Calculateur de combinaisons

Bienvenue dans le Calculateur de combinaisons. Veuillez saisir le nombre d’éléments (n) et le nombre de tirages (k ou r). Cochez la case ci-dessous si vous autorisez les répétitions. Cliquez ensuite sur le bouton « Calculer ».

Nombre d’éléments (n) : Taille de l’échantillon (k ou r) : Autoriser les répétitions : Base :

Résultat :

2026-04-17, par

Titulaire d’un doctorat en économie, Adam rédige des articles techniques et supervise le développement d’applications en ligne. Vous pouvez le contacter ici :
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

La formule des combinaisons

Une combinaison nous indique quels k éléments sélectionner dans un groupe de n éléments. On l’appelle souvent une combinaison de k parmi n, à ne pas confondre avec un arrangement de k parmi n. Si l’ordre des éléments sélectionnés n’a pas d’importance dans les combinaisons, il en a un dans les arrangements.

Combien existe-t-il de façons différentes de sélectionner k éléments issus d’un ensemble plus large de n éléments ? Le symbole représentant le nombre de combinaisons de k parmi n sans répétitions (c’est-à-dire quand chaque élément sélectionné est éliminé du groupe, de sorte qu’il ne puisse plus être sélectionné à nouveau) est $C (n, k) .$ Beaucoup de sources utilisent aussi les symboles ${}_{n}C_{k}$ ou $(\binom{n}{k}),$ ce dernier étant très utilisé. On peut donc écrire

C (n, k) = C_{n}^{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!},

où n! est la factorielle de n. En revanche, le symbole pour le nombre de combinaisons de k parmi n avec répétitions (tout élément sélectionné retourne alors dans le groupe et peut être à nouveau choisi) est $Γ (n, k)$ , parfois aussi écrit sous la forme $((\binom{n}{k})) :$

Γ (n, k) = ((\binom{n}{k})) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Les combinaisons et les arrangements sans répétitions sont liés par la formule

C (n, k) = \frac{A (n, k)}{k!} .

Le nombre d’arrangements est divisé par k! pour tenir compte de l’ordre des éléments, qui n’a aucune importance pour les combinaisons, mais qui est important pour les arrangements. Si votre recherche porte sur des situations où l’ordre des éléments sélectionnés est important, utilisez notre Calculateur d’arrangements et de permutations.

Exemples de combinaisons

Combien existe-t-il de poignées de main différentes dans un groupe de 100 personnes ?

Imaginez que vous arriviez à une soirée. 100 invités y sont présents (vous compris). En essayant de serrer la main de chaque personne, vous vous demandez combien de poignées de main seraient nécessaires si chaque personne saluait tout le monde.

Il y a n = 100 personnes. Combien de paires différentes peut-on former dans ce groupe ? Autrement dit, combien existe-t-il de combinaisons de 2 parmi 100 ? La réponse est

C (100, 2) = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950 .

Cela nécessiterait 4950 poignées de main. Vous remarquerez que nous utilisons des combinaisons sans répétitions, car une personne ne peut pas serrer sa propre main !

Combien existe-t-il de mains au poker ?

Considérons un jeu sans jokers, soit un jeu composé de 52 cartes. On sélectionne cinq cartes sans répétitions (étant donné qu’on ne peut pas tirer deux fois la même carte). L’ordre des cartes n’est pas important. On utilise donc les combinaisons de k parmi n sans répétitions, où k = 5 et n = 52 :

(\binom{52}{5}) = 2598960 .

Il existe donc 2 598 960 mains différentes au poker. En sachant ça, on peut calculer la probabilité de tirer toutes les mains de valeur au poker.

Probabilité d’obtenir un carré

Pour obtenir un carré, on doit d’abord sélectionner le rang répété (13 possibilités) et ensuite la cinquième carte (48 possibilités). Il existe donc $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ mains différentes qui comprennent un carré. La probabilité d’obtenir une telle main est donc $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0,024 % .$

Probabilité d’obtenir un full

Calculer la probabilité d’obtenir un full est plus compliqué. On doit d’abord sélectionner le rang de la paire (13 possibilités) et le rang du trio (12 possibilités – et vu qu’il ne peut être la même que celui de la paire, on retire une option). Ensuite, on doit tenir compte des différentes combinaisons de couleurs. Il existe $(\binom{4}{2})$ combinaisons de couleurs pour la paire et $(\binom{4}{3})$ combinaisons de couleurs pour le brelan. On peut désormais multiplier ces valeurs pour obtenir le nombre total de possibilités :

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744 .

Il existe 3744 mains différentes qui comprennent un full, ce qui veut dire que la probabilité d’en obtenir un par hasard est de $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0,144 % .$ Il y a donc six fois plus de chances d’obtenir un full que d’obtenir un carré.

Probabilité d’obtenir une couleur

Pour obtenir une couleur, il faut avoir cinq cartes de la même couleur. On sélectionne d’abord la couleur – quatre possibilités. On choisit ensuite cinq cartes parmi les 13 de cette couleur : il y a $(\binom{13}{5})$ façons de le faire. Au total, le nombre de mains de couleur différentes est de

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148 .

La probabilité d’obtenir une couleur par hasard est de $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx 0,198 % .$

Remarque : cette formule inclut aussi la possibilité d’obtenir une quinte flush, un type particulier de couleur dans lequel les cartes sont non seulement de la même couleur, mais aussi consécutives. Si vous souhaitez calculer la probabilité d’obtenir une couleur « classique » dans laquelle les cartes ne sont pas consécutives, il faut soustraire la valeur obtenue pour la quinte flush (voir ci-dessous) de la probabilité calculée ci-dessus.

Probabilité d’obtenir une suite

Cette fois, nous cherchons à obtenir une séquence de cinq cartes, chacune étant d’un rang supérieur à la précédente, quelle que soit la couleur. Pour déterminer le nombre de mains de ce type, on doit d’abord choisir la carte la plus forte. Cette carte peut être un as, un roi, une dame, un valet, un 10, un 9, un 8, un 7, un 6 ou un 5 (l’as peut aussi être la carte la plus faible dans une séquence 5-4-3-2-as). Il existe donc 10 possibilités pour ce qui est du rang de la carte la plus forte. Une fois qu’on a choisi la carte la plus forte, les rangs de toutes les autres cartes sont déterminés. On doit maintenant sélectionner les couleurs. Il existe quatre couleurs possibles et on choisit une couleur pour chacune des cinq cartes séparément. On utilise donc les arrangements de 5 parmi 4 avec répétitions, pour lesquelles la formule est 4⁵. Le nombre total de mains avec une suite est donc

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240 .

La probabilité d’obtenir une suite par hasard est de $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx 0,394 % .$

Remarque : cette formule inclut aussi la possibilité d’obtenir une quinte flush, une suite spéciale dans laquelle les cartes sont non seulement consécutives, mais appartiennent aussi à la même couleur. Si vous cherchez à calculer la probabilité d’obtenir une quinte « normale », dont les cartes ne sont pas de la même couleur, il faut soustraire la valeur obtenue pour la quinte flush (voir ci-dessous) de la probabilité calculée ci-dessus.

Probabilité d’obtenir une quinte flush

Une quinte flush est l’une des mains les plus fortes et les plus rares. Dans cette main, les cartes sont de rang consécutif comme pour une suite, mais aussi d’une même couleur comme pour une couleur. Pour calculer le nombre de mains de ce type, il faut d’abord choisir la carte la plus forte. Comme pour les suites classiques, il y en a 10 choix possibles. Une fois les rangs des cartes sont spécifiés, on doit sélectionner l’une des quatre couleurs existantes. La formule finale est donc

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40 .

Il n’existe que 40 mains de ce type. La probabilité d’obtenir une quinte flush par hasard est de $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx 0,00154 % .$

Remarque : cette formule inclut aussi la probabilité d’obtenir une quinte flush royale (voir ci-dessous). Si vous désirez calculer la probabilité d’obtenir une quinte flush qui n’est pas une quinte flush royale, vous devez soustraire la valeur obtenue pour la quinte flush royale de la probabilité calculée ci-dessus.

Probabilité d’obtenir une quinte flush royale

La probabilité d’obtenir une quinte flush royale est encore plus faible que celle d’obtenir une quinte flush. En effet, une quinte flush royale est similaire à une quinte flush, mais sa carte la plus forte est un as. Les rangs des cartes dans une quinte flush royale est donc toujours le même : as, roi, dame, valet et 10. La seule chose qui peut changer, c’est sa couleur. Comme il n’y a que quatre couleurs, il n’existe que quatre mains avec une quinte flush royale. La probabilité d’en obtenir une est de $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx 0,000154 %,$ 10 fois moins que la probabilité d’obtenir une quinte flush.

Probabilité d’obtenir un brelan

Pour obtenir un brelan, il faut d’abord sélectionner la valeur du trio de cartes. Il existe 13 possibilités différentes. Ensuite, il faut choisir les rangs des deux autres cartes parmi les 12 rangs restants. Il faut faire en sorte de ne pas obtenir de paire (sans quoi on aurait un full plutôt qu’un brelan). On utilise donc les combinaisons de 2 parmi 12 sans répétitions : $(\binom{12}{2}) .$ Enfin, on doit sélectionner les couleurs. On choisit d’abord les couleurs du brelan : $(\binom{4}{3}) .$ Ceci fait, on choisit les couleurs des deux cartes restantes – et comme elles sont de rang différent, on utilise les arrangements de 2 parmi 4 avec répétitions, ce qui nous donne 4². La formule finale est donc

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912 .

La probabilité d’obtenir un brelan est de $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx 2,11 % .$

Probabilité d’obtenir une double paire

Combien de façons différentes existe-t-il d’obtenir une double paire ? En premier lieu, on doit choisir les rangs des deux paires : $(\binom{13}{2}) .$ Dans un deuxième temps, on choisit le rang de la cinquième carte : $(\binom{11}{1}) .$ Troisièmement, on doit sélectionner les couleurs des cartes de chaque paire. Dans chaque paire, les cartes doivent appartenir à des couleurs différentes. Il y a donc $(\binom{4}{2})$ façons de sélectionner les couleurs pour la paire de valeur inférieure et $(\binom{4}{2})$ façons de sélectionner les couleurs pour la paire de valeur supérieure. Enfin, on doit sélectionner la couleur de la cinquième carte parmi quatre possibilités. En multipliant tous ces facteurs, on obtient donc

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552 .

La probabilité d’obtenir une double paire est de $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx 4,75 % .$

Probabilité d’obtenir une paire

Pour finir, la probabilité d’obtenir une paire peut être calculée de la façon suivante : 1) on choisit le rang de la paire : $(\binom{13}{1});$ 2) on choisit les rangs des cartes restantes : $(\binom{12}{3});$ 3) on choisit les couleurs des cartes de la paire : $(\binom{4}{2});$ et 4) on choisit les couleurs des trois cartes restantes : 4³. Vous vous demandez peut-être pourquoi on utilise les combinaisons pour choisir les rangs des trois cartes différentes ( $(\binom{12}{3})$ ), mais qu’on utilise les arrangements pour leurs couleurs (4³) ? On doit utiliser les combinaisons pour le choix des rangs parce que l’ordre dans lequel on place les cartes avec ces rangs dans notre main n’a pas d’importance – si on change l’ordre des cartes dans notre main, cela reste la même main au poker. Cependant, comme il s’agit de trois cartes de rangs différents, elles ont un ordre naturel – de la plus forte à la plus faible. On peut utiliser cet ordre naturel pour identifier chaque carte. On choisit d’abord la couleur de la carte la plus forte, puis celle de la carte intermédiaire, et enfin celle de la carte la plus faible. Chaque sélection offrant quatre options possibles, cela nous donne $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ possibilités.

Le nombre total de mains avec une paire est donc

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240

et la probabilité d’obtenir une paire est de $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx 42,3 % .$ Vous pouvez le vérifier en faisant un petit test. Mélangez un jeu de cartes et tirez cinq cartes. Avez-vous obtenu une paire ? Notez la réponse. Répétez le processus plusieurs fois : vous devriez obtenir une paire un peu moins de la moitié du temps.

Quelle est la probabilité de gagner à la loterie ?

Dans beaucoup de pays existe une loterie dans laquelle plusieurs boules sont tirées au sort parmi un plus grand nombre de boules. Toute personne ayant choisi les bons numéros gagne, et les récompenses sont souvent très élevées. Un exemple célèbre est le Loto de la Française des Jeux. Dans cette loterie, vous devez choisir cinq numéros de 1 à 49 (sans répétitions) et ensuite un autre numéro de 1 à 10. Le nombre de combinaisons possibles est :

(\binom{49}{5}) (\binom{10}{1}) = 1906884 \times 10 = 19068840

Il existe donc 19 068 840 façons différentes de choisir les numéros dans le Loto. Autrement dit, pour être certain de remporter le Loto, il vous faudrait acheter 19 068 840 tickets. Si vous n’avez qu’un ticket, vos chances de gagner sont de 1 sur 19 068 840, soit approximativement 0,00000524 %.

Combien de façons différentes existe-t-il d’apporter des collations à une fête ?

Dans cet exemple, imaginez que vous allez à une fête chez un ami. On vous a demandé d’amener de quoi manger. Vous avez le choix entre trois types de collations : chips, cookies ou crackers. Vous comptez acheter cinq paquets. Combien y a-t-il de combinaisons différentes ?

On remarque en premier lieu qu’il existe 3 éléments parmi lesquels choisir, donc n = 3. Ensuite, l’ordre dans lequel on les arrange n’a pas d’importance. Troisièmement, on peut acheter plusieurs paquets du même type de collation. On doit donc utiliser les combinaisons de 5 parmi 3 avec répétitions. La formule est donc

Γ (3, 5) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21 .

Il existe 21 façons différentes de choisir des collations pour la fête. Pour vérifier que ce calcul est correct, faisons une liste de toutes les combinaisons possibles (pour simplifier, on appellera les collations A, B et C) :

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

Explication de la formule des combinaisons

Combinaisons de k parmi n sans répétitions

La formule pour les combinaisons de k parmi n sans répétitions (qu’on appelle aussi la formule « k parmi n » ou « r parmi n ») est :

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Pour vérifier que cette formule est bien correcte, penchons-nous sur le processus de sélection de k nombres entre 1 et n. On commence par placer les nombres choisis dans une suite de longueur k. La première place de la suite peut être occupée par n’importe lequel des n nombres. Après avoir retiré du groupe le nombre en première position, il reste n − 1 options disponibles pour la deuxième place de la suite. Ce nombre est lui aussi retiré des choix possibles, ce qui ne laisse que n − 2 nombres pour la troisième place. On continue ainsi de sélectionner les nombres jusqu’à compléter toute la suite de longueur k. Pour obtenir le nombre total de ce type de suites (qui est égal au nombre d’arrangements de k parmi n sans répétitions), il faut multiplier le nombre d’options pour chaque étape :

A (n, k) = \underset{k facteurs}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Cependant, cette multiplication est tout simplement le produit des k plus grands facteurs d’une factorielle. On peut donc la réécrire sous la forme

A (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!},

où la factorielle au dénominateur annule les n − k plus petits facteurs au numérateur, de telle sorte que ce qui reste correspond à la formule précédente.

Mais ce n’est pas tout. En effet, jusque-là on a calculé le nombre d’arrangements, pas de combinaisons. Pour les arrangements, l’ordre des éléments est important ; et on a tenu compte de l’ordre en construisant la suite, en choisissant le nombre placé en première position, en deuxième, en troisième et ainsi de suite. On veut maintenant se pencher sur toutes les suites composées des mêmes nombres comme une seule combinaison. Combien de suites différentes peut-on créer en utilisant k nombres différents ? La réponse est simple : k!. Il y a k! autant d’arrangements qu’il existe de combinaisons. Pour calculer le nombre de combinaisons, il faut diviser le nombre d’arrangements par k! :

C (n, k) = \frac{A (n, k)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Combinaisons de k parmi n avec répétitions

Comment obtenir la formule des combinaisons de k parmi n avec répétitions ? Comme chacun des n éléments peut être sélectionné entre 0 et k fois, imaginons qu’il y ait n bacs numérotés de 1 à n. Chaque bac contient jusqu’à k boules, et le nombre total de boules dans tous les bacs est égal à k. Les bacs représentent les éléments et les boules d’un bac donné nous indiquent combien de fois on choisit l’élément représenté par ce bac.

Comment peut-on utiliser une suite de nombres pour décrire le nombre de boules dans chaque bac ? On peut créer une suite de n − 1 nombres, construite de la manière suivante : le i^me nombre de cette suite nous indique combien il y a de boules et de bacs au total, du premier au i^me bac. Par exemple, le premier nombre de cette suite est un plus le nombre de boules se trouvant dans le premier bac (il peut donc être compris entre 1 et k + 1). Le deuxième nombre est égal à deux plus le nombre de boules dans les deux premiers bacs (il peut donc être compris entre 2 et k + 2, mais doit être supérieur au premier nombre). Le troisième nombre est égal à trois plus le nombre de boules dans les trois premiers bacs (entre 3 et k + 3, mais supérieur au deuxième nombre), et ainsi de suite. On voit bien que la valeur du dernier nombre dans cette suite est égale à n − 1 plus le nombre de boules dans tous les bacs à l’exception du dernier. Sa valeur peut être au minimum n − 1 (si toutes les boules sont dans le dernier bac) et au maximum n − 1 + k (s’il n’y a aucune boule dans le dernier bac).

Changeons maintenant de perspective. On a un ensemble de nombres allant de 1 à n − 1 + k. Dans cet ensemble, on sélectionne sans répétition n − 1 nombres. On les utilise pour créer une suite par ordre croissant, du plus petit au plus grand, et on sait désormais combien de boules vont dans chaque bac. Chaque façon de choisir n − 1 nnombres parmi l’ensemble plus large de n − 1 + k nombres correspond exactement à une façon de distribuer k boules entre n bacs. Mais combien existe-t-il de façons différentes de sélectionner n − 1 nombres parmi un ensemble plus grand de n − 1 + k nombres ? Il en existe

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} .

Il s’agit presque de la formule qu’on cherche. La dernière étape consiste à noter qu’on peut inverser l’ordre des factorielles dans le dénominateur, c’est-à-dire

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C (n + k - 1, k),

et enfin

Γ (n, k) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Le triangle de Pascal et les coefficients binomiaux

On appelle un binôme une expression composée de deux termes, par exemple $x + y .$ Les coefficients binomiaux sont les nombres qui apparaissent à côté de x et y quand on élève $x + y$ à une puissance entière relative non négative. Par exemple, ${(x + y)}^{0} = 1,$ ${(x + y)}^{1} = x + y,$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2},$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ – dans ces exemples, les coefficients binomiaux sont respectivement : 1, 1-1, 1-2-1 et 1-3-3-1. Il s’avère que les coefficients binomiaux sont liés aux combinaisons de k parmi n : quand on écrit ${(x + y)}^{n},$ le coefficient situé à côté de $x^{k} y^{n - k}$ est $(\binom{n}{k}) .$ Par exemple, dans ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ le coefficient qui se trouve à côté de $x^{2} y$ est $(\binom{3}{2}) = 3 .$ On peut exprimer cela de manière générale par la formule :

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .

En outre, les coefficients binomiaux forment aussi un motif intéressant, car ils peuvent être arrangés en triangle, qu’on appelle souvent le triangle de Pascal :

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

Un aspect intéressant du triangle de Pascal est que chaque ligne suivante peut être formée en additionnant les éléments adjacents de la ligne précédente. Ainsi, le 6 se trouvant dans la ligne n = 4 est issu de 3 + 3 de la ligne précédente. Pareillement, le 10 de la ligne n = 5 vient de 4 + 6 de la ligne précédente. On peut résumer cette observation à l’aide de l’équation

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

Équations binomiales et identités

Voici quelques-unes des identités les plus célèbres qui impliquent des coefficients binomiaux :

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

k parmi n dans Python

Dans le langage de programmation Python, si vous voulez obtenir le nombre de combinaisons de k parmi n sans répétitions, utilisez la fonction comb du module math :

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

Pour obtenir le nombre de combinaisons de k parmi n avec répétitions, utilisez la formule liant les combinaisons avec répétitions aux combinaisons sans répétitions :

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

Si vous désirez afficher toutes les combinaisons de k parmi n sans répétitions, vous pouvez aussi le faire grâce à une fonctionnalité intégrée :

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

Et pour afficher toutes les combinaisons de k parmi n avec répétitions, utilisez :

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

Si vous désirez créer votre propre fonction pour le nombre de combinaisons de k parmi n sans répétitions, voici un exemple :

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

Et pour une fonction calculant le nombre de combinaisons de k parmi n avec répétitions, vous pouvez utiliser :

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

Comment utiliser le Calculateur de combinaisons

Le Calculateur de combinaisons vous permet de calculer les combinaisons de k parmi n avec et sans répétitions. Pour faire un calcul, saisissez le nombre d’éléments disponibles dans le champ marqué de la lettre n. Saisissez ensuite le nombre de tirages dans le champ marqué de la lettre k ou r. Si vous voulez obtenir les combinaisons avec répétitions, cochez la case ci-dessous. Enfin, cliquez sur le bouton « Calculer » et les résultats seront affichés ci-dessous.

Le calculateur est particulièrement adapté aux calculs impliquant de très grands nombres. Ainsi, les calculs de résultats avec des valeurs comme n = 1000000 et k = 1000 ne posent pas de problème. Pour les grands nombres, le calculateur affichera le résultat sous deux formes. Il affichera une approximation sous forme scientifique sur la première ligne, et la solution exacte sur la deuxième ligne.

Il n’y a aucune limite prédéfinie, et le calculateur essaiera d’effectuer des calculs, quelle que soit la taille de n et k. La réussite des calculs dépend des capacités de votre système. Ainsi, les versions récentes du navigateur Chrome sur les ordinateurs de bureau peuvent facilement calculer les résultats pour des entrées comme n = 8000000000 et k = 10000000 (combien existe-t-il de façons différentes de sélectionner 10 000 000 survivants pour vivre sur un énorme vaisseau spatial après qu’un astéroïde ait détruit la Terre ?). Cependant, d’autres configurations système, en particulier sur les appareils mobiles, peuvent avoir du mal à traiter des nombres aussi élevés.

Le calculateur propose plusieurs autres fonctionnalités. Vous pouvez ainsi :

Sélectionner la base dans laquelle vous voulez que les résultats soient affichés. Vous pouvez utiliser n’importe quel nombre entier compris entre 2 et 36. Par défaut, la base utilisée est 10. Cela signifie que les résultats sont affichés en utilisant le système décimal. Si vous sélectionnez une base différente, celle-ci sera utilisée uniquement pour afficher les résultats. Les valeurs saisies sont toujours lues en utilisant la base 10.
Effacer les champs n et k en cliquant sur le bouton « Effacer ». Vous pourrez ensuite saisir à nouveau les valeurs que vous souhaitez.
Copier le résultat dans le presse-papiers. Pour utiliser cette fonctionnalité (et toutes les fonctionnalités suivantes), cliquez sur le bouton approprié, qui se trouve au-dessus du champ « Résultat ».
Télécharger le résultat et l’enregistrer sur votre appareil sous la forme d’un fichier texte.
Imprimer le résultat.
Copier le lien vers le résultat dans le presse-papiers.
Effacer le résultat.

Citer ou incorporer ce contenu

Vous pouvez utiliser ce site gratuitement, y compris dans le cadre d’un usage commercial, tant que vous citez ce site comme source. Si vous le citez dans un texte scientifique, vous pouvez utiliser la citation suivante :

Narkiewicz A., Calculateur de combinaisons, https://minesweeper.us/démineur/calculateur-de-combinaisons/, accédé le 2026-03-30.

Pour citer ce site sur Internet, vous pouvez inclure un lien vers celui-ci en utilisant l’URL principale (https://minesweeper.us/démineur/calculateur-de-combinaisons/). Si vous souhaitez créer un lien vers un résultat spécifique, utilisez le bouton « Copier le lien dans le presse-papiers ».

Vous pouvez aussi incorporer cette page à votre site Internet en utilisant un élément iframe. Si vous souhaitez que seul le calculateur soit affiché sur la page et masquer tous les autres éléments (menus, articles, etc.), vous pouvez utiliser l’URL suivante dans votre attribut src : https://minesweeper.us/démineur/calculateur-de-combinaisons/?iframe=1.

Merci de créditer cette page sur votre site Internet en la citant à l’aide d’un lien cliquable. Vous pouvez aussi nous informer que vous avez incorporé notre application sur votre site en nous contactant sur contact@simiade.com. Ainsi, nous pourrons vous tenir au courant si nous avons effectué des modifications à notre application pouvant nécessiter une mise à jour de la part des webmasters de son affichage sur les sites où elle est incorporée.

Références

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Contactez-nous

Si vous avez des questions, commentaires ou suggestions, vous pouvez nous les transmettre ci-dessous :

Vous pouvez aussi nous contacter par courrier :

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Pologne
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/fr/