Калькулятор числа размещений и перестановок

Чтобы рассчитать число размещений, введите количество вариантов (n), количество возможных выборов (обычно обозначается как k или r) и, если варианты можно выбирать более одного раза, установите галочку в поле «Разрешить повторения». Нажмите кнопку «Вычислить», и результат будет отображен ниже.

Количество элементов (n): Длина последовательности (k или r): Разрешить повторения: Основание:

Результат:

2026-04-01, автор:

Адам имеет докторскую степень по экономике, отвечает за написание технических статей и курирует разработку онлайн-приложений. Вы можете найти его в:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Что такое размещения?

Размещение из n по k — это способ расположения k элементов из более крупного множества n элементов. Калькулятор числа размещений и перестановок вычисляет количество таких расположений для заданных значений n и k. В некоторых источниках вместо k используется буква r — эти символы означают одно и то же.

Перестановка — это изменение порядка элементов в последовательности. Число перестановок показывает, сколькими различными способами можно переставить элементы в последовательности.

Размещение из n по k может быть двух видов. Оно может включать последовательности без повторений, то есть каждый из n элементов может быть использован только один раз в последовательности. Но если в последовательности элементы встречаются несколько раз, то мы говорим о размещении из n по k с повторениями. Этот калькулятор позволяет вычислять оба вида размещений.

Размещения и сочетания

Размещения часто путают с сочетаниями. Например, в повседневной жизни мы можем использовать термин «комбинация» как для обозначения размещений, так и для сочетаний. Однако, строго говоря, последовательность цифр, открывающая замок, чаще всего является размещением с повторениями.

Разница между размещениями и сочетаниями, согласно их определению в математике, заключается в том, что для размещений порядок элементов имеет значение, поэтому мы говорим о расстановках и последовательностях. Для сочетаний порядок не имеет значения, поэтому более уместно говорить о выборе элементов и подмножестве элементов.

Код замка представляет собой последовательность, в которой крайне важен порядок цифр, поэтому называть его «сочетанием» математически неверно.

Если вам нужны сочетания, а не размещения, воспользуйтесь нашим Калькулятором числа сочетаний.

Формула размещений

Давайте сначала рассмотрим размещения, в которых повторения не допускаются, то есть размещения из n по k без повторений. Если вы строите последовательности длины k из n элементов, количество различных последовательностей, которые вы можете получить, определяется формулой

A (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} .

n! в формуле означает факториал числа n. Помимо $A (n, k),$ , в некоторых источниках также используются другие символы:

P (n, k) = A (n, k) = A_{n}^{k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Размещения из n по k с повторениями рассчитываются по формуле

U (n, k) = \overline{A} (n, k) = {\overline{A}}_{n}^{k} = n^{k} .

Это просто n, возведенное в степень k.

Объяснение формулы размещений

Допустим, нам нужно построить последовательность длины k из n элементов. Мы можем поместить любой из n элементов в начало последовательности. При размещениях без повторений выбранный элемент удаляется из пула, и для второго места остается только $n - 1$ элементов. Затем второй выбранный нами элемент также удаляется из доступного набора, и у нас остается только $n - 2$ элементов, которые можно поместить на третье место. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет заполнена вся последовательность, в результате чего получается следующая формула:

A_{n}^{k} = \underset{k множителей}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Далее мы можем умножать и поделить эту формулу на одно и то же число, не изменяя ее значение. Мы разумно выбираем $(n - k)!,$ и получаем

A_{n}^{k} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

В случае размещений с повторениями ситуация изначально аналогична: мы можем выбрать один из n элементов для первого места в последовательности. Но поскольку повторения допускаются, этот элемент не удаляется из пула, поэтому для второго места в последовательности нам по-прежнему доступно n элементов на выбор. То же самое с третьим местом и так далее. Мы делаем k таких выборов, и окончательная формула выглядит как

{\overline{A}}_{n}^{k} = \underset{k множителей}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Примеры размещений

Пример: сколько может быть размещений в колоде карт?

Стандартная колода состоит из 52 карт. Сколько существует различных способов упорядочить эти карты? Общее количество доступных элементов равно 52, поэтому n = 52. Длина последовательности, то есть количество карт, которые можно включить в комбинацию, также равна 52, поскольку нам нужны комбинации из всей колоды. Следовательно, k = 52. Повторений нет, поскольку каждая карта встречается в комбинации всего один раз. Зная это, мы имеем все необходимое для применения формулы:

A_{52}^{52} = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Это очень большое число. Точное решение можно получить с помощью нашего Калькулятора числа размещений и перестановок. Поскольку мы работаем с перестановкой, именно особым типом размещения, в котором размер выборки равен общему количеству элементов, то есть k = n, формула сводится к простому факториалу, и точный ответ можно получить, вычислив факториал числа 52.

Пример: сколько слов из трех букв можно составить из слова КРОТ?

У нас есть четыре разных буквы, и нам нужно определить, сколько различных трехбуквенных комбинаций можно составить из этих букв. Поскольку каждую букву можно использовать только один раз, формула будет выглядеть так: $A_{4}^{3} = 24 .$ Вот все 24 возможных размещения:

КРО

КРТ

КОР

КОТ

КТР

КТО

РКО

РКТ

РОК

РОТ

РТN

РТО

ОКР

ОКТ

ОРК

ОРТ

ОТК

ОТР

ТКР

ТКО

ТРК

ТРО

ТОК

ТОР

Пример: сколькими способами можно раздать 7 мячей разных цветов 4 детям?

В этом примере нам нужно раздать по одному мячу каждому ребенку: Ане, Лене, Саше и Вите. У нас семь мячей: белый, оранжевый, синий, зеленый, желтый, фиолетовый и коричневый. Сколько существует различных способов раздать по одному мячу всем детям? Здесь нам снова помогут размещения. Поскольку один и тот же мяч нельзя дать более чем одному ребенку, мы используем размещения без повторений: $A_{7}^{4} = 840 .$

Таким образом, существует 840 способов раздать мячи детям.

Пример: сколько существует способов выбрать старосту, заместителя старосты и казначея в классе из 20 учеников?

В классе 20 учеников, которые могут стать старостой. Давайте выберем одного из них. Теперь, учитывая, что у нас уже есть староста, заместителя старосты можно выбрать из оставшихся девятнадцати человек. И, наконец, когда у нас есть староста и заместитель старосты, выбираем казначея из оставшихся восемнадцати человек. Умножаем эти числа и получаем $20 \times 19 \times 18 = 6840$ возможных вариантов выбора трех учеников для выполнения упомянутых выше обязанностей.

Как правило, когда у нас есть k различных должностей, которые необходимо укомплектовать, и группа из n кандидатов, существует ровно $A_{n}^{k}$ способов сделать это. В данном конкретном случае получается $A_{20}^{3} = 6840 .$

Пример: сколько комбинаций может быть в 4-значном замочном коде, если в нем нет нулей?

Это нестандартный код, поскольку цифры идут от 1 до 9, а не от 0 до 9. То есть количество элементов равно n = 9. Длина последовательности равна k = 4. Каждая цифра может использоваться столько угодно раз, поэтому в данном случае мы используем размещения с повторениями. Формула выглядит следующим образом:

{\overline{A}}_{n}^{k} = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Всего существует 6561 возможная комбинация. При условии, что проверка каждой комбинации занимает одну секунду, мы сможем открыть замок, проверив все комбинации менее чем за два часа.

Пример: сколько в данном случае может быть паролей?

Ответ зависит от длины паролей и количества допустимых символов. В качестве примера давайте рассчитаем количество паролей длиной 10 символов. Мы можем использовать строчные и заглавные латинские буквы (от a до z и от A до Z — всего 52 буквы), цифры (от 0 до 9) и специальные символы (их 30):

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

Всего у нас 52 + 10 + 30 = 92 разных символа. Мы можем использовать каждый символ неограниченное количество раз, поэтому вычисляем размещения из n по k с повторениями. Формула выглядит так:

{\overline{A}}_{n}^{k} = n^{k} = 92^{10} = 43 438 845 422 363 213 824 .

Речь идет об очень большом количестве уникальных паролей. По сути, вероятность того, что кто-то сможет угадать ваш пароль, просто перебирая все возможные комбинации, практически равна нулю — при условии, что вы выбрали символы случайным образом, а не придумали что-то простое, например, qwertyiuop или 1q2w3e4r.

Размещения в Python

Если вам нужно вычислить число размещений в языке программирования, как например Python, вы можете воспользоваться формулой размещений, чтобы создать собственную функцию:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

Точно так же можно использовать формулу размещений с повторениями:

def nUk(n, k):
	return n**k

Если вам нужно сгенерировать все размещения без повторений, можно написать:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

А для размещений с повторениями:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Экспоненциальный калькулятор для больших чисел

Поскольку формула размещений с повторениями выглядит как ${\overline{A}}_{n}^{k} = n^{k},$ вы можете использовать этот Калькулятор числа размещений и перестановок в качестве экспоненциального калькулятора для вычисления степени числа. Это может пригодиться, если результат очень велик (например, вы можете легко рассчитать точное значение 3¹⁰⁰⁰), поскольку традиционные калькуляторы плохо справляются с большими результатами. Установите галочку в поле «Разрешить повторения» и введите число, подлежащее возведению в степень как n, а показатель степени как k. Можно использовать только неотрицательные целые числа.

Как пользоваться Калькулятором числа размещений и перестановок

Чтобы воспользоваться этим калькулятором, введите количество элементов, из которых нужно произвести выбор, в поле, обозначенное буквой n. Размер выборки, то есть длину последовательности, следует ввести в поле ниже (оно обозначено буквой k или r). Если вас интересуют перестановки с повторениями, установите галочку в поле «Разрешить повторения». Затем нажмите кнопку «Вычислить», чтобы осуществить вычисления, или кнопку «Очистить», чтобы ввести новые значения.

Результат выводится в поле «Результат» ниже. Если результатом является небольшое число, оно отображается в одной строке. Более крупные числа отображаются двумя способами: аппроксимация (приближенное значение) в экспоненциальной записи отображается выше, а точное значение — ниже. Если во время вычислений произошла ошибка, она будет показана вместо результата.

Калькулятор воспринимает только неотрицательные целые числа. В случае размещений без повторений введенные числа должны также удовлетворять условию k ≤ n. При размещениях с повторениями оба числа не могут быть равны нулю, поскольку значение 0⁰ является неопределенным. Верхний предел вводимых значений отсутствует. Для вас не должно быть проблемой получать большие числа, такие как n = 8000000000 и k = 1000 (например, количество способов выбрать 1000 самых богатых людей из населения Земли). В зависимости от конфигурации вашей системы можно рассчитывать и гораздо более крупные значения. Однако работа с большими величинами может занять много времени, и если вычисления превысят мощность вашего устройства, веб-сайт может зависнуть.

Вы можете выбрать основание, в котором будут отображаться результаты. По умолчанию используется основание 10, то есть результаты будут отображаться в десятичной системе счисления. В качестве основания можно использовать любое натуральное число от 2 до 36. Однако с использованием выбранного основания будут отображаться только результаты. Значения, введенные в качестве n и k, всегда обрабатываются так, как если бы они были введены в десятичной системе счисления.

Вам доступны следующие варианты: 1) скопировать результат в буфер обмена, 2) скачать результат в виде файла, 3) распечатать результат, 4) скопировать ссылку на результат в буфер обмена и 5) очистить поле «Результат». Чтобы активировать любой из этих вариантов, воспользуйтесь соответствующим значком над полем «Результат».

Предоставление ссылки или внедрение этого контента

Вы можете использовать этот веб-сайт бесплатно, в том числе в коммерческих целях, при условии указания его в качестве источника. Если вы упоминаете его в научном тексте, вы можете использовать следующую ссылку:

Наркевич А., Калькулятор числа размещений и перестановок, https://minesweeper.us/сапер/калькулятор-числа-размещений-и-перестановок/, дата просмотра 2026-03-18.

Чтобы сослаться на этот веб-сайт в Интернете, вы можете использовать его основной URL-адрес (https://minesweeper.us/сапер/калькулятор-числа-размещений-и-перестановок/) или, если хотите сделать ссылку на конкретный результат, воспользуйтесь кнопкой «Скопировать ссылку в буфер обмена».

Вы также можете внедрить эту страницу на свой веб-сайт с помощью элемента iframe. Если вы хотите, чтобы на странице отображался только калькулятор, а все остальное содержимое (меню, статья и т. д.) было скрыто, используйте следующий URL-адрес в атрибуте src: https://minesweeper.us/сапер/калькулятор-числа-размещений-и-перестановок/?iframe=1.

Пожалуйста, добавьте указание на эту страницу на своем веб-сайте, добавив гиперссылку. Вы можете сообщить нам о том, что разместили наше приложение на своем веб-сайте, отправив электронное письмо по адресу: contact@simiade.com. Это позволит нам уведомлять вас обо всех изменениях в нашем приложении, которые могут потребовать от администраторов веб-сайтов обновления способа его отображения на сайтах.

Ссылки

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Контакты

Если у вас есть вопросы, комментарии или предложения, вы можете оставить их здесь:

Вы также можете связаться с нами по почте:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Польша
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/ru/