팩토리얼 계산기

팩토리얼을 계산하려면 "팩토리얼 계산" 필드에 숫자를 입력하고 "계산" 버튼을 누르세요. 결과는 "결과" 필드에 표시됩니다.

팩토리얼 계산:

진법:

결과:

2026-10-10, 작성

Adam은 경제학 박사 학위를 보유하고 있으며, 기술 관련 글을 작성하고 온라인 애플리케이션 개발을 총괄합니다. 다음에서 Adam을 만나볼 수 있습니다:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

팩토리얼이란 무엇인가요?

어떤 수의 팩토리얼을 구하려면 1부터 해당 수까지의 모든 정수를 곱합니다. 팩토리얼은 느낌표를 사용하여 표기합니다. 예를 들어

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 는

"4 팩토리얼은 24와 같습니다" 또는 "4의 팩토리얼은 24입니다"라고 읽을 수 있습니다.

팩토리얼은 음이 아닌 정수(0 이상인 정수)에만 사용할 수 있습니다. 편의를 위해 수학자들은 $0! = 1$ 로 정했으며, 즉 0의 팩토리얼은 1입니다.

팩토리얼 공식

주어진 수 n의 팩토리얼은 다음 공식 중 하나를 사용하여 나타낼 수 있습니다.

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

모든 공식은 동일한 결과를 제공합니다. 공식 (1)은 정의(1부터 n까지의 모든 정수를 곱하는 것)에서 도출됩니다. 공식 (2)는 곱셈 연산자를 사용하여 공식 (1)을 더 간결하게 나타낸 것입니다. 공식 (3)은 재귀 공식으로, "n의 팩토리얼은 n과 n − 1의 팩토리얼을 곱한 것과 같습니다"라고 읽을 수 있습니다.

팩토리얼의 활용 사례

팩토리얼은 다양한 분야에서 활용됩니다. 예를 들어, 서로 다른 여러 객체를 배열할 수 있는 경우의 수를 알려주기 때문에 조합론과 확률론에서 자주 사용됩니다. 구체적으로는 순열과 조합의 공식에 팩토리얼이 사용됩니다. 또한 수학의 여러 다른 분야에서도 활용됩니다.

예: 3개의 물체를 배열하는 방법은 몇 가지일까요?

사과, 바나나, 코코넛이라는 세 가지 과일이 있다고 가정해 보겠습니다. 이 과일을 어떤 순서로 먹을지 정해야 합니다. 처음에 어떤 과일을 먹을지 세 가지 중에서 선택할 수 있습니다. 첫 번째 과일을 먹고 나면 다음으로 먹을 수 있는 과일은 두 가지입니다. 과일이 하나만 남으면 더 이상 선택할 수 없으므로 남은 과일을 먹어야 합니다. 따라서 과일을 배열하는 방법은 $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 가지입니다.

사과, 바나나, 코코넛

사과, 코코넛, 바나나

바나나, 사과, 코코넛

바나나, 코코넛, 사과

코코넛, 사과, 바나나

코코넛, 바나나, 사과

예: 4개의 숫자를 배열하는 방법은 몇 가지일까요?

1부터 4까지의 네 숫자가 있다고 가정해 보겠습니다. 이 숫자들을 배열하는 방법은 몇 가지일까요? 답은 $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ 입니다. 가능한 24가지 경우는 다음과 같습니다.

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

이는 네 숫자가 모두 서로 다를 때만 적용됩니다. 숫자 중 일부가 반복되는 경우, 예를 들어 3, 5, 5, 7이 있다면 더 이상 단순히 팩토리얼을 사용할 수 없으며 공식이 더 복잡해집니다. 이에 대해서는 다음 예시에서 자세히 설명합니다.

예: 5개의 글자를 배열하는 방법은 몇 가지일까요?

"피아니스트"라는 단어의 글자를 배열하는 방법은 몇 가지일까요? 답은 $5! = 120$ 입니다. 정말 다양한 방법이 있습니다!

이 간단한 공식은 단어에 반복되는 글자가 없을 때만 사용할 수 있습니다. 반복되는 글자가 있는 경우에는 전체 글자 수의 팩토리얼을 구한 뒤, 각 글자의 반복 횟수에 대한 팩토리얼의 곱으로 나누어야 합니다. 예를 들어 "MISSISSIPPI"는 11개의 글자로 이루어져 있지만, S와 I는 각각 네 번씩, P는 두 번 나타납니다. 따라서 이 단어의 글자를 배열하는 방법은 34,650가지입니다.

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650

왜 이러한 팩토리얼을 분모에 넣어야 할까요? 예를 들어 네 개의 S 중 두 개의 위치를 서로 바꾸어도 단어는 달라지지 않습니다. S가 네 개이므로 S를 서로 배열하는 방법은 4!가지입니다. 이러한 배열은 결과적으로 동일한 단어를 만들기 때문에 모두 제외해야 합니다. 이를 위해 전체 팩토리얼을 4!로 나눕니다.

예: 52장 카드 한 벌을 섞는 방법은 몇 가지일까요?

마지막 예로 52장 카드 한 벌을 배열할 수 있는 방법이 몇 가지인지 알아보겠습니다. 이는 당연히 52의 팩토리얼이며, 매우 큰 수입니다. 52! = 80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000, 즉 대략 $52! \approx 8.066 \times 10^{67}$ 입니다.

즉, 카드를 잘 섞는다면 동일한 배열이 두 번 나올 가능성은 사실상 없다고 볼 수 있습니다.

숫자의 팩토리얼은 얼마일까요…?

다음은 자주 사용되는 팩토리얼입니다.

문제	답
0의 팩토리얼은 얼마인가요?	0의 팩토리얼은 1입니다.
1의 팩토리얼은 얼마인가요?	1의 팩토리얼은 1입니다.
2의 팩토리얼은 얼마인가요?	2의 팩토리얼은 2입니다.
3의 팩토리얼은 얼마인가요?	3의 팩토리얼은 6입니다.
4의 팩토리얼은 얼마인가요?	4의 팩토리얼은 24입니다.
5의 팩토리얼은 얼마인가요?	5의 팩토리얼은 120입니다.
6의 팩토리얼은 얼마인가요?	6의 팩토리얼은 720입니다.
7의 팩토리얼은 얼마인가요?	7의 팩토리얼은 5,040입니다.
8의 팩토리얼은 얼마인가요?	8의 팩토리얼은 40,320입니다.
9의 팩토리얼은 얼마인가요?	9의 팩토리얼은 362,880입니다.
10의 팩토리얼은 얼마인가요?	10의 팩토리얼은 3,628,800입니다.
52의 팩토리얼은 얼마인가요?	52의 팩토리얼은 80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000입니다.
100의 팩토리얼은 얼마인가요?	100의 팩토리얼은 93,326,215,443,944,152,681,699,238,856,266,700,490,715,968,264,381,621,468,592,963,895,217,599,993,229,915,608,941,463,976,156,518,286,253,697,920,827,223,758,251,185,210,916,864,000,000,000,000,000,000,000,000입니다.

The 100의 팩토리얼은 과학적 표기법을 사용하여 근사할 수 있습니다. $100! \approx 9.333 \times 10^{157}$ .

Python에서의 팩토리얼

Python과 같은 프로그래밍 언어를 사용한다면 내장 함수를 사용할 수 있습니다.

import math
math.factorial(n)

하지만 직접 팩토리얼 함수를 프로그래밍하려면 재귀를 사용하여 구현할 수 있습니다.

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

또는 반복을 사용할 수도 있습니다.

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

음수의 팩토리얼

팩토리얼은 음이 아닌 정수에 대해서만 정의됩니다. 팩토리얼을 실수와 복소수에서도 사용할 수 있도록 일반화하려는 많은 시도가 있었습니다. 그러나 음수의 팩토리얼은 정의되지 않은 상태로 두어야 한다는 것이 일반적인 견해입니다. 예를 들어 감마 함수는 음의 정수를 제외한 모든 복소수로 팩토리얼의 개념을 일반화합니다.

팩토리얼 근삿값

n까지의 모든 정수를 곱하는 것은 특히 n이 클 때 시간이 오래 걸릴 수 있습니다. 그래서 수학자들은 팩토리얼을 빠르게 근사할 수 있는 공식을 고안했습니다. 이러한 유명한 공식 두 가지를 아래에 소개합니다.

스털링 근사

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

라마누잔 근사

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

팩토리얼 계산기는 어떻게 사용하나요?

이 계산기를 사용하려면 "팩토리얼 계산" 필드에 숫자를 입력하고 "계산" 버튼을 누르세요. 결과는 아래에 표시됩니다. 결과가 큰 수인 경우 두 가지 방식으로 표시됩니다. 위에는 더 간결한 과학적 표기법의 근삿값이 표시되고, 아래에는 정확한 값이 표시됩니다.

계산기는 0 이상의 정수만 지원합니다. 미리 설정된 상한은 없으므로, 사용 중인 기기와 웹 브라우저에서 허용하는 경우 임의로 큰 숫자도 입력할 수 있습니다. 데스크톱 컴퓨터에서는 일부 Chrome 버전이 10,000,000의 팩토리얼도 쉽게 계산할 수 있지만, Firefox와 Safari에서는 60,000보다 큰 숫자를 처리하는 데 어려움이 있을 수 있습니다.

큰 숫자의 경우 결과를 계산하는 데 몇 초가 걸릴 수 있으며, 화면에 결과를 표시하는 데는 더 오랜 시간이 걸릴 수도 있습니다. 입력한 숫자가 너무 크면 오류 메시지가 표시됩니다. 경우에 따라 오류 메시지가 표시되는 대신 페이지가 중단되어 다시 로드해야 할 수도 있습니다.

10이 아닌 다른 진법으로 결과를 표시하는 옵션도 있습니다. 2에서 36 사이의 숫자를 지정할 수 있습니다. 예를 들어 16진법으로 결과를 확인하려면 16을 입력하세요. 과학적 표기법으로 표시되는 결과에서는 가수와 지수 모두 선택한 진법을 사용한다는 점에 유의해야 합니다. 반면 입력값은 항상 10진법으로 읽고 표시합니다.

이 콘텐츠 인용 또는 포함

이 웹사이트를 출처로 명시하는 경우 상업적 용도를 포함하여 무료로 사용할 수 있습니다. 학술적인 글에서 인용하는 경우 다음 인용 형식을 사용할 수 있습니다.

Narkiewicz A. 《팩토리얼 계산기》. https://minesweeper.us/지뢰찾기/팩토리얼-계산기/. 2026-10-06에 확인함.

이 웹사이트를 인터넷에서 인용하려면 메인 URL(https://minesweeper.us/지뢰찾기/팩토리얼-계산기/)을 링크하거나, 특정 결과를 링크하려는 경우 "링크를 클립보드에 복사" 버튼을 사용하면 됩니다.

또한 iframe 요소를 사용하여 이 페이지를 웹사이트에 포함할 수 있습니다. 페이지에 계산기만 표시하고 나머지 콘텐츠(메뉴, 문서 등)는 모두 숨기려면 다음 URL을 src 속성에 사용할 수 있습니다. https://minesweeper.us지뢰찾기/팩토리얼-계산기/?iframe=1.

웹사이트에 이 페이지를 인용하고 클릭할 수 있는 링크를 추가하여 출처를 밝혀 주세요. 또한 contact@simiade.com으로 이메일을 보내 웹사이트에 저희 앱을 포함했다는 사실을 알려주시면 좋습니다. 그러면 저희 앱에 변경 사항이 발생하여 웹마스터가 웹사이트에서 앱을 표시하는 방식을 업데이트해야 하는 경우 알려드릴 수 있습니다.

참고 자료

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

문의하기

질문, 의견 또는 제안 사항이 있으시면 여기에 피드백을 남겨주세요.

또는 우편으로 문의하실 수 있습니다:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
폴란드
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/ko/