Calculateur d’arrangements et de permutations

Pour calculer le nombre d’arrangements, saisissez le nombre d’options (n), le nombre de fois que vous pouvez choisir (traditionnellement désigné par k ou r et cochez la case « Autoriser les répétitions » si les options peuvent être choisies plusieurs fois. Cliquez sur le bouton « Calculer » et le résultat sera affiché ci-dessous.

Nombre d’éléments (n) : Longueur de la suite (k ou r) : Autoriser les répétitions : Base :

Résultat :

2026-04-16, par

Titulaire d’un doctorat en économie, Adam rédige des articles techniques et supervise le développement d’applications en ligne. Vous pouvez le contacter ici :
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Que sont les arrangements et permutations ?

Un arrangement de k parmi n est une façon d’arranger k éléments issus d’un ensemble plus grand de n éléments. Le Calculateur d’arrangements et de permutations permet de calculer le nombre de tels arrangements pour une valeur donnée de n et k. Certaines sources utilisent la lettre r plutôt que k, mais les deux signifient la même chose.

Une permutation est une modification de l’ordre des éléments d’une suite. Le nombre de permutations indique le nombre de façons différentes dont vous pouvez réarranger une suite d’éléments.

Il existe deux formes d’arrangements de k parmi n. Dans la première, elles peuvent impliquer des suites sans répétitions, c’est-à-dire que chacun des n éléments ne peut être utilisé qu’une fois dans une suite. Dans la deuxième, si les éléments peuvent apparaître plusieurs fois dans une même suite, on a alors k arrangements parmi n avec répétitions. Ce calculateur vous permet de calculer les deux types d’arrangements.

Arrangements et combinaisons

Les arrangements sont souvent confondus avec les combinaisons. Dans le langage quotidien, on parle par exemple de la combinaison de chiffres permettant de déverrouiller une serrure ou un coffre-fort. Cependant, pour être précis, une suite de chiffre qui déverrouille une serrure est généralement un arrangement avec répétitions.

La différence entre les arrangements et combinaisons tels qu’on les définit en mathématiques est que pour les arrangements, l’ordre des éléments est important. C’est pour cela qu’on parle d’agencements et de suites. À l’inverse, pour les combinaisons, l’ordre n’a pas d’importance. Il est donc plus juste de parler de choix d’éléments et de sous-ensembles d’éléments.

Il va sans dire que pour une suite comme le code d’une serrure, l’ordre des chiffres est crucial. Ainsi, même si on appelle cela souvent une « combinaison », ce terme n’est pas correct d’un point de vue mathématique.

Si vous êtes intéressé par les combinaisons plutôt que les arrangements, découvrez notre Calculateur de combinaisons.

La formule des arrangements

Prenons d’abord les arrangements dans lesquels les remplacements ne sont pas autorisés, c’est-à-dire les arrangements de k parmi n sans répétitions. Si vous construisez des suites de longueur k en utilisant n éléments, on peut calculer le nombre de suites différentes obtenues avec la formule :

A (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} .

Dans cette formule, n! est la factorielle de n. En plus de $A (n, k),$ certaines sources utilisent aussi d’autres symboles :

A (n, k) = {}_{n}A_{k} = A_{n, k} = {(n)}_{k} = n^{\underline{k}} .

Par contre, pour les arrangements de k parmi n avec répétitions, on utilise la formule :

U (n, k) = n^{k} .

Il s’agit tout simplement de n élevé à la puissance k.

Explication de la formule des arrangements

Imaginons qu’on doit construire une suite de longueur k en utilisant n éléments. On peut mettre n’importe lequel des n éléments au début de la suite. Pour les arrangements sans répétitions, l’élément choisi est alors éliminé du groupe, et il ne reste plus que $n - 1$ éléments pour la deuxième place. Ceci fait, le deuxième élément choisi est aussi éliminé du groupe disponible, et seuls $n - 2$ éléments peuvent être placés à la troisième place. Ce processus est répété jusqu’à ce que l’on complète toute la suite, ce qui nous donne la formule suivante :

A (n, k) = \underset{k facteurs}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}} .

On peut ensuite multiplier et diviser cette formule par le même nombre sans changer sa valeur. On choisit judicieusement $(n - k)!,$ et on obtient donc :

A (n, k) = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1) \times \frac{(n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} .

Pour les arrangements avec répétitions, c’est une situation initialement similaire : on peut choisir l’un des éléments n pour la première place de la suite. Mais étant donné que les répétitions sont autorisées, cet élément n’est pas éliminé du groupe d’éléments disponibles. Pour la deuxième place dans la suite, il nous reste donc toujours n éléments parmi lesquels choisir. Il en va de même pour la troisième place, et ainsi de suite. On fait k choix de ce type, ce qui donne comme formule finale :

U (n, k) = \underset{k facteurs}{\underset{⏟}{n \times n \times \dots \times n}} = n^{k} .

Exemples d’arrangements

Exemple : combien existe-t-il d’arrangements d’un jeu de cartes ?

Un jeu de cartes classique est composé de 52 cartes. Combien existe-t-il d’arrangements de cartes possibles ? Le nombre total d’éléments disponibles étant 52, n = 52. La longueur de la suite (le nombre de cartes qu’on souhaite inclure dans notre arrangement) est aussi de 52 puisqu’on cherche les arrangements pour tout le jeu. En conséquence, k = 52. Il n’y a pas de répétitions, car chaque carte n’apparaît qu’une seule fois dans l’arrangement. Sachant cela, on a toutes les informations nécessaires pour appliquer la formule :

A (52, 52) = \frac{52!}{(52 - 52)!} = \frac{52!}{0!} = 52! \approx 8,066 \times 10^{67} .

Il s’agit d’un nombre très élevé. Vous pouvez aussi obtenir la solution exacte en utilisant notre Calculateur d’arrangements et de permutations. Puisqu’ici nous avons affaire à une permutation, c’est-à-dire un arrangement dans lequel la taille de l’échantillon est égale au nombre total d’éléments (k = n), la formule devient une simple factorielle. Vous pouvez donc obtenir la réponse exacte en calculant la factorielle de 52.

Exemple : combien de mots de 3 lettres est-il possible de créer à partir du mot CIEL ?

Ce mot comporte quatre lettres différentes, et on cherche à déterminer combien d’arrangements de trois lettres on peut former avec ces lettres. Encore une fois, on ne peut utiliser chaque lettre qu’une seule fois, la formule est donc $A (4, 3) = 24 .$ Voici l’intégralité des 24 arrangements possibles :

CIE

CIL

CEI

CEL

CLI

CLE

ICE

ICL

IEC

IEL

ILC

ILE

ECI

ECL

EIC

EIL

ELC

ELI

LCI

LCE

LIC

LIE

LEC

LEI

Exemple : combien de façons existe-t-il de donner 7 balles de couleurs différentes à 4 enfants ?

Dans cet exemple, on veut donner une balle à chaque enfant : Adrien, Béatrice, Charles et David. On a sept balles : blanche, orange, bleue, verte, jaune, violette et marron. Combien de façons différentes existe-t-il d’attribuer une balle à chaque enfant ? Là aussi, les arrangements peuvent nous aider. Comme on ne peut pas donner la même balle à plus d’un enfant, on utilise les arrangements sans répétitions : $A (7, 4) = 840 .$

Il existe donc 840 façons différentes de distribuer les balles entre les enfants.

Exemple : dans une classe de 20 élèves, combien de façons différentes existe-t-il de sélectionner un président de classe, un secrétaire et un trésorier ?

20 personnes veulent être président. Sélectionnons l’une d’entre elles. Maintenant que nous avons choisi le président, 19 personnes souhaitent être secrétaire. Enfin, une fois que nous avons désigné le président et le secrétaire, 18 personnes veulent être trésorier. En multipliant ces nombres, on obtient $20 \times 19 \times 18 = 6840$ façons possibles de sélectionner trois étudiants pour ces rôles.

De manière générale, quand on a k rôles différents à attribuer et un groupe de n candidats, il y a exactement $A (n, k)$ façons de le faire. Dans ce cas particulier, on en a $A (20, 3) = 6840 .$

Exemple : combien de combinaisons existe-t-il pour un cadenas à 4 chiffres s’il n’a pas de zéros ?

Il ne s’agit pas d’un cadenas classique vu que les chiffres vont de 1 à 9 plutôt que de 0 à 9. Le nombre d’éléments est donc n = 9. La longueur de la suite est k = 4. Chaque chiffre pouvant être utilisé autant de fois que nécessaire, on utilise dans ce cas les arrangements avec répétitions. La formule est :

U (n, k) = n^{k} = 9^{4} = 6561 .

Il y a 6561 « combinaisons » possibles. S’il faut une seconde pour essayer chaque combinaison, on devrait pouvoir déverrouiller le cadenas en essayant toutes les combinaisons en moins de deux heures. Veuillez noter que l’utilisation du terme « combinaisons » dans cette question n’est pas tout à fait correcte. Comme l’ordre des chiffres est important, on devrait plutôt parler ici d’arrangements avec répétitions, et non de combinaisons.

Exemple : combien de mots de passe différents existe-t-il ?

La réponse dépend de la longueur des mots de passe et du nombre de caractères disponibles. Par exemple, calculons le nombre de mots de passe composés de 10 caractères. On peut utiliser les lettres latines majuscules et minuscules (de a à z et de A à Z – 52 lettres), les chiffres (de 0 à 9) et les caractères spéciaux (au nombre de 30) :

! @ # $ % ^ & * ( ) - _ = + [ ] \ { } | ; : ' " , . / < > ?

Au total, on a 52 + 10 + 30 = 92 caractères différents. Comme on peut utiliser chaque caractère autant de fois qu’on veut, on compte donc les arrangements de k parmi n avec répétitions. La formule est :

U (n, k) = n^{k} = 92^{10} = 43 438 845 422 363 213 824 .

C’est un nombre énorme de mots de passe différents. Il est presque quasiment impossible que quelqu’un devine votre mot de passe en essayant toutes les « combinaisons » possibles tant que vous avez choisi des caractères au hasard plutôt que de choisir un mot de passe simple comme azerty123 ou Mdp000!.

Les arrangements dans Python

Si vous cherchez à calculer le nombre d’arrangements dans un langage de programmation comme Python, vous pouvez utiliser la formule des arrangements pour créer votre propre fonction :

import math
def nPk(n, k):
	return int(math.factorial(n) / math.factorial(n - k))

De même, vous pouvez utiliser la formule des arrangements avec répétitions :

def nUk(n, k):
	return n**k

Si vous cherchez à générer tous les arrangements sans répétitions, vous pouvez utiliser :

from itertools, import permutations
def list_perms(n, k):
	perms = permutations(range(n), k)
	for p in perms:
		print(p)

Et pour les arrangements avec répétitions :

import itertools
def list_perms_with_replacents(n, k):
	for perm in itertools.product(range(n), repeat=k):
		print(perm)

Calculateur exponentiel pour les grands nombres

Comme la formule pour les arrangements avec répétitions est $U (n, k) = n^{k},$ vous pouvez utiliser ce Calculateur d’arrangements et de permutations pour calculer la puissance d’un nombre. Cela peut être utile quand le résultat est énorme (en permettant par exemple d’obtenir facilement la valeur exacte de 3¹⁰⁰⁰) car les calculateurs traditionnels ont du mal avec les très grands résultats. Cochez la case « Autoriser les répétitions » et saisissez n comme base et k comme exposant. Vous ne pouvez utiliser que des entiers relatifs non négatifs.

Comment utiliser le Calculateur d’arrangements et de permutations

Pour utiliser ce calculateur, saisissez le nombre d’éléments parmi lesquels choisir dans le champ marqué de la lettre n. La taille de l’échantillon, c’est-à-dire la longueur de la suite, doit être saisie dans le champ en dessous (marqué de la lettre k ou r). Si vous cherchez les arrangements avec répétitions, cochez la case « Autoriser les répétitions ». Cliquez ensuite sur le bouton « Calculer » pour effectuer le calcul ou sur le bouton « Effacer » pour saisir à nouveau les valeurs.

Le résultat sera affiché dans le champ « Résultat » ci-dessous. Si ce résultat est petit, il sera affiché sur une seule ligne. Les grands nombres sont affichés de deux façons : une approximation en notation scientifique est affichée en haut, et le nombre exact en dessous. Si une erreur survient lors du calcul, elle sera affichée en lieu et place du résultat.

Le calculateur n’accepte que les entiers relatifs non négatifs. Pour les arrangements sans répétitions, les nombres saisis doivent aussi satisfaire à la condition k ≤ n. Pour les arrangements avec répétitions, les deux nombres ne peuvent pas tous deux être zéro en même temps étant que la valeur de 0⁰ est indéterminée. Il n’y a pas de limite supérieure pour les valeurs saisies. Vous devriez aisément pouvoir obtenir de grands nombres comme un qui correspond à n = 8000000000 et k = 1000 (par exemple, le nombre de façons différentes de choisir les 1000 personnes les plus riches de la population mondiale). Selon la configuration de votre système, des résultats bien plus grands peuvent être obtenus. Cependant, calculer un résultat élevé peut prendre du temps et il est possible que le site plante si le calcul excède les capacités de votre appareil.

Vous pouvez sélectionner la base dans laquelle vous voulez que les résultats soient affichés. La valeur par défaut est de 10, c’est-à-dire que les résultats seront affichés en utilisant le système décimal. Pour la base, vous pouvez utiliser n’importe quel nombre entier compris entre 2 et 36. Cependant, seuls les résultats seront affichés selon la base choisie. Les valeurs n et k que vous avez saisies seront toujours traités comme si elles étaient écrites avec une base décimale.

Vous pouvez choisir de 1) copier le résultat dans le presse-papiers, 2) télécharger le résultat sous forme de fichier, 3) imprimer le résultat, 4) copier le lien vers les résultats dans le presse-papiers et 5) effacer le champ « Résultat ». Pour activer l’une des options ci-dessus, utilisez le bouton approprié au-dessus du champ « Résultat ».

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Narkiewicz A., Calculateur d’arrangements et de permutations, https://minesweeper.us/démineur/calculateur-d-arrangements-et-de-permutations/, accédé le 2026-03-26.

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Références

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

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