Auswahl stehenden Elemente in das mit dem Buchstaben n gekennzeichnete Feld ein. Der Stichprobenumfang, d. h. die Länge der Folge, sollte in das untenstehende Feld (bezeichnet als k oder r) eingegeben werden. Wenn Sie an Variationen mit Wiederholung interessiert sind, klicken Sie auf das Kontrollkästchen „Wiederholung zulassen“. Klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche „Berechnen“, um die Berechnungen durchzuführen, oder auf die Schaltfläche „Löschen“, um die Werte erneut einzugeben.

Das Ergebnis wird im Feld „Ergebnis“ unten angezeigt. Ist das Ergebnis klein, wird es in einer einzigen Zeile angezeigt. Größere Zahlen werden auf zwei Arten dargestellt: Oben wird die Näherung in wissenschaftlicher Notation angezeigt, unten die genaue Zahl. Sollte bei den Berechnungen ein Fehler auftreten, wird dieser anstelle des Ergebnisses angezeigt.

Der Rechner akzeptiert nur nichtnegative ganze Zahlen. Bei Variationen ohne Wiederholung müssen die eingegebenen Zahlen zusätzlich die Bedingung k ≤ n erfüllen. Bei Variationen mit Wiederholung können nicht beide Zahlen gleichzeitig Null sein, da der Wert von 0⁰ unbestimmt ist. Es gibt keine Obergrenze für die von Ihnen eingegebenen Werte. Sie sollten in der Lage sein, große Zahlen leicht zu ermitteln, beispielsweise eine für n = 8000000000 und k = 1000 (z. B. die Anzahl der Möglichkeiten, 1 000 Menschen aus der Weltbevölkerung auszuwählen). Je nach Konfiguration Ihres Systems können auch deutlich höhere Ergebnisse erzielt werden. Die Berechnung eines umfangreichen Ergebnisses kann jedoch lange dauern, oder wenn die Berechnungen die Kapazität Ihres Geräts übersteigen, kann es zu einem Absturz der Website kommen.

Sie können die Basis auswählen, in der die Ergebnisse angezeigt werden sollen. Der Standardwert ist 10; das heißt, die Ergebnisse werden im Dezimalsystem angezeigt. Als Basis können Sie jede ganze Zahl zwischen 2 und 36 verwenden. Nur die Ergebnisse werden jedoch in der ausgewählten Basis angezeigt. Die Werte, die Sie als n und k eingeben, werden stets so behandelt, als wären sie im Dezimalsystem geschrieben.

Sie haben folgende Möglichkeiten: 1) das Ergebnis in die Zwischenablage zu kopieren, 2) das Ergebnis als Datei herunterzuladen, 3) das Ergebnis auszudrucken, 4) den Link zum Ergebnis in die Zwischenablage zu kopieren und 5) das Feld „Ergebnis“ zu löschen. Um eine dieser Optionen zu aktivieren, verwenden Sie das entsprechende Symbol oberhalb des Feldes „Ergebnis“.

Diesen Inhalt zitieren oder einbetten

Sie können diese Website kostenlos nutzen, auch für kommerzielle Zwecke, sofern Sie diese Website als Quelle angeben. Wenn Sie in einem wissenschaftlichen Text darauf verweisen, können Sie folgende Quellenangabe verwenden:

Narkiewicz A., Permutations- und Variationsrechner, https://minesweeper.us/de/permutations-und-variationsrechner/, abgerufen am 2026-07-23.

Um diese Website im Internet zu zitieren, können Sie über die Haupt-URL (https://minesweeper.us/de/permutations-und-variationsrechner/) darauf verlinken. Falls Sie auf ein bestimmtes Ergebnis verweisen möchten, können Sie die Schaltfläche „Link in die Zwischenablage kopieren“ verwenden.

Sie können diese Seite auch mithilfe eines iframe-Elements in Ihre Website einbinden. Wenn Sie möchten, dass auf der Seite nur der Rechner angezeigt und der übrige Inhalt (Menüs, Artikel usw.) ausgeblendet wird, können Sie die folgende URL in Ihrem src-Attribut verwenden: https://minesweeper.us/de/permutations-und-variationsrechner/?iframe=1.

Bitte verweisen Sie auf Ihrer Website auf diese Seite, indem Sie einen klickbaren Link einfügen. Sie können uns auch gerne per E-Mail an contact@simiade.com mitteilen, dass Sie unsere App auf Ihrer Website eingebettet haben. Dann können wir Sie informieren, falls wir Änderungen an unserer App vornehmen, die es erforderlich machen könnten, dass Webmaster die Darstellung der App auf ihren Websites anpassen.

Literaturverzeichnis

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Kontaktieren Sie uns

Wenn Sie Fragen, Anmerkungen oder Vorschläge haben, können Sie uns hier Ihr Feedback hinterlassen:

Oder Sie können uns auf dem Postweg kontaktieren:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polen
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/de/