Permutationskalkylator

För att beräkna antalet permutationer anger du antalet alternativ (n), antalet gånger du får välja (vanligen betecknat som k eller r) och markerar kryssrutan ”Tillåt upprepningar” om element kan väljas mer än en gång. Klicka på ”Beräkna”, så visas resultatet nedan.

Antal element (n): Följdens längd (k eller r): Tillåt upprepningar: Talbas:

Resultat:

2026-02-11, av

Adam har en doktorsexamen i nationalekonomi, ansvarar för att skriva tekniska artiklar och övervakar utvecklingen av onlineapplikationer. Du hittar honom på:
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

Vad är permutationer?

En permutation är en ändring av ordningen på elementen i en följd. Antalet permutationer anger på hur många olika sätt man kan ordna om en följd av element.

En permutation av k element ur en mängd med n element är ett sätt att ordna k element från en större mängd med n element. Permutationskalkylatorn beräknar antalet sådana arrangemang för ett givet värde på n och k. I vissa källor används bokstaven r i stället för k, men de betyder samma sak.

k-permutationer ur en mängd n förekommer i två typer. För det första kan de avse följder utan upprepningar, vilket innebär att vart och ett av de n elementen får användas högst en gång i en följd. För det andra, om elementen kan förekomma flera gånger i en följd, talar man om k-permutationer ur en mängd n med upprepningar. Denna kalkylator gör det möjligt att beräkna båda typerna av permutationer.

Permutationer och kombinationer

Permutationer förväxlas ofta med kombinationer. I vardagligt språkbruk kan man till exempel tala om en kombination av siffror som öppnar ett lås eller ett kassaskåp. Strikt matematiskt sett är dock en siffersekvens som öppnar ett lås oftast en permutation med upprepningar.

Skillnaden mellan permutationer och kombinationer, såsom de definieras inom matematiken, är att ordningen på elementen spelar roll för permutationer, vilket är anledningen till att man talar om arrangemang och följder. För kombinationer spelar ordningen däremot ingen roll, och då är det mer korrekt att tala om val av element och om delmängder av element.

En kod som öppnar ett lås är en sekvens där ordningen på siffrorna har avgörande betydelse, och att kalla den en ”kombination”, även om det är vanligt i vardagligt språkbruk, är därför inte matematiskt korrekt.

Om du i stället är intresserad av kombinationer snarare än permutationer, hänvisar vi till vår Kombinationskalkylator.

Permutationsformlerna

Låt oss först betrakta permutationer där upprepningar inte är tillåtna, det vill säga k-permutationer ur en mängd n utan upprepningar. Om du konstruerar följder med längden k av n element ges antalet möjliga följder av formeln:

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} .

n! i formeln betyder n-fakultet. Utöver beteckningen $P (n, k),$ använder vissa källor även andra symboler:

P (n, k) = {}_{n}P_{k} = P_{n, k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Å andra sidan används för k-permutationer ur en mängd n med upprepningar – formeln:

U (n, k) = n^{k} .

Detta är helt enkelt n upphöjt till k.

Förklaring av permutationsformeln

Föreställ dig att vi ska konstruera en följd med längden k med hjälp av n element. Vi kan placera vilket som helst av de n elementen i början av följden. Vid permutationer utan upprepningar tas det valda elementet bort från mängden av tillgängliga element, och för den andra positionen finns då endast $n - 1$ element kvar. Därefter tas även det andra valda elementet bort från den tillgängliga mängden, och vi har då $n - 2$ element som kan placeras på den tredje positionen. Denna process fortsätter tills hela följden har fyllts, vilket leder till följande formel:

P (n, k) = \underset{k faktorer}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

Vi kan sedan multiplicera och dividera denna formel med samma tal utan att ändra dess värde. Om vi väljer $(n - k)!$ får vi formeln:

P (n, k) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

För permutationer med upprepningar är situationen inledningsvis liknande: vi kan välja ett av de n elementen för den första positionen i följden. Eftersom upprepningar är tillåtna tas dock inte detta element bort från den tillgängliga mängden, vilket innebär att vi även för den andra positionen fortfarande har n element att välja mellan. Detsamma gäller för den tredje positionen och så vidare. Vi gör k ådana val, och den slutliga formeln blir:

U (n, k) = \underset{k faktorer}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Exempel på permutationer

Exempel: Hur många permutationer finns det av en kortlek?

En typisk kortlek har 52 kort. Hur många olika ordningar finns det för dessa kort? Det totala antalet tillgängliga element är 52, alltså är n = 52. Följdens längd, det vill säga antalet kort vi vill inkludera i vår ordning, är också 52, eftersom vi vill ordna hela kortleken. Därför är k = 52. Det förekommer inga upprepningar eftersom varje kort förekommer exakt en gång i ordningen. Med denna information har vi allt som krävs för att tillämpa formeln:

P (52, 52) = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Detta är ett mycket stort tal. Du kan få det exakta resultatet genom att använda vår Permutationskalkylator. Eftersom urvalsstorleken är lika med det totala antalet element, det vill säga k = n, reduceras formeln till en enkel fakultet – du kan även få det exakta svaret genom att beräkna 52-fakultet.

Exempel: Hur många tre-bokstavsarrangemang kan jag skapa av ordet GULT?

Vi har fyra olika bokstäver och vill ta reda på hur många distinkta tre-bokstavsordningar vi kan bilda med dessa bokstäver. Även här kan varje bokstav endast användas en gång, så formeln är $P (4, 3) = 24 .$ Här är alla 24 permutationer:

GUL

GUT

GLU

GLT

GTU

GTL

UGL

UGT

ULG

ULT

UTG

UTL

LGU

LGT

LUG

LUT

LTG

LTU

TGU

TGL

TUG

TUL

TLG

TLU

Exempel: På hur många sätt kan jag ge 7 bollar i olika färger till 4 barn?

I detta exempel vill vi ge en boll till varje barn: Anna, Bella, Christer och David. Vi har sju bollar: vit, orange, blå, grön, gul, lila och brun. Hur många olika sätt finns det att tilldela en boll till varje barn? Även här hjälper permutationer oss. Eftersom vi inte kan ge samma boll till mer än ett barn använder vi permutationer utan upprepningar: $P (7, 4) = 840 .$

Det finns alltså 840 sätt att fördela bollarna mellan barnen.

Exempel: På hur många sätt kan man välja klassordförande, sekreterare och kassör i en klass med 20 elever?

Det finns 20 personer som kan bli ordförande. Låt oss välja en person. När vi väl har valt ordförande finns det 19 personer som kan bli sekreterare. När vi slutligen har både ordförande och sekreterare, finns det 18 personer som kan bli kassör. Vi multiplicerar dessa tal och får $20 \times 19 \times 18 = 6840$ möjliga sätt att välja tre elever till dessa funktioner.

Generellt gäller att när vi har k olika positioner att fylla och en grupp med n kandidater, finns det exakt $P (n, k)$ sätt att göra detta. I detta fall har vi $P (20, 3) = 6840 .$

Exempel: Hur många ”kombinationer” finns det i ett 4-siffrigt kodlås om det inte finns några nollor?

Detta är inte ett typiskt lås eftersom siffrorna sträcker sig från 1 till 9 i stället för från 0 till 9. Antalet element är därför n = 9. Följdens längd är k = 4. Varje siffra kan användas hur många gånger som helst, så i detta fall använder vi permutationer med upprepningar. Formeln är:

U (n, k) = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Det finns 6 561 möjliga ”kombinationer”. Om det tar en sekund att kontrollera varje kombination bör vi kunna öppna låset genom att testa alla möjligheter på mindre än två timmar. Observera att ordet ”kombinationer” som används i denna fråga inte är strikt korrekt. Eftersom ordningen på siffrorna spelar roll bör vi här tala om permutationer med upprepningar, inte kombinationer.

Exempel: Hur många lösenord finns det?

Svaret beror på lösenordens längd och antalet tillgängliga tecken. Som exempel ska vi beräkna antalet lösenord som är 10 tecken långa. Vi har till vårt förfogande både små och stora latinska bokstäver (från a till z och från A till Z – totalt 52 bokstäver), siffror (från 0 till 9) samt specialtecken (det finns 30 sådana):

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

Totalt har vi alltså 52 + 10 + 30 = 92 olika tecken. Vi kan använda varje tecken hur många gånger som helst, så vi räknar k-permutationer ur en mängd n med upprepningar. Formeln är:

U (n, k) = n^{k} = 92^{10} = 43 438 845 422 363 213 824 .

Detta är ett mycket stort antal unika lösenord. Det finns i praktiken ingen chans att någon ska gissa ditt lösenord genom att helt enkelt testa alla möjliga ”kombinationer” – förutsatt att du valde tecknen slumpmässigt i stället för något enkelt, som till exempel qwert12345 eller hejsan1234!.

Permutationer i Python

Om du vill beräkna antalet permutationer i ett programmeringsspråk som Python kan du använda permutationsformeln för att skapa en egen funktion:

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

På motsvarande sätt kan du använda formeln för permutationer med upprepningar:

def nUk(n, k):
	return n**k

Om du är intresserad av att generera alla permutationer utan upprepningar kan du skriva:

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

Och för permutationer med upprepningar:

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Exponentiell kalkylator för stora tal

Eftersom formeln för permutationer med upprepningar är $U (n, k) = n^{k},$ kan du använda Permutationskalkylatorn som en exponentiell kalkylator för att beräkna en potens. Detta kan vara särskilt praktiskt när resultatet är mycket stort (till exempel kan du enkelt få ett exakt värde på 3¹⁰⁰⁰), eftersom traditionella miniräknare har svårt att hantera stora tal. Markera kryssrutan ”Tillåt upprepningar” och ange basen som n och exponenten som k. Du kan endast använda icke-negativa heltal.

Så använder du Permutationskalkylatorn

För att använda denna kalkylator anger du antalet element att välja mellan i fältet märkt med bokstaven n. Urvalsstorleken, det vill säga följdens längd, ska anges i fältet nedanför (märkt k eller r). Om du är intresserad av permutationer med upprepningar markerar du kryssrutan ”Tillåt upprepningar”. Klicka sedan på knappen ”Beräkna” för att utföra beräkningen eller på ”Rensa” för att ange värdena på nytt.

Resultatet visas i fältet ”Resultat” nedanför. Om resultatet är litet visas det på en rad. Större tal visas på två sätt: en approximation i grundpotensform visas ovanför, och det exakta talet visas nedanför. Om ett fel uppstår under beräkningen visas detta i stället för resultatet.

Kalkylatorn accepterar endast icke-negativa heltal. För permutationer utan upprepningar måste de angivna talen dessutom uppfylla villkoret k ≤ n. För permutationer med upprepningar kan n och k inte båda vara 0 samtidigt, eftersom värdet 0⁰ är obestämt. Det finns ingen övre gräns för de värden du kan ange. Du bör utan problem kunna erhålla mycket stora tal, till exempel för n = 8000000000 och k = 1000 (antalet sätt att välja de 1 000 rikaste människorna från världens befolkning). Ännu större resultat kan också erhållas, beroende på ditt systems konfiguration. Det kan dock ta lång tid att beräkna mycket stora resultat, och om beräkningarna överskrider kapaciteten hos din enhet kan webbplatsen krascha.

Du kan välja talbasen i vilken resultaten ska visas. Standardvärdet är 10, det vill säga resultaten visas i decimaltalsystemet. Som talbas kan du använda vilket naturligt tal som helst från 2 till 36. Endast resultaten visas dock i den valda talbasen – de värden du anger som n och k behandlas alltid som om de vore skrivna i talbas 10.

Du har möjlighet att: 1) kopiera resultatet till urklipp; 2) ladda ner resultatet som en fil; 3) skriva ut resultatet; 4) kopiera länken till resultatet till urklipp; samt 5) rensa fältet ”Resultat”. För att aktivera någon av dessa funktioner använder du motsvarande ikon ovanför fältet ”Resultat”.

Citera eller bädda in detta innehåll

Du kan använda denna webbplats kostnadsfritt, även för kommersiella ändamål, så länge du anger denna webbplats som källa. Om du citerar den i en vetenskaplig text kan du använda följande referens:

Narkiewicz A., Permutationskalkylator, https://minesweeper.us/röj/permutationskalkylator/, åtkomstdatum 2026-02-11.

För att citera denna webbplats på internet kan du länka till den med dess huvud-URL (https://minesweeper.us/röj/permutationskalkylator/) eller, om du vill länka till ett specifikt resultat, använda knappen ”Kopiera länk till urklipp”.

Du kan också bädda in denna sida på din webbplats med hjälp av ett iframe-element. Om du vill att sidan endast ska visa kalkylatorn och dölja allt övrigt innehåll (menyer, artikel osv.) kan du använda följande URL i src-attribut: https://minesweeper.us/röj/permutationskalkylator/?iframe=1.

Vänligen ange denna sida som källa på din webbplats genom att citera den med en klickbar länk. Du kan också meddela oss att du har bäddat in vår app på din webbplats genom att skicka ett e-postmeddelande till contact@simiade.com. Då kan vi informera dig om vi gör några ändringar i vår app som kan kräva att webbansvariga uppdaterar hur deras webbplatser visar den.

Referenser

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

Kontakta oss

Om du har några frågor, kommentarer eller förslag kan du lämna din feedback här:

Eller så kan du kontakta oss via post:

Simiade
Adam Narkiewicz
Plac Bankowy 2
00-095 Warszawa
Polen
+48 728235409
contact@simiade.com
https://simiade.com/sv/