Kalkulator kombinacji

Witamy w Kalkulatorze kombinacji. Wprowadź liczbę elementów zbioru (n) i liczbę wyborów (k lub r). Zaznacz pole wyboru poniżej, jeśli chcesz aktywować powtórzenia, a następnie kliknij przycisk „Oblicz”.

Liczba elementów (n): Wielkość próby (k lub r): Zezwalaj na powtórzenia: Podstawa:

Wynik:

2025-12-28,

Adam jest doktorem ekonomii. Jest odpowiedzialny za tworzenie specjalistycznych artykułów oraz nadzoruje rozwój aplikacji internetowych. Znajdziesz go na:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Wzór na kombinacje

Kombinacja informuje nas o tym, które k elementów wybrać z większego zbioru o rozmiarze n. Często mówi się na to kombinacja k-elementowa z n elementów, której nie należy mylić z k-wyrazową wariacją zbioru n-elementowego. W przypadku kombinacji kolejność wybranych elementów nie ma znaczenia, natomiast w przypadku wariacji kolejność jest istotna.

Na ile sposobów można wybrać k elementów z większego zbioru n elementów? Symbol oznaczający liczbę k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego bez powtórzeń (tzn. gdy każdy wybrany element jest usuwany z puli i nie może być wybrany ponownie) to $C (n, k) .$ W źródłach można również znaleźć symbole ${}_{n}C_{k}$ lub $(\binom{n}{k})$ – szczególnie ten drugi jest bardzo popularny. W związku z tym możemy zapisać

C (n, k) = {}_{n}C_{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!},

gdzie n! oznacza n silnia. Z drugiej strony symbol oznaczający liczbę k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego z powtórzeniami (czyli takich kombinacji, w których wybrane elementy wracają do puli i mogą zostać ponownie wybrane) to $E (n, k)$ . Czasem zapisuje się go również pod postacią $((\binom{n}{k})) :$

E (n, k) = ((\binom{n}{k})) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Kombinacje i wariacje bez powtórzeń są ze sobą powiązane wzorem

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} .

Liczba wariacji jest podzielona przez k!, aby uwzględnić kolejność elementów, która, choć nie ma znaczenia w kombinacjach, ma znaczenie w wariacjach. Jeśli interesują Cię sytuacje, w których kolejność wybranych elementów odgrywa rolę, sprawdź nasz Kalkulator wariacji i permutacji.

Przykłady użycia kombinacji

Ile razy uścisną sobie dłonie członkowie stuosobowej grupy?

Wyobraź sobie, że jesteś na dużym przyjęciu. Włącznie z Tobą jest na nim stu gości. Witając się z każdym po kolei, zastanawiasz się, ile razy ludzie uścisnęliby sobie dłonie, gdyby każdy przywitał się z każdym.

W sumie jest n = 100 ludzi. Ile różnych par można stworzyć w takiej grupie? Innymi słowy, ile jesteśmy w stanie utworzyć 2-elementowych kombinacji ze 100? Odpowiedź wynosi:

C (100, 2) = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950 .

Łącznie miałoby miejsce 4950 takich przywitań. Zauważ, że używamy kombinacji bez powtórzeń, ponieważ dana osoba nie może przywitać się sama ze sobą!

Ile różnych układów kart jest możliwych w pokerze?

Rozważmy grę bez jokerów – w takim wypadku nasza talia ma 52 karty. Wybieramy pięć kart bez powtórzeń (ponieważ nie możemy pociągnąć dwa razy tej samej karty). Ich kolejność nie ma znaczenia, a więc możemy użyć k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego bez powtórzeń, gdzie k = 5, a n = 52:

(\binom{52}{5}) = 2598960 .

Wynika z tego, że istnieje 2 598 960 różnych rozdań w pokerze. Mając tę wiedzę, możemy teraz obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania każdego z dziewięciu następujących układów.

Szanse na otrzymanie karety

Aby obliczyć szanse na uzyskanie karety, musimy najpierw wybrać powtarzającą się wartość (13 możliwości), a następnie piątą kartę (48 możliwości). Istnieje zatem $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ możliwych układów z karetą, co oznacza, że otrzymanie jednej z nich przypadkiem podczas rozdania wynosi $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0,024% .$

Szanse na otrzymanie fula

Obliczenie szans na otrzymanie fula jest nieco trudniejsze. Najpierw musimy wybrać wartość pary (13 możliwości) i wartość trójki (12 możliwości – nie może to być taka sama, jak wartość pary, stąd odejmujemy jedną z opcji). Następnie musimy wziąć pod uwagę wszystkie możliwe kombinacje kolorów. Istnieją $(\binom{4}{2})$ takie kombinacje dla pary i $(\binom{4}{3})$ kombinacje dla trójki. Na koniec mnożymy te wszystkie liczby, aby uzyskać ogólną liczbę możliwych układów z fulem:

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744 .

Istnieją 3744 różne układy z fulem, a więc prawdopodobieństwo przypadkowego otrzymania jednego z nich wynosi $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0,144% .$ W praktyce oznacza to, że otrzymanie w rozdaniu fula jest sześć razy bardziej prawdopodobne niż otrzymanie karety.

Szanse na otrzymanie koloru

Kolor w pokerze oznacza pięć kart tego samego koloru (tj. kier, pik, trefl lub karo). Najpierw wybieramy kolor kart spośród czterech możliwości. Następnie wybieramy pięć kart z 13 dostępnych w tym kolorze – istnieje na to $(\binom{13}{5})$ sposobów. Podstawiając tę liczbę do wzoru, widzimy, że ogólna liczba układów z kolorem wynosi:

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148 .

Szanse na otrzymanie koloru w rozdaniu wynoszą zatem $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx 0,198% .$

Uwaga! Powyższy wzór obejmuje również szanse na otrzymanie pokera, czyli takiego koloru, w którym karty są nie tylko tego samego koloru, ale również występują w kolejności wg rangi. Jeśli chcesz obliczyć szanse na otrzymanie „zwykłego” koloru, w którym karty nie występują w kolejności wg rangi, musisz odjąć wynik otrzymany w obliczeniach dotyczących pokera (zob. poniżej) od otrzymanego powyżej prawdopodobieństwa.

Szanse na otrzymanie strita

W tym układzie interesuje nas sekwencja pięciu kolejnych kart. Ich kolor nie ma tu znaczenia. Aby określić liczbę takich układów, musimy najpierw wybrać najwyższą kartę. Może to być kolejno as, król, dama, walet, 10, 9, 8, 7, 6 i 5 (as może też posłużyć za najniższą kartę w sekwencji 5-4-3-2-as), mamy więc 10 kart do wyboru. Po wyborze najwyższej karty, wartości wszystkich pozostałych kart w układzie będą już ustalone. Następnie musimy wybrać kolor naszych kart. Mamy cztery możliwości i musimy wybrać kolor dla każdej z pięciu kart z osobna. To oznacza, że musimy użyć 5-elementowych wariacji z 4 z powtórzeniami. Wzór na liczbę takich wariacji to 4⁵. Ogólna liczba możliwych rozdań ze stritem wynosi zatem:

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240 .

Szanse na otrzymanie strita w rozdaniu są równe $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx 0,394% .$

Uwaga! Powyższy wzór obejmuje również szanse na otrzymanie pokera, czyli takiego strita, w którym karty występują nie tylko w kolejności wg rangi, ale są również tego samego koloru. Jeśli chcesz obliczyć szanse na otrzymanie „zwykłego” strita, w którym karty nie są w tym samym kolorze, musisz odjąć wynik otrzymany w obliczeniach dotyczących pokera (zob. poniżej) od otrzymanego powyżej prawdopodobieństwa.

Szanse na otrzymanie pokera

Poker to jeden z najbardziej wartościowych i najrzadszych układów. W pokerze karty są ułożone w sekwencji, jak w stricie, ale są przy tym tego samego koloru (stąd alternatywna nazwa dla układu – strit w kolorze). Aby dowiedzieć się, ile istnieje rozdań z pokerem, musimy najpierw wybrać najwyższą kartę. Jak w przypadku strita, mamy tu 10 możliwości. Po określeniu wartości kart w układzie wybieramy kolor – tu możliwości są cztery. Ostatecznie wzór ma postać:

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40 .

Istnieje jedynie 40 rozdań z pokerem, czyli szanse na otrzymanie go przypadkiem wynoszą $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx 0,00154% .$

Uwaga! Powyższy wzór obejmuje również szanse na otrzymanie pokera królewskiego (zob. poniżej). Jeśli chcesz obliczyć szanse na otrzymanie pokera, który nie jest jednocześnie pokerem królewskim, musisz odjąć wynik otrzymany w obliczeniach dotyczących pokera królewskiego od otrzymanego powyżej prawdopodobieństwa.

Szanse na otrzymanie pokera królewskiego

Szanse na otrzymanie pokera królewskiego są jeszcze mniejsze niż w przypadku zwykłego pokera. Jest tak dlatego, że poker królewski jest jak zwykły poker, w którym najwyższą kartą jest as. Wartości poszczególnych kart w tym układzie są więc zawsze takie same: as, król, dama, walet i 10. Jedyne, co może się zmieniać, to kolor, ale ponieważ karty mają tylko cztery kolory, istnieją tylko cztery rozdania z pokerem królewskim. Szanse na otrzymanie jednego z nich wynoszą $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx 0,000154% .$ To 10 razy mniej niż szanse na otrzymanie zwykłego pokera.

Szanse na otrzymanie trójki

Aby uzyskać trójkę, musimy najpierw wybrać wartość powtarzających się kart. Mamy 13 możliwości. Następnie z pozostałych 12 wybieramy wartości dwóch pozostałych kart. Musimy mieć pewność, że nie stworzą one pary (wtedy mielibyśmy fula, a nie trójkę), więc obliczamy 2-elementowe kombinacje z 12 bez powtórzeń: $(\binom{12}{2}) .$ Na koniec musimy wybrać kolory. Najpierw wybierzemy kolory trójki – $(\binom{4}{3})$ – a następnie kolory pozostałych dwóch kart. A ponieważ pozostałe dwie karty mają różne wartości, użyjemy 2-elementowych wariacji z 4 z powtórzeniami, co da nam 4². Łącznie wszystkie te czynniki dadzą nam wzór:

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912 .

Szanse na otrzymanie w rozdaniu trójki wynoszą $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx 2,11% .$

Szanse na otrzymanie dwóch par

IIle jest różnych sposobów otrzymania w rozdaniu dwóch par? Najpierw musimy wybrać wartości par: $(\binom{13}{2}) .$ Następnie wybieramy wartość piątej karty: $(\binom{11}{1}) .$ Gdy wzięliśmy już pod uwagę wartości, musimy wybrać kolor kart w parach. W każdej z par karty muszą być innego koloru, więc mamy $(\binom{4}{2})$ sposoby na wybranie kolorów w niższej parze i $(\binom{4}{2})$ sposoby na wybranie kolorów w wyższej parze. Na koniec wybieramy jeszcze kolor piątej karty, na co istnieją cztery opcje. Po pomnożeniu wszystkich tych czynników otrzymujemy:

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552 .

Szanse na otrzymanie w rozdaniu dwóch par wynoszą $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx 4,75% .$

Szanse na otrzymanie pary

Na koniec przyjrzymy się, jakie są szanse na otrzymanie w rozdaniu pojedynczej pary. Możemy to obliczyć w następujący sposób: 1) Wybieramy wartość pary, czyli $(\binom{13}{1}) .$ 2) Wybieramy wartości pozostałych kart, czyli $(\binom{12}{3}) .$ 3) Wybieramy kolory kart w parze, czyli $(\binom{4}{2}) .$ 4) Wybieramy kolory pozostałych trzech kart, czyli 4³. Być może zastanawiasz się, dlaczego wybieramy wartości trzech różnych kart za pomocą kombinacji (stąd $(\binom{12}{3})$ ), ale ich kolory za pomocą wariacji (stąd 4³). Do wyboru wartości kart musimy użyć kombinacji, bo nie ma znaczenia, w jakiej kolejności ułożymy te karty na ręce – jeśli zmienimy ich kolejność, wciąż będziemy mieli to samo rozdanie. Z drugiej strony mamy tu do czynienia z trzema kartami o różnych wartościach, więc mają one swoją naturalną kolejność – od najwyższej do najniższej. Możemy wykorzystać tę naturalną kolejność, aby zidentyfikować każdą kartę przy wyborze jej koloru. Najpierw wybierzemy kolor najwyższej karty, później środkowej, a na końcu kolor najniższej karty. Przy każdym z tych wyborów mamy cztery opcje do wyboru, co daje nam $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ możliwości.

Podsumowując, całkowita liczba rozdań z pojedynczą parą wynosi:

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240,

a prawdopodobieństwo otrzymania jednego z nich to $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx 42,3% .$ Możesz samodzielnie zweryfikować poprawność tego wyniku. Przetasuj talię i wylosuj pięć kart. Udało Ci się wyciągnąć parę? Zapisz swoją odpowiedź i powtórz tę czynność kilka razy – para powinna trafiać się nieco rzadziej niż w co drugim przypadku.

Jakie są szanse na wygraną na loterii?

W wielu krajach odbywają się regularne loterie polegające na tym, że z dużego zbioru piłeczek z numerami wybiera się kilka z nich. Kto wytypuje poprawne liczby, wygrywa, a takie wygrane są często bardzo wysokie. W Polsce przykładem takiej loterii jest Lotto. W tej loterii mamy do wyboru sześć liczb z przedziału od 1 do 49 (bez powtórzeń). Liczba wszystkich możliwych kombinacji wynosi:

(\binom{49}{6}) = 13983816 .

Istnieje zatem 13 983 816 sposobów na wytypowanie liczb w Lotto. Innymi słowy, żeby mieć pewność najwyższej wygranej, trzeba by kupić 13 983 816 zakładów. Przy zakupie tylko jednego zakładu szanse na wygraną wynoszą 1 : 13 983 816, czyli około 0,00000715%.

Na ile sposobów można dobrać przekąski na imprezę?

W tym przykładzie wyobraź sobie, że idziesz na imprezę do swojego znajomego. Poproszono Cię o przyniesienie jakichś przekąsek, więc chcesz przynieść trzy różne rodzaje: chipsy, ciasteczka i krakersy. Zamierzasz kupić pięć paczek. Ile istnieje możliwych kombinacji przekąsek spełniających te warunki?

Od razu zauważymy, że mamy trzy elementy do wyboru, a więc n = 3. Ich kolejność nie ma znaczenia. Wiemy też, że możemy kupić więcej niż jedną paczkę każdego rodzaju. Wynika z tego, że musimy użyć 5-elementowych kombinacji z 3 z powtórzeniami, czyli wzór będzie miał postać:

E (3, 5) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21 .

Istnieje 21 sposobów dobrania wspomnianych przekąsek na imprezę. Żeby sprawdzić, czy nasze obliczenia się zgadzają, wypiszemy wszystkie możliwe kombinacje (dla uproszczenia, oznaczymy przekąski literami A, B i C):

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

Wyjaśnienie wzoru na liczbę kombinacji

Kombinacja k-elementowa ze zbioru n-elementowego bez powtórzeń

Wzór na k-elementowe kombinacje ze zbioru n-elementowego bez powtórzeń (czasem nazywane też wzorem na „kombinacje z n po k” to:

$C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .$

Aby upewnić się, czy to na pewno prawidłowy wzór, prześledzimy proces wybierania k liczb z zakresu od 1 do n. Zaczniemy od umieszczania wybranych liczb w ciągu o długości k. Na pierwszym miejscu ciągu możemy umieścić dowolną z n liczb. Po usunięciu pierwszej liczby z puli, mamy do wyboru n − 1 liczb, które możemy umieścić na drugim miejscu w ciągu. Tę liczbę również usuwamy z puli, co daje nam n − 2 liczb do wyboru na miejsce numer trzy. Kontynuujemy w ten sposób, aż zapełnimy cały ciąg o długości k. Aby uzyskać ogólną liczbę takich ciągów (która jest równa liczbie k-elementowych wariacji ze zbioru n-elementowego bez powtórzeń), musimy pomnożyć liczbę możliwości dostępnych na każdym kroku tej operacji:

P (n, k) = \underset{k czynników}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Przedstawione wyżej mnożenie to po prostu iloczyn k największych czynników silni. Wynika z tego, że możemy zapisać go jako

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!},

gdzie silnia w mianowniku skraca się z n − k najmniejszymi czynnikami w liczniku, tak że to, co zostaje, zgadza się z poprzednim wzorem.

To jednak jeszcze nie koniec; jak dotąd policzyliśmy jedynie liczbę wariacji, a nie kombinacji. W przypadku wariacji kolejność elementów ma znaczenie – zwracaliśmy na nią uwagę, tworząc ciąg. Wybraliśmy liczbę na pozycję nr 1, kolejną na pozycję nr 2, nr 3 i tak dalej. Teraz chcemy potraktować wszystkie ciągi złożone z tych samych liczb jako jedną kombinację. Ile różnych ciągów da się zatem stworzyć, używając k różnych liczb? Odpowiedź jest prosta: k!. Liczba wariacji jest k! razy większa od liczby kombinacji, więc aby uzyskać liczbę kombinacji, musimy podzielić liczbę permutacji przez k!:

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Kombinacja k-elementowa ze zbioru n-elementowego z powtórzeniami

Jak wyprowadzić wzór na k-elementowe kombinacje ze zbioru n-elementowego z powtórzeniami? Każdy z n elementów może być wybrany między 0 i k razy. Możemy więc sobie wyobrazić n koszy ponumerowanych od 1 do n. Każdy kosz zawiera maksymalnie k piłek, a całkowita liczba piłek we wszystkich koszach równa się k. Kosze reprezentują elementy, a piłki w danym koszu informują nas, ile razy wybieramy element reprezentowany przez ten kosz.

Jak opisać, ile jest piłek w każdym z koszy za pomocą ciągu liczb? Możemy stworzyć ciąg n − 1 liczb, zbudowany w następujący sposób: n-ta liczba ciągu mówi nam, ile piłek i koszy jest w sumie od pierwszego do n-tego kosza. Dla przykładu, pierwsza liczba tego ciągu to jeden plus liczba piłek w pierwszym koszu (czyli może to być jakakolwiek liczba z przedziału od 1 do k + 1). Druga liczba to dwa plus liczba piłek w pierwszych dwóch koszach (czyli może to być jakakolwiek liczba z przedziału od 2 do k + 2, ale musi być większa niż pierwsza liczba). Trzecia liczba to trzy plus liczba piłek w pierwszych trzech koszach (jakakolwiek z przedziału 3 do k + 3, ale większa niż druga liczba) i tak dalej. Możemy łatwo zauważyć, że wartość ostatniej liczby ciągu to n − 1 plus liczba piłek we wszystkich koszach poza ostatnim. Jej najniższa możliwa wartość to n − 1 (jeśli wszystkie piłki są w ostatnim koszu), a najwyższa n − 1 + k (jeśli w ostatnim koszu nie ma żadnych piłek).

Teraz zmienimy perspektywę. Załóżmy, że mamy zbiór liczb od 1 do n − 1 + k. Z tego zbioru wybieramy bez powtórzeń n − 1 liczb. Układamy je w ciąg od najmniejszej do największej, dzięki czemu wiemy, ile piłek musi się znaleźć w każdym z koszy. Każdy sposób wybrania n − 1 liczb z większego zbioru n − 1 + k liczb odpowiada dokładnie jednemu sposobowi na rozdzielenie k piłek pomiędzy n koszy. Ale ile właściwie jest sposobów na wybranie n − 1 liczb bez powtórzeń ze zbioru n − 1 + k liczb? Odpowiedź na to pytanie wynosi:

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} .

To już prawie ostateczny wzór, którego szukamy. Ostatni krok wymaga od nas zauważenia, że możemy odwrócić kolejność silni w mianowniku, aby otrzymać

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C (n + k - 1, k),

a ostatecznie postać

E (n, k) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} .

Trójkąt Pascala i współczynniki dwumianowe

Dwumian to wyrażenie będące sumą dwóch jednomianów, na przykład $x + y .$ Współczynniki dwumianowe to liczby, które pojawiają się obok x i y, gdy podniesiemy $x + y$ do potęgi będącej liczbą całkowitą nieujemną. Spójrzmy na przykład na ${(x + y)}^{0} = 1,$ ${(x + y)}^{1} = x + y,$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2},$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ – współczynnikami dwumianowymi są tu odpowiednio: 1, 1-1, 1-2-1 i 1-3-3-1. Okazuje się, że współczynniki dwumianowe są powiązane z kombinacjami k-elementowymi z n. Jeśli rozpiszemy ${(x + y)}^{n},$ współczynnikiem stojącym obok $x^{k} y^{n - k}$ będzie $(\binom{n}{k}) .$ Na przykład w dwumianie ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3},$ współczynnikiem stojącym obok $x^{2} y$ jest $(\binom{3}{2}) = 3 .$ Fakt ten można opisać ogólnie wzorem

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .

Co więcej, współczynniki dwumianowe tworzą ciekawy schemat – możemy uporządkować je na kształt trójkąta, znanego jako trójkąt Pascala:

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

Interesującą właściwością trójkąta Pascala jest to, że kolejne rzędy tworzy się poprzez dodawanie do siebie sąsiadujących elementów poprzedniego rzędu. I tak, na przykład, 6 w rzędzie n = 4 powstaje po dodaniu sąsiadujących ze sobą trójek w rzędzie n = 3. Na tej samej zasadzie 10 w rzędzie n = 5 powstaje z 4 + 6 w rzędzie powyżej. Tę obserwację możemy podsumować wzorem

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

Równania i tożsamości dwumianowe

Poniżej przedstawiamy kilka najpopularniejszych równań zawierających współczynniki dwumianowe:

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

Kombinacja z n po k w Pythonie

Aby otrzymać liczbę k-elementowych kombinacji z n bez powtórzeń w języku programowania Python, należy użyć funkcji comb z modułu math:

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

Natomiast aby otrzymać liczbę k-elementowych kombinacji z n z powtórzeniami, możesz użyć wzoru odnoszącego kombinacje z powtórzeniami do kombinacji bez powtórzeń:

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

Jeśli chcesz wyświetlić wszystkie k-elementowe kombinacje z n bez powtórzeń, istnieje wbudowana funkcja stworzona specjalnie po to:

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

A żeby wyświetlić wszystkie k-elementowe kombinacje z n z powtórzeniami, użyj:

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

Jeśli chcesz napisać swoją własną funkcję do uzyskania liczby k-elementowych kombinacji z n bez powtórzeń, możesz posłużyć się poniższym przykładem:

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

Dla funkcji obliczającej liczbę k-elementowych kombinacji z n z powtórzeniami, możesz użyć:

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

Jak korzystać z Kalkulatora kombinacji

Kalkulator kombinacji umożliwia obliczanie kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego z powtórzeniami lub bez. Aby tego dokonać, wprowadź liczbę dostępnych elementów w polu oznaczonym literą n. Następnie określ liczbę wyborów w polu opisanym „k lub r”. Jeśli interesują Cię kombinacje z powtórzeniami, zaznacz pole „Zezwalaj na powtórzenia”. Na koniec kliknij przycisk „Oblicz”, a wynik wyświetli się poniżej.

Kalkulator radzi sobie wyjątkowo dobrze z obliczeniami wykorzystującymi bardzo duże liczby. Obliczenie wyniku dla takich danych wejściowych, jak n = 1000000 i k = 1000 nie stanowi dla niego żadnego problemu. Jeśli wynik to duża liczba, Kalkulator poda ją w dwóch formach: w pierwszej linijce zobaczysz przybliżenie w notacji naukowej, a w drugiej dokładny wynik.

Kalkulator nie ma żadnych odgórnie nałożonych limitów, dlatego zawsze podejmie próbę obliczenia, niezależnie od wielkości n i k. Powodzenie tej operacji zależy od konfiguracji Twojego systemu. Najnowsze wersje Google Chrome na komputerach stacjonarnych bez problemu mogą poradzić sobie z obliczeniem wyniku dla n = 8000000000 i k = 10000000 (na ile sposobów da się wybrać 10 000 000 szczęśliwców do ewakuacji na ogromny statek kosmiczny, gdyby uderzenie asteroidy miało zniszczyć Ziemię). W przypadku innych konfiguracji, szczególnie na urządzeniach mobilnych, posługiwanie się tak dużymi liczbami może okazać się niemożliwe.

Kalkulator jest też wyposażony w kilka innych funkcji. Możesz np.:

Wybrać podstawę, w której chcesz wyświetlać wyniki. Do dyspozycji jest każda liczba całkowita z przedziału 2–36. Domyślna podstawa to 10. Oznacza to, że wyniki są domyślnie wyświetlane w systemie dziesiętnym. Jeśli wybierzesz inną podstawę, zostanie ona wykorzystana tylko do wyświetlenia wyniku. Wprowadzane do Kalkulatora dane są zawsze odczytywane za pomocą podstawy 10.
Wyczyścić pola n i k za pomocą przycisku „Wyczyść”. Następnie możesz ponownie wprowadzić pożądane wartości.
Skopiować wynik do schowka. Aby skorzystać z tej funkcji (jak również innych wymienionych poniżej), kliknij odpowiedni przycisk nad polem „Wynik”.
Pobrać wynik i zachować go w pliku tekstowym na swoim urządzeniu.
Wydrukować wynik.
Skopiować link do wyniku do schowka.
Wyczyścić pole z wynikiem.

Cytowanie i osadzanie

Korzystanie z tej strony jest zupełnie darmowe, również w celach komercyjnych, o ile wskażesz ją jako źródło. W przypadku cytowania jej w tekście naukowym możesz skorzystać z poniższego wzoru cytowania:

Narkiewicz A., Kalkulator kombinacji. https://minesweeper.us/saper/kalkulator-kombinacji/, dostęp: 2025-12-22.

Aby zacytować tę stronę w Internecie, możesz umieścić link do niej w postaci głównego adresu URL (https://minesweeper.us/saper/kalkulator-silni/) lub, jeśli chcesz zamieścić link do konkretnego wyniku, użyj przycisku „Skopiuj link do schowka”.

Możesz również osadzić tę stronę na swojej witrynie za pomocą elementu iframe. Jeśli chcesz, aby na Twojej stronie wyświetlał się tylko kalkulator, bez pozostałej treści (menu, artykułu itd.), użyj w atrybucie src następującego adresu URL: https://minesweeper.us/saper/kalkulator-kombinacji/?iframe=1.

Prosimy o cytowanie tej strony przy pomocy klikalnego odnośnika. Jeśli zdecydujesz się osadzić naszą aplikację na swojej stronie, powiadom nas o tym w mailu pod adresem contact@simiade.com. Dzięki temu będziemy mogli poinformować Cię o wszelkich zmianach w naszej aplikacji, które mogą wiązać się z koniecznością aktualizacji sposobu jej wyświetlania na innych stronach internetowych.

Bibliografia

Charalambides, Charalambos A. (2002). Enumerative Combinatorics. CRC Press.

Kontakt

Jeśli masz jakiekolwiek pytania, uwagi lub sugestie, możesz podzielić się nimi tutaj:

Możesz też skontaktować się z nami tradycyjną pocztą:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polska
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/pl/