Calculadora de permutaciones y variaciones

Para calcular el número de variaciones, introduce el número de opciones (n), el número de veces que puedes elegir (normalmente indicado con k o r) y marca la casilla «Permitir repetición» si las opciones se pueden elegir más de una vez. Haz clic en el botón «Calcular» y los resultados se mostrarán debajo.

Número de elementos (n): Longitud de la sucesión (k o r): Permitir repetición: Base:

Resultado:

2026-06-21, por

Adam cuenta con un doctorado en Economía, redacta artículos técnicos y supervisa el desarrollo de aplicaciones en línea. Puedes encontrarlo en:
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¿Qué son las permutaciones y las variaciones?

Una permutación es una modificación del orden de los elementos en una sucesión. El número de permutaciones indica de cuántas formas diferentes se puede reordenar una sucesión de elementos.

Una variación de n elementos tomados de k en k es una forma de disponer k elementos dentro de un conjunto más grande de n elementos. La Calculadora de permutaciones y variaciones permite calcular el número de tales disposiciones para un valor dado de n y k. Algunas fuentes utilizan la letra r en lugar de la k, pero ambas significan lo mismo.

Existen dos tipos de variaciones de n elementos tomados de k en k. El primero comprende las sucesiones sin repetición, es decir, que cada uno de los n elementos puede usarse una única vez en una sucesión. En el segundo caso, los elementos pueden aparecer más de una vez en una sucesión, entonces tenemos variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k. Esta calculadora te permite calcular ambos tipos de variaciones.

Variaciones y combinaciones

Las variaciones a menudo se confunden con las combinaciones. En el lenguaje cotidiano, por ejemplo, se suele hablar sobre combinaciones de cifras que permiten abrir un candado o una caja fuerte. Sin embargo, hablando con precisión, una sucesión de cifras que abre un candado es por lo general una variación con repetición.

La diferencia entre las variaciones y las combinaciones, según estas se definen en las matemáticas, radica en el orden de los elementos. En el caso de las variaciones, el orden de los elementos es importante, de ahí que se hable de disposiciones y sucesiones. Sin embargo, en el caso de las combinaciones, el orden no importa, por lo que resulta más apropiado hablar de elegir elementos y de subconjuntos de elementos.

Un código que abre un candado es una sucesión en la que el orden de las cifras sí es importante, por lo que llamarlo «combinación», aunque sea común en el lenguaje cotidiano, no sería correcto desde un punto de vista matemático.

Si lo que te interesa son las combinaciones en lugar de las variaciones, visita nuestra Calculadora de combinaciones.

La fórmula de las variaciones

Vamos a partir de las variaciones en las que no están permitidas las repeticiones, es decir, las variaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k. Si estás construyendo sucesiones de longitud k utilizando n elementos, el número de todas las sucesiones diferentes posibles se obtiene mediante la fórmula:

V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!} .

En esta fórmula, n! indica el factorial de n. Además de $V_{n}^{k},$ algunas fuentes utilizan también otros símbolos:

V_{n}^{k} = V (n, k) = {}_{n}V_{k} = V_{n, k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Por otro lado, para las variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, es decir, aquellas en las que están permitidas las repeticiones, utilizamos la fórmula:

{V R}_{n}^{k} = n^{k} .

Se trata simplemente de n elevado a la potencia de k.

Por motivos técnicos, nuestra calculadora emplea los símbolos que se utilizan con más frecuencia en las fuentes de habla inglesa, es decir, $P (n, k)$ para las variaciones sin repetición y $U (n, k)$ para las variaciones con repetición.

Explicación de la fórmula de las variaciones

Imaginemos que necesitamos construir una sucesión de longitud k utilizando n elementos. Podemos colocar cualquiera de los n elementos al principio de la sucesión. En el caso de las variaciones sin repetición, el elemento elegido se eliminará del grupo y habrá solo $n - 1$ elementos disponibles para ocupar la segunda posición. A continuación, el segundo elemento que elijamos también se eliminará del grupo, por lo que habrá solo $n - 2$ elementos disponibles para ocupar la tercera posición. Y así continuará este proceso hasta completar el total de la sucesión, lo que resulta en la siguiente fórmula:

V_{n}^{k} = \underset{k factores}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Después podemos multiplicar y dividir esta fórmula por el mismo número sin cambiar su valor. Elegimos sabiamente $(n - k)!$ y obtenemos:

V_{n}^{k} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

En el caso de las variaciones con repetición, la situación al principio es similar: podemos elegir cualquiera de los n elementos para ocupar la primera posición en la sucesión. Sin embargo, como se permiten las repeticiones, este elemento no se elimina del grupo. De esta forma, aún habrá n elementos disponibles entre los que elegir para ocupar la segunda posición en la sucesión. Lo mismo aplica para la tercera posición, y así sucesivamente. Haremos k elecciones de este tipo y la fórmula final será:

{V R}_{n}^{k} = \underset{k factores}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Ejemplos de variaciones

Ejemplo: ¿Cuántas variaciones existen en una baraja de cartas?

Una baraja común se compone de 52 cartas. ¿De cuántas formas distintas se pueden disponer estas cartas? El número total de elementos disponibles es 52, por lo que n = 52. La longitud de la sucesión (el número de cartas que queremos incluir en nuestra disposición) es también 52, ya que nos interesa obtener las disposiciones de toda la baraja. Por tanto, k = 52. No hay repeticiones, ya que cada carta aparece una única vez en la disposición. Sabiendo esto, ya tenemos toda la información necesaria para poder aplicar la fórmula:

V_{52}^{52} = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Se trata de un número muy grande. Para obtener la solución exacta, puedes utilizar nuestra Calculadora de permutaciones y variaciones. Dado que en este caso se trata de una permutación ― un tipo especial de variación en la que el tamaño de la muestra es igual al número total de elementos (k = n) ― la fórmula se reduce a un simple factorial. Teniendo esto en cuenta, también puedes obtener la respuesta exacta calculando el factorial de 52.

Ejemplo: ¿Cuántas palabras de 3 letras se pueden crear a partir de la palabra AMOR?

Tenemos una palabra que se compone de cuatro letras diferentes. Queremos saber cuántas disposiciones de tres letras distintas se pueden construir utilizando estas letras. De nuevo, podemos utilizar cada letra una única vez, por lo que la fórmula será $V_{4}^{3} = 24 .$ Aquí tienes las 24 variaciones:

AMO

AMR

AOM

AOR

ARM

ARO

MAO

MAR

MOA

MOR

MRA

MRO

OAM

OAR

OMA

OMR

ORA

ORM

RAM

RAO

RMA

RMO

ROA

ROM

Ejemplo: ¿Cuántas formas existen de repartir 7 pelotas de diferentes colores entre 4 niños?

En este ejemplo, queremos darle una pelota a cada uno de los niños: Ana, Bruno, Carmen y David. Tenemos siete pelotas: blanca, naranja, azul, verde, amarilla, morada y marrón. ¿Cuántas formas diferentes existen de asignarle una pelota a cada niño? Una vez más, las variaciones nos ayudarán con este cálculo. Como no podemos darle la misma pelota a más de un niño, utilizaremos las variaciones sin repetición: $V_{7}^{4} = 840 .$

Por tanto, habrá 840 formas diferentes de distribuir las pelotas entre los niños.

Ejemplo: De una asociación de 20 miembros, ¿cuántas formas existen de elegir al presidente, al secretario y al tesorero?

Hay 20 personas que desean convertirse en presidente o presidenta de la asociación. Vamos a elegir una. Ahora que ya tenemos el puesto cubierto, habrá 19 personas deseando convertirse en secretario o secretaria. Por último, una vez cubiertos esos dos puestos, habrá 18 personas deseando convertirse en tesorero o tesorera. Multiplicamos estos números y obtenemos $20 \times 19 \times 18 = 6840$ formas posibles de elegir 3 personas para ocuparse de estas funciones.

Por lo general, cuando tenemos k puestos diferentes a ocupar y un grupo de n candidatos, hay exactamente $V_{n}^{k}$ formas de hacerlo. En este caso en particular, tenemos $V_{20}^{3} = 6840 .$

Ejemplo: ¿Cuántas «combinaciones» diferentes existen en un candado de 4 dígitos si no hay ceros?

No estamos ante un candado típico, pues los dígitos van del 1 al 9 en lugar del 0 al 9. El número de elementos será, por tanto, n = 9. La longitud de la sucesión será k = 4. Cada dígito se puede usar tantas veces como sea necesario, así que en este caso utilizaremos las variaciones con repetición. La fórmula será:

{V R}_{n}^{k} = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Existen 6561 «combinaciones» posibles. Si probar cada combinación nos lleva un segundo, deberíamos poder abrir el candado probando todas las combinaciones en menos de dos horas. Ten en cuenta que la palabra «combinaciones» utilizada en este ejemplo no es estrictamente correcta. Como el orden de los dígitos sí importa, deberíamos hablar más bien de variaciones con repetición, no de combinaciones.

Ejemplo: ¿Cuántas contraseñas diferentes existen?

La respuesta depende de la longitud de las contraseñas y del número de caracteres disponibles. Vamos a calcular, por ejemplo, cuántas contraseñas diferentes existen con 10 caracteres. Podemos utilizar letras mayúsculas y minúsculas del alfabeto latino (de la A a la Z y de la a a la z: 52 letras en total), dígitos (del 0 al 9) y caracteres especiales (hay 30):

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

En total, tenemos 52 + 10 + 30 = 92 caracteres diferentes. Como podemos utilizar cada carácter tantas veces como queramos, vamos a calcular las variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k. La fórmula será:

{V R}_{n}^{k} = n^{k} = 92^{10} = 43 438 845 422 363 213 824 .

Estamos ante un número muy grande de contraseñas únicas. Es prácticamente imposible que alguien adivine tu contraseña probando todas las «combinaciones» posibles. Eso sí, siempre y cuando hayas seleccionado los caracteres de forma aleatoria y no te hayas decantado por algo simple como admin12345 o Password@0.

Variaciones en Python

Si deseas calcular el número de variaciones en un lenguaje de programación como Python, puedes utilizar la fórmula de las variaciones para crear tu propia función:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

De forma similar, puedes utilizar la fórmula de las variaciones con repetición:

def nUk(n, k):
	return n**k

Si deseas generar todas las variaciones sin repetición, puedes escribir:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

Y para las variaciones con repetición:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Calculadora exponencial para números grandes

Como la fórmula de las variaciones con repetición es ${V R}_{n}^{k} = n^{k},$ puedes utilizar esta Calculadora de permutaciones y variaciones como una calculadora exponencial para calcular la potencia de un número. Esto puede ser especialmente útil en los casos en los que el resultado es enorme (por ejemplo, puedes obtener fácilmente el valor exacto de 3¹⁰⁰⁰), ya que las calculadoras tradicionales no suelen manejar bien resultados grandes. Marca la casilla «Permitir repetición» e introduce la base en el campo n y el exponente en el campo k. Únicamente están permitidos los números enteros no negativos.

Cómo utilizar la Calculadora de permutaciones y variaciones

Para utilizar esta calculadora, introduce el número de elementos entre los que elegir en el campo marcado con la letra n. El tamaño de la muestra, es decir, la longitud de la sucesión, se debe introducir en el campo de abajo (marcado con la letra k o r). Si deseas calcular las variaciones con repetición, marca la casilla «Permitir repetición». Después, haz clic en el botón «Calcular» para realizar los cálculos o en el botón «Borrar» para volver a introducir los valores.

El resultado se mostrará en el campo «Resultado» de abajo. Si el resultado es pequeño, este aparecerá en una única línea. Los números grandes se presentan de dos formas: la aproximación en notación científica se muestra arriba; el número exacto se muestra abajo. En caso de que ocurra algún error al realizar los cálculos, se mostrará este en lugar del resultado.

La calculadora únicamente admite números enteros no negativos. En el caso de las variaciones sin repetición, los números introducidos deberán además cumplir la condición k ≤ n. En el caso de las variaciones con repetición, ambos números no pueden ser 0 al mismo tiempo, ya que el valor de 0⁰ es indeterminado. No existe un límite máximo en lo que respecta a los valores que se pueden introducir. En principio, deberías poder obtener sin problemas números grandes, como en el caso de n = 8000000000 y k = 1000 (por ejemplo, la cantidad de formas diferentes que existen de elegir 1000 personas del total de la población mundial). También se pueden obtener resultados mucho más grandes dependiendo de la configuración de tu sistema. Sin embargo, puede llevar bastante tiempo calcular un resultado grande o, si los cálculos exceden la capacidad de tu dispositivo, es posible que la página se bloquee.

Puedes elegir la base en la que quieres que se muestren los resultados. El valor por defecto es 10; es decir, los resultados se muestran utilizando el sistema decimal. Para la base, puedes utilizar cualquier número natural entre 2 y 36. Sin embargo, únicamente los resultados se mostrarán con la base seleccionada. Los valores que introduzcas en los campos de n y k se tratarán siempre como si hubieran sido escritos utilizando una base decimal.

Tienes la opción de 1) copiar el resultado en el portapapeles, 2) descargar el resultado como un archivo de texto, 3) imprimir el resultado, 4) copiar el enlace al resultado en el portapapeles y 5) borrar el contenido del campo «Resultado». Para activar cualquiera de estas opciones, utiliza el icono correspondiente ubicado encima del campo «Resultado».

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Narkiewicz A. (2026-06-11). Calculadora de permutaciones y variaciones, https://minesweeper.us/buscaminas/calculadora-de-permutaciones-y-variaciones/.

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Bibliografía

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

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