阶乘计算器

若要计算阶乘，请在“阶乘数值”输入框中输入一个数字，然后点击“计算”。计算结果将显示在“结果”栏中。

阶乘数值：

底数：

结果：

2026-02-03，由编写

Adam 拥有经济学博士学位，负责撰写技术类文章，并监督在线应用程序的开发工作。你可以通过以下链接查看他的资料：
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

什么是阶乘？

要计算一个数的阶乘，需要将从一开始一直到该数的所有正整数相乘。书写阶乘时，使用感叹号表示。例如，

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 ，

可以读作“四的阶乘等于24”，或“四的阶乘是24”。

阶乘只能用于非负整数（即大于或等于0的自然数）。为方便起见，数学家规定 $0! = 1$ ，也就是说，零的阶乘等于一。

阶乘公式

给定整数 n 的阶乘可以用以下任意一种公式来计算：

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

所有的这些公式得到的结果都是一样的。公式（1）直接遵照阶乘的定义计算（即将从一到 n 的所有自然数相乘）。公式（2）是公式（1）的简写形式，使用了连乘符号表示。公式（3）是一个递归公式，可以读作“n 的阶乘等于 n 乘以 n − 1的阶乘”。

阶乘的应用示例

阶乘有多种不同的应用场景。例如，在组合数学和概率论中，阶乘被广泛使用，因为它们可以用来表示一组不同对象有多少种安排方式。具体而言，阶乘出现在排列与组合的计算公式中。此外，阶乘还被应用于数学的许多其他分支领域。

示例：排列3种物品有多少种方式？

假设我们有三件物品：一个苹果、一个梨子、一个香蕉。我们需要决定吃它们的顺序。一开始，我们有三样水果可以选。在我们吃了第一个选中的水果后，我们还剩两样水果可以选。最后只剩一个水果的时候，我们没有任何选择——只能吃剩下的这种水果。所以，我们排列水果的方式有 $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 种：

苹果, 梨子, 香蕉

苹果, 香蕉, 梨子

梨子, 苹果, 香蕉

梨子, 香蕉, 苹果

香蕉, 苹果, 梨子

香蕉, 梨子, 苹果

示例：4个数字可以有多少种排列方式？

假设我们有四个数字，从1到4。那么，这些数字一共有多少种不同的排列方式呢？答案是 $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ 种。这里是所有的24种可能出现的排列方式：

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

这种计算方式仅适用于四个数字完全不同的情况。如果存在重复的数字，例如，我们的数字是3、5、5和7，那么我们就没办法简单地用阶乘计算——整个计算公式就会变得更复杂。下一则示例将对这种情况作更详细的说明。

示例：5个字可以有多少种排列方式？

“换汤不换药”这则谚语中的字可以有多少种排列方式？答案是 $5! = 120$ 种。排列的可能性非常多！

不过，这个简单的公式只适用于没有重复字母的情况。如果单词中存在重复字母，就需要先对单词的长度取阶乘，然后除以每种重复字母的重复次数的阶乘。例如，单词“MISSISSIPPI”一共有11个字母，其中S和I各出现了4次，而P出现了2次。因此，这个单词中的字母一共可以排列成34,650种不同的方式：

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650 .

为什么需要把这些阶乘放在分母中呢？举例来说，如果四个S中的任意两个交换位置，单词本身并不会发生变化。由于S一共有4个，它们之间共有4!种不同的排列方式，而这些排列方式最终产生的单词都是一样的。我们需要去除这些重复的情况，所以需要将总体的阶乘结果除以4!。

示例：一副52张牌可以有多少种洗牌方式？

在最后这个示例中，我们来计算一副52张牌可以有多少种不同的排列方式。很显然，答案就是52的阶乘。这是一个特别大的数字：52! = 80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000，大约的值是 $52! \approx 8.066 \times 10^{67}$ .

这意味着，只要洗牌足够充分，几乎不可能在任何时候再次遇到完全相同的牌序。

某个数字的阶乘是……

这里有一些常用的阶乘值：

问题	答案
0的阶乘是多少？	0的阶乘是1.
1的阶乘是多少？	1的阶乘是1.
2的阶乘是多少？	2的阶乘是2.
3的阶乘是多少？	3的阶乘是6.
4的阶乘是多少？	4的阶乘是24.
5的阶乘是多少？	5的阶乘是120.
6的阶乘是多少？	6的阶乘是720.
7的阶乘是多少？	7的阶乘是5,040.
8的阶乘是多少？	8的阶乘是40,320.
9的阶乘是多少？	9的阶乘是362,880.
10的阶乘是多少？	10的阶乘是3,628,800.
52的阶乘是多少？	52的阶乘是80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000.
100的阶乘是多少？	100的阶乘是93,326,215,443,944,152,681,699,238,856,266,700,490,715,968,264,381,621,468,592,963,895,217,599,993,229,915,608,941,463,976,156,518,286,253,697,920,827,223,758,251,185,210,916,864,000,000,000,000,000,000,000,000.

100的阶乘可以用科学记数法近似表示为： $100! \approx 9.333 \times 10^{157}$ .

Python中的阶乘

如果你正在使用 Python 这样的编程语言，你可以使用内置的函数：

import math
math.factorial(n)

但是，如果你想要编写你自己的阶乘函数，也可以用递归算法实现：

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

或者也可以使用迭代方法：

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

负数的阶乘

阶乘只定义了非负整数范围的计算。人们曾尝试将阶乘推广到实数和复数，但大家得到普遍的共识是：仍然无法定义负数的阶乘。例如，伽马函数将阶乘的适用范围推广到了所有的复数——除了负整数。

阶乘的近似值计算

当 n 较大的时候，将所有整数一直相乘到 n 会非常耗时，因此数学家提出了一些用于快速近似计算阶乘的公式。下面列出了其中两种著名的近似值公式。

斯特林公式

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

拉马努金公式

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

如何使用阶乘计算器？

开始使用计算器时，请在“阶乘数值”栏中输入一个数字，然后点击“计算”按钮。计算结果将显示在下方。如果结果是一个非常大的数值，系统会以两种方式展示：上方显示较短的、采用科学记数法表示的近似结果，下方则显示精确结果。

该计算器只能用于计算从0开始的整数。没有预设的上限——只要你的设备和浏览器性能支持，就可以输入无限大的数字。在桌面电脑上，某些版本的 Chrome 浏览器可以轻松计算10,000,000的阶乘，而 Firefox 和 Safari 在处理超过60,000的数值时可能会遇到困难。

如果数字较大，可能需要耗费数秒进行计算，显示结果所需时间甚至更长。如果输入的数字过大，系统会显示错误提示。有时页面可能不会显示提示信息，而是直接崩溃，此时需要重新加载页面。

计算器提供了一个选项，可以以非十进制的底数显示结果。你可以指定2到36之间的任意进制。例如，如果希望以十六进制形式显示结果，可以输入16。需要注意的是，如果结果以科学记数法显示，尾数和指数都会采用所选的底数。相对的，输入值会始终以十进制读取并显示。

引用或嵌入本内容

你可以免费使用本网站的内容，包括用于商业用途，但需注明本网站为来源。如果你在学术文本中引用本内容，可使用以下参考文献格式：

Narkiewicz A.，阶乘计算器，https://minesweeper.us/扫雷/阶乘计算器/，访问日期：2026-02-06.

如需在互联网上引用本网站，可以直接链接主网址（https://minesweeper.us/扫雷/阶乘计算器/），或者，如果你希望链接某个特定的结果，则可使用“复制链接到剪贴板”按钮。

你也可以使用 iframe 元素将本页面嵌入到你的网站中。如果你只想要在页面中展示计算器，隐藏其余内容（如菜单、文章等），可以在 iframe 的 src 属性中使用以下网址：https://minesweeper.us/扫雷/阶乘计算器/?iframe=1.

请在你的网站上附上可点击的链接，注明并引用本页面。你也可以发送电子邮件至 contact@simiade.com 告知我们你已在网站中嵌入了我们的应用。这样一来，如果我们对应用进行了更新，更新结果可能影响网站的展示方式，我们会及时通知你，方便你的网站管理员作出相应调整。

参考文献

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

联系我们

如果你有任何疑问、意见或者建议，请在此留下你的反馈意见：

或者你也可以通过邮件联系我们：

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
波兰
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/zh/