Calculateur de factorielle

Pour calculer une factorielle, saisissez un nombre dans le champ « Factorielle de » et appuyez sur « Calculer ». Le résultat sera affiché dans le champ « Résultat ».

Factorielle de :

Base :

Résultat :

2026-03-30, par

Titulaire d’un doctorat en économie, Adam rédige des articles techniques et supervise le développement d’applications en ligne. Vous pouvez le contacter ici :
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Qu’est-ce qu’une factorielle ?

Pour connaître la factorielle d’un nombre, il faut multiplier tous les nombres naturels de un jusqu’à ce nombre. Pour écrire une factorielle, on utilise un point d’exclamation. Par exemple,

4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24

peut être lu ainsi : « factorielle quatre égale 24 » ou « la factorielle de quatre est 24 ».

On ne peut utiliser les factorielles qu’avec des nombres entiers non négatifs (des nombres naturels égaux ou supérieurs à 0). Pour simplifier, les mathématiciens ont décidé que $0! = 1$ , autrement dit, que la factorielle de zéro est égale à un.

La formule de la factorielle

La factorielle d’un nombre n peut être décrite avec l’une des formules suivantes :

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times (n - 1) \times n$
$n! = \prod_{k = 1}^{n} k$
$n! = n \times (n - 1)!$

Toutes ces formules aboutissent au même résultat. La formule (1) est issue de la définition (multiplication de tous les nombres naturels, de un jusqu’à n). La formule (2) est une version abrégée de la formule (1), écrite avec l’opérateur produit. La formule (3) est une formule récursive qu’on peut lire ainsi : « la factorielle de n est égale à n fois la factorielle de n moins un ».

Exemples d’utilisation des factorielles

Les factorielles ont de multiples usages possibles. Par exemple, elles sont très souvent utilisées en analyse combinatoire et en théorie des probabilités parce qu’elles nous permettent de savoir combien de façons différentes il existe d’arranger un ensemble d’objets distincts. Plus particulièrement, les factorielles sont utilisées dans les formules d’arrangements et de combinaisons. On les retrouve aussi dans bien d’autres branches des mathématiques.

Exemple : Combien existe-t-il de façons différentes d’arranger 3 objets ?

Imaginons que nous ayons trois objets : un abricot, une banane et une clémentine. Nous devons décider dans quel ordre nous allons les manger. Pour le fruit que nous allons manger en premier, nous avons trois choix possibles. Une fois le premier fruit mangé, il nous reste deux possibilités pour celui que nous allons manger en deuxième. Quand il ne reste qu’un fruit, nous n’avons plus d’autre choix que de manger celui qui reste. Il existe donc $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ façons différentes d’arranger les fruits :

Abricot, Banane, Clémentine

Abricot, Clémentine, Banane

Banane, Abricot, Clémentine

Banane, Clémentine, Abricot

Clémentine, Abricot, Banane

Clémentine, Banane, Abricot

Exemple : Combien existe-t-il de façons différentes d’arranger 4 chiffres ?

Imaginons que nous ayons quatre chiffres compris entre 1 et 4. Combien existe-t-il de façons différentes de les arranger ? La réponse est $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ . Voici toutes les 24 possibilités :

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

Cela ne fonctionne qu’avec quatre chiffres différents. S’il y a plusieurs chiffres identiques, par exemple 3, 5, 5, et 7, il n’est plus possible d’utiliser simplement une factorielle – la formule à utiliser est plus compliquée. Ce point est expliqué plus en détail dans l’exemple suivant.

Exemple : Combien existe-t-il de façons différentes d’arranger 5 lettres ?

Combien de façons existe-t-il d’arranger les lettres dans le mot « FRUIT » ? La réponse est $5! = 120$ . Il existe un grand nombre de possibilités !

Cette formule simple ne fonctionne que si aucune lettre n’est répétée dans le mot. Pour un mot dans lequel des lettres sont répétées, il faut prendre la factorielle de la longueur du mot et diviser chaque lettre par la factorielle de ses répétitions. Par exemple, le mot « MISSISSIPPI » est composé de 11 lettres, mais les lettres S et I y apparaissent toutes deux quatre fois, et la lettre P deux fois. Les lettres de ce mot peuvent donc être arrangées de 34 650 façons différentes :

\frac{11!}{4! \times 4! \times 2!} = 34650 .

Pourquoi faut-il mettre ces factorielles au dénominateur ? Imaginons que deux des quatre S changent de place – le mot restera le même. Comme il y a quatre lettres S, il existe 4! façons de les réarranger. Il faut éliminer ces réarrangements, puisqu’ils donnent des mots identiques. Pour ce faire, il faut diviser la factorielle principale par 4!.

Exemple : Combien existe-t-il de façons différentes de mélanger un jeu de 52 cartes ?

Comme dernier exemple, voyons combien de façons il existe de mélanger un jeu de 52 cartes. La réponse est bien sûr la factorielle de 52, un nombre très élevé : 52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000, soit environ $52! \approx 8,066 \times 10^{67}$ .

Autrement dit, si vous mélangez bien les cartes, la probabilité d’obtenir deux fois la même disposition est quasiment nulle.

Quelle est la factorielle d’un nombre…

Voici quelques factorielles célèbres :

Question	Réponse
Quelle est la factorielle de 0 ?	La factorielle de 0 est 1.
Quelle est la factorielle de 1 ?	La factorielle de 1 est 1.
Quelle est la factorielle de 2 ?	La factorielle de 2 est 2.
Quelle est la factorielle de 3 ?	La factorielle de 3 est 6.
Quelle est la factorielle de 4 ?	La factorielle de 4 est 24.
Quelle est la factorielle de 5 ?	La factorielle de 5 est 120.
Quelle est la factorielle de 6 ?	La factorielle de 6 est 720.
Quelle est la factorielle de 7 ?	La factorielle de 7 est 5040.
Quelle est la factorielle de 8 ?	La factorielle de 8 est 40 320.
Quelle est la factorielle de 9 ?	La factorielle de 9 est 362 880.
Quelle est la factorielle de 10 ?	La factorielle de 10 est 3 628 800.
Quelle est la factorielle de 52 ?	La factorielle de 52 est 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.
Quelle est la factorielle de 100 ?	La factorielle de 100 est 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.

On peut utiliser la notation scientifique pour offrir une valeur approximative de la factorielle de 100 : $100! \approx 9,333 \times 10^{157}$ .

Factorielle dans Python

Si vous utilisez un langage de programmation comme Python, vous pouvez utiliser la fonction intégrée :

import math
math.factorial(n)

Mais si vous voulez programmer votre propre fonction factorielle, vous pouvez le faire à l’aide de la récursivité :

def factorial(n):
	if n > 1:
		return factorial(n-1) * n
	else:
		return 1

Vous pouvez aussi utiliser les itérations :

def factorial(n):
	result = 1
	for k in range(2, n + 1):
		result *= k
	return result

Factorielle d’un nombre négatif

Une factorielle n’est définie que pour les nombres entiers non négatifs. Il y a eu beaucoup de tentatives visant à généraliser la factorielle pour qu’elle fonctionne avec les nombres réels et complexes. Toutefois, le consensus actuel est que la factorielle d’un nombre négatif doit rester indéfinie. Par exemple, la fonction gamma généralise la factorielle à tous les nombres complexes, à l’exception... des nombres entiers négatifs.

Approximation factorielle

Multiplier tous les nombres entiers jusqu’à n peut prendre beaucoup de temps, surtout quand n est un nombre élevé. Les mathématiciens ont donc inventé des formules permettant de déterminer rapidement la valeur approximative des factorielles. Vous trouverez ci-dessous deux de ces formules célèbres.

Formule de Stirling

n! \approx \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n}

Approximation de Ramanujan

n! \approx \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

Comment utiliser le Calculateur de factorielle ?

Pour utiliser ce calculateur, saisissez un nombre dans le champ « Factorielle de » et cliquez sur le bouton « Calculer ». Le résultat s’affichera juste en dessous. Si le résultat est un grand nombre, il sera affiché de deux façons : un résultat approximatif plus court sous forme de notation scientifique sera affiché plus haut, et la solution exacte sera affichée en dessous.

Le calculateur ne marche qu’avec des nombres naturels à partir de 0. Aucune valeur limite supérieure n’a été préprogrammée – si votre appareil et navigateur Internet le permettent, vous pouvez saisir un nombre extrêmement grand. Sur les ordinateurs de bureau, certaines versions de Chrome n’ont aucun problème à calculer la factorielle de 10 000 000, alors que Firefox et Safari ont parfois du mal à traiter des nombres supérieurs à 60 000.

Calculer le résultat pour les grands nombres peut prendre plusieurs secondes, et parfois plus encore, avant de s’afficher à l’écran. Si le nombre que vous avez saisi est trop grand, un message d’erreur s’affichera. Il arrive parfois que la page plante et doit être rechargée au lieu qu’un message s’affiche.

Un réglage permet d’afficher le résultat en utilisant une base autre que 10. Vous pouvez ainsi choisir n’importe quel nombre entre 2 et 36. Si par exemple vous voulez que le résultat s’affiche sous forme hexadécimale, tapez 16. Veuillez noter que le résultat affiché en notation scientifique utilise la base sélectionnée pour la mantisse et pour l’exposant. En revanche, la valeur saisie est toujours lue et affichée en utilisant la base 10.

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Narkiewicz A., Calculateur de factorielle, https://minesweeper.us/démineur/calculateur-de-factorielle/, accédé le 2026-03-17.

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Références

Mortici, Cristinel, Ramanujan formula for the generalized Stirling approximation, Applied Mathematics and Computation, 217 (6).

Weisstein, Eric W., Factorial., MathWorld—A Wolfram Resource.

Weisstein, Eric W., Stirling's Approximation, MathWorld—A Wolfram Resource.

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