Fakultätsrechner

Um eine Fakultät zu berechnen, geben Sie eine Zahl in das Feld „Fakultät von“ ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis wird im Feld „Ergebnis“ angezeigt.

Fakultät von:

Basis:

Ergebnis:

2026-07-26, von

Adam hat einen Doktortitel in Wirtschaftswissenschaften. Er ist für das Verfassen von Fachartikeln zuständig und leitet die Entwicklung von Online-Anwendungen. Sie finden ihn unter:
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Was ist eine Fakultät?

Um die Fakultät (in Österreich „Faktorielle“) einer Zahl zu berechnen, multiplizieren Sie alle ganzen Zahlen von eins bis zu dieser Zahl. Zur Darstellung einer Fakultät verwenden Sie ein Ausrufezeichen – zum Beispiel

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24,

was man als „Fakultät von vier ist 24“ lesen kann.

Fakultäten können nur mit nichtnegativen ganzen Zahlen (größer oder gleich 0) verwendet werden. Der Einfachheit halber haben Mathematiker festgelegt, dass $0! = 1$ gilt, das heißt, die Fakultät von Null ist gleich Eins.

Die Fakultätsformel

Die Fakultät einer gegebenen Zahl n können Sie mit einer der folgenden Formeln berechnen:

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

Jede dieser Formeln führt zum gleichen Ergebnis. Formel (1) ergibt sich aus der Definition (Multiplikation aller ganzen Zahlen von eins bis n). Formel (2) ist eine kürzere Version von Formel (1), die mithilfe des Produktzeichens geschrieben ist. Formel (3) ist eine rekursive Formel, die wir wie folgt lesen können: „Fakultät von n ist gleich n mal Fakultät von n – 1“.

Fakultäten in der Praxis – Beispiele

Fakultäten haben viele Anwendungsmöglichkeiten. Sie sind beispielsweise in der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitstheorie beliebt, da sie uns Aufschluss darüber geben, auf wie viele verschiedene Arten wir eine Sammlung unterschiedlicher Objekte anordnen können. Insbesondere werden Fakultäten in den Formeln für Variationen, Permutationen und Kombinationen verwendet. Sie finden aber auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik Anwendung.

Beispiel: Auf wie viele Arten lassen sich 3 Objekte anordnen?

Nehmen wir einmal an, wir haben drei Gegenstände: einen Apfel, eine Banane und eine Clementine. Wir müssen entscheiden, in welcher Reihenfolge wir sie essen. Wir haben drei Möglichkeiten, was wir zuerst essen können. Sobald wir die erste Frucht gegessen haben, bleiben zwei Möglichkeiten, was wir als Nächstes essen können. Wenn nur noch eine Frucht übrig ist, haben wir keine andere Wahl – wir müssen essen, was übrig ist. Daher können wir die Früchte auf $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ verschiedene Arten anordnen:

Apfel, Banane, Clementine

Apfel, Clementine, Banane

Banane, Apfel, Clementine

Banane, Clementine, Apfel

Clementine, Apfel, Banane

Clementine, Banane, Apfel

Beispiel: Auf wie viele Arten lassen sich 4 Zahlen anordnen?

Nehmen wir an, wir haben vier Zahlen zwischen 1 und 4. Auf wie viele verschiedene Arten können wir sie anordnen? Die Antwort lautet $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ . Hier sind alle 24 Möglichkeiten:

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

Das funktioniert nur, wenn wir vier verschiedene Zahlen haben. Wenn sich einige der Zahlen wiederholen, wir haben beispielsweise 3, 5, 5 und 7, dann können wir nicht mehr einfach die Fakultät verwenden – die Formel wird komplizierter. Dies wird im folgenden Beispiel näher erläutert.

Beispiel: Auf wie viele Arten lassen sich 5 Buchstaben anordnen?

Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich die Buchstaben des Wortes „FAUST“ anordnen? Die Antwort lautet $5! = 120$ . Es gibt viele Möglichkeiten!

Diese einfache Formel funktioniert nur, wenn ein Wort keine doppelten Buchstaben enthält. Wenn Sie ein Wort mit mehrfach vorkommenden gleichen Buchstaben haben, müssen Sie die Fakultät der Wortlänge berechnen und diese für jeden Buchstaben durch die Fakultät seiner Wiederholungen dividieren. Das Wort „MISSISSIPPI“ besteht beispielsweise aus 11 Buchstaben, wobei die Buchstaben S und I jeweils viermal vorkommen, während P zweimal vorkommt. Daher lassen sich die Buchstaben dieses Wortes auf 34 650 verschiedene Arten anordnen:

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650 .

Warum müssen wir diese Fakultäten in den Nenner setzen? Wenn beispielsweise zwei der vier Buchstaben S ihre Plätze tauschen, ändert sich das Wort nicht. Da es vier Buchstaben S gibt, gibt es 4! Möglichkeiten, sie neu anzuordnen. Wir möchten all diese Umstellungen vermeiden, da sie zu identischen Wörtern führen. Wir tun dies, indem wir die Hauptfakultät durch 4! dividieren.

Beispiel: Auf wie viele Arten kann man ein Kartenspiel mit 52 Karten mischen?

In diesem letzten Beispiel werden wir herausfinden, auf wie viele verschiedene Arten man ein Kartenspiel mit 52 Karten anordnen kann. Dies ist offensichtlich die Fakultät von 52, was eine sehr große Zahl ist: 52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 oder ungefähr $52! \approx 8,066 \times 10^{67}$ .

Das bedeutet, dass es, wenn Sie die Karten gut mischen, praktisch keine Chance gibt, jemals zweimal auf dieselbe Anordnung zu stoßen.

Was ist die Fakultät von ...

Hier sind einige bekannte Fakultäten:

Frage	Antwort
Was ist die Fakultät von 0?	Die Fakultät von 0 ist 1.
Was ist die Fakultät von 1?	Die Fakultät von 1 ist 1.
Was ist die Fakultät von 2?	Die Fakultät von 2 ist 2.
Was ist die Fakultät von 3?	Die Fakultät von 3 ist 6.
Was ist die Fakultät von 4?	Die Fakultät von 4 ist 24.
Was ist die Fakultät von 5?	Die Fakultät von 5 ist 120.
Was ist die Fakultät von 6?	Die Fakultät von 6 ist 720.
Was ist die Fakultät von 7?	Die Fakultät von 7 ist 5 040.
Was ist die Fakultät von 8?	Die Fakultät von 8 ist 40 320.
Was ist die Fakultät von 9?	Die Fakultät von 9 ist 362 880.
Was ist die Fakultät von 10?	Die Fakultät von 10 ist 3 628 800.
Was ist die Fakultät von 52?	Die Fakultät von 52 ist 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.
Was ist die Fakultät von 100?	Die Fakultät von 100 ist 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

Die Fakultät von 100 lässt sich mithilfe der wissenschaftlichen Notation näherungsweise ausdrücken: $100! \approx 9,333 \times 10^{157}$ .

Fakultät in Python

Wenn Sie eine Programmiersprache wie Python verwenden, können Sie eine integrierte Funktion nutzen:

import math
math.factorial(n)

Wenn Sie jedoch Ihre eigene Fakultätsfunktion programmieren möchten, können Sie dies mithilfe von Rekursion tun:

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

Oder Sie können Iterationen verwenden:

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

Fakultät einer negativen Zahl

Die Fakultät ist nur für nichtnegative ganze Zahlen definiert. Es gab zahlreiche Versuche, die Fakultät so zu verallgemeinern, dass sie für reelle und komplexe Zahlen gilt. Es herrscht jedoch Einigkeit darüber, dass die Fakultät einer negativen Zahl undefiniert bleiben sollte. Beispielsweise verallgemeinert die Gammafunktion die Fakultät auf alle komplexen Zahlen mit Ausnahme von … negativen ganzen Zahlen.

Fakultäts-Approximation

Das Multiplizieren aller ganzen Zahlen bis n kann zeitaufwendig sein, insbesondere wenn n groß ist; daher haben Mathematiker Formeln entwickelt, mit denen sich Fakultäten schnell approximieren lassen. Im Folgenden sind zwei solcher bekannter Formeln aufgeführt.

Stirling-Formel

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

Ramanujan-Approximation

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

Wie verwendet man den Fakultätsrechner?

Um diesen Rechner zu verwenden, geben Sie eine Zahl in das Feld „Fakultät von“ ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“. Das Ergebnis wird unten angezeigt. Wenn das Ergebnis eine große Zahl ist, wird es auf zwei Arten angezeigt: Das kürzere, ungefähre Ergebnis in wissenschaftlicher Notation wird oben angezeigt, die exakte Lösung darunter.

Der Rechner funktioniert nur mit ganzen Zahlen, beginnend bei 0. Es gibt keine festgelegte Obergrenze – sofern Ihr Gerät und Ihr Webbrowser dies zulassen, können Sie eine beliebig große Zahl eingeben. Auf Desktop-Computern können einige Versionen von Chrome die Fakultät von 10 000 000 problemlos berechnen, während Firefox und Safari bei Zahlen über 60 000 Schwierigkeiten haben können.

Bei großen Zahlen kann die Berechnung des Ergebnisses mehrere Sekunden dauern, sogar noch länger, bevor sie auf Ihrem Bildschirm angezeigt wird. Sollte die eingegebene Zahl zu groß sein, wird eine Fehlermeldung angezeigt. Manchmal stürzt die Seite ab, anstatt die Meldung anzuzeigen, und muss neu geladen werden.

Es besteht die Möglichkeit, das Ergebnis auf einer anderen Basis als 10 anzuzeigen. Sie können eine beliebige Zahl zwischen 2 und 36 angeben. Wenn Sie beispielsweise ein Ergebnis im Hexadezimalformat erhalten möchten, geben Sie 16 ein. Es ist wichtig zu beachten, dass das in wissenschaftlicher Notation angezeigte Ergebnis sowohl in der Mantisse als auch im Exponenten die gewählte Basis verwendet. Die Eingabe hingegen wird stets im Dezimalsystem (Basis 10) gelesen und angezeigt.

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Narkiewicz A., Fakultätsrechner, https://minesweeper.us/de/fakultätsrechner/, abgerufen am 2026-07-13.

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Literaturverzeichnis

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

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