Калькулятор факториалов

Чтобы вычислить факториал, введите число в поле «Факториал числа» и нажмите «Вычислить». Результат будет отображен в поле «Результат».

Факториал числа:

Основание:

Результат:

2026-03-24, автор:

Адам имеет докторскую степень по экономике, отвечает за написание технических статей и курирует разработку онлайн-приложений. Вы можете найти его в:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Что такое факториал?

Чтобы получить факториал числа, нужно умножить все натуральные числа, начиная с единицы и заканчивая этим числом. Для обозначения факториала используется восклицательный знак. Например,

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24,

что можно прочитать как «факториал четырех равен 24».

Факториалы определяются только для неотрицательных целых чисел (целых чисел, равных или превосходящих 0). Для удобства математики решили, что $0! = 1$ , то есть факториал нуля равен единице.

Формула факториала

Факториал заданного числа n может быть вычислен с помощью любой из следующих формул:

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

Все эти формулы дают один и тот же результат. Формула (1) следует из определения (умножение всех натуральных чисел, начиная с единицы и заканчивая n). Формула (2) является сокращенной версией формулы (1), записанной с использованием оператора произведения. Формула (3) — это рекурсивная формула, которую мы можем прочитать как «факториал n равен n умноженному на факториал n минус один».

Использование факториалов — примеры

Факториалы используются во многих сферах. Например, они популярны в комбинаторике и теории вероятностей поскольку позволяют определить, сколькими способами можно упорядочить набор различных объектов. В частности, факториалы используются в формулах размещений и сочетаний. Они также используются во многих других областях математики.

Пример: сколько существует способов упорядочить 3 объекта?

Предположим, у нас есть три объекта: яблоко, банан и кокос. Нам нужно решить, в каком порядке их есть. Сначала у нас есть три варианта того, что съесть в первую очередь. После того, как мы съели первый фрукт, у нас остается два варианта того, что есть дальше. Когда остается только один фрукт, у нас больше нет выбора — мы можем съесть только тот, что остался. Таким образом, фрукты можно упорядочить $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способами:

Яблоко, Банан, Кокос

Яблоко, Кокос, Банан

Банан, Яблоко, Кокос

Банан, Кокос, Яблоко

Кокос, Яблоко, Банан

Кокос, Банан, Яблоко

Пример: сколько существует способов расположить 4 числа?

Предположим, у нас есть четыре числа от 1 до 4. Сколько существует способов их расположить? Ответ: $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ . Вот все 24 возможных варианта:

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

Это работает только в том случае, если у нас четыре разных цифры. Если некоторые цифры повторяются, например, 3, 5, 5 и 7, то нельзя просто использовать факториал — формула станет более сложной. Более подробно это объясняется в следующем примере.

Пример: сколько существует способов расположить 5 букв?

Сколько существует способов расположить буквы в слове «ФРУКТ»? Ответ: $5! = 120$ . Очень много!

Эта простая формула работает только в том случае, если в слове нет повторяющихся букв. Если они есть, необходимо рассчитать факториал длины слова и разделить его на факториал количества повторений для каждой буквы. Например, слово «MISSISSIPPI» состоит из 11 букв, но буквы S и I повторяются четыре раза, а P — два раза. Таким образом, буквы в этом слове можно расположить 34 650 способами:

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650 .

Почему необходимо поместить эти факториалы в знаменатель? Например, если две из четырех букв S поменяются местами, слово не изменится. Поскольку в слове четыре буквы S, существует 4! способа их перестановки. Нам нужно исключить все эти размещения, поскольку в результате получаются идентичные слова. Для этого мы делим основной факториал на 4!.

Пример: сколько существует способов перетасовать колоду из 52 карт?

В этом последнем примере мы узнаем, сколько существует способов перетасовать колоду из 52 карт. Это, конечно же, факториал числа 52, то есть очень большое число: 52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 или примерно $52! \approx 8,066 \times 10^{67}$ .

Это означает, что если вы хорошо перетасуете карты, то вероятность того, что вам дважды выпадет одна и та же комбинация, практически равна нулю.

Чему равен факториал числа...

Вот некоторые популярные факториалы:

Вопрос	Ответ
Чему равен факториал 0?	Факториал 0 равен 1.
Чему равен факториал 1?	Факториал 1 равен 1.
Чему равен факториал 2?	Факториал 2 равен 2.
Чему равен факториал 3?	Факториал 3 равен 6.
Чему равен факториал 4?	Факториал 4 равен 24.
Чему равен факториал 5?	Факториал 5 равен 120.
Чему равен факториал 6?	Факториал 6 равен 720.
Чему равен факториал 7?	Факториал 7 равен 5040.
Чему равен факториал 8?	Факториал 8 равен 40 320.
Чему равен факториал 9?	Факториал 9 равен 362 880.
Чему равен факториал 10?	Факториал 10 равен 3 628 800.
Чему равен факториал 52?	Факториал 52 равен 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.
Чему равен факториал 100?	Факториал 100 равен 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

Факториал 100 можно приблизительно вычислить с помощью экспоненциальной записи: $100! \approx 9,333 \times 10^{157}$ .

Факториал в Python

Если вы используете такой язык программирования, как Python, вы можете воспользоваться встроенной функцией:

import math
math.factorial(n)

Но если вы хотите написать собственную функцию факториала, можно использовать рекурсию:

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

Или итерации:

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

Факториал отрицательного числа

Факториалы определяются только для неотрицательных целых чисел. Было много попыток универсализировать факториал для работы с действительными и комплексными числами. Однако существует общепринятое мнение, что факториал отрицательного числа должен оставаться неопределенным. Например, гамма-функция универсализирует факториал для всех комплексных чисел, за исключением... отрицательных целых чисел.

Аппроксимация факториала

Умножение всех целых чисел до n может занимать много времени, особенно если n — большое число, поэтому математики разработали формулы, которые быстро аппроксимируют факториалы. Две такие известные формулы приведены ниже.

Формула Стирлинга

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

Аппроксимация Рамануджана

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

Как использовать Калькулятор факториалов?

Чтобы воспользоваться этим калькулятором, введите число в поле «Факториал числа» и нажмите кнопку «Вычислить». Результат будет отображен ниже. Если в результате получится большое число, оно будет отображено двумя способами: более короткий, приблизительный результат в экспоненциальной записи будет показан выше, а точный результат — ниже.

Калькулятор работает только с натуральными числами, начиная с 0. Верхний предел не установлен — если ваше устройство и веб-браузер позволяют, вы можете ввести любое число. На стационарных компьютерах некоторые версии Chrome могут легко вычислить факториал 10 000 000, тогда как Firefox и Safari иногда с трудом справляются с числами выше 60 000.

Если число большое, то на вычисление результата может уйти несколько секунд, а на его отображение на экране — еще больше времени. Если введенное число слишком большое, появится сообщение об ошибке. Иногда вместо сообщения страница просто зависает, и ее нужно перезагрузить.

Предусмотрена возможность отображения результата с использованием основания, отличного от 10. Вы можете указать любое число от 2 до 36. Например, если вы хотите получить результат в шестнадцатеричном виде, введите 16. Важно помнить, что результат, отображаемый в экспоненциальной записи, использует выбранное основание как в мантиссе, так и в экспоненте. А исходные данные при этом всегда считываются и отображаются с использованием основания 10.

Предоставление ссылки или внедрение этого контента

Вы можете использовать этот веб-сайт бесплатно, в том числе в коммерческих целях, при условии указания его в качестве источника. Если вы упоминаете его в научном тексте, вы можете использовать следующую ссылку:

Наркевич А., Калькулятор факториалов, https://minesweeper.us/сапер/калькулятор-факториалов/, дата просмотра 2026-03-02.

Чтобы сослаться на этот веб-сайт в Интернете, вы можете использовать его основной URL-адрес (https://minesweeper.us/сапер/калькулятор-факториалов/) или, если хотите сделать ссылку на конкретный результат, воспользуйтесь кнопкой «Скопировать ссылку в буфер обмена».

Вы также можете внедрить эту страницу на свой веб-сайт с помощью элемента iframe. Если вы хотите, чтобы на странице отображался только калькулятор, а все остальное содержимое (меню, статья и т. д.) было скрыто, используйте следующий URL-адрес в атрибуте src: https://minesweeper.us/сапер/калькулятор-факториалов/?iframe=1.

Пожалуйста, добавьте указание на эту страницу на своем веб-сайте, добавив гиперссылку. Вы можете сообщить нам о том, что разместили наше приложение на своем веб-сайте, отправив электронное письмо по адресу: contact@simiade.com. Это позволит нам уведомлять вас обо всех изменениях в нашем приложении, которые могут потребовать от администраторов веб-сайтов обновления способа его отображения на сайтах.

Ссылки

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

Контакты

Если у вас есть вопросы, комментарии или предложения, вы можете оставить их здесь:

Вы также можете связаться с нами по почте:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Польша
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/ru/