组合计算器

欢迎使用组合计算器。请输入元素数量（n）以及抽取数量（k 或 r）。在下方的框中选择是否允许重复。然后点击“计算”按钮。

元素数量（n）：样本大小（k 或 r）：允许重复：底数：

结果：

2026-03-22，由

Adam 拥有经济学博士学位，负责撰写技术类文章，并监督在线应用程序的开发工作。你可以通过以下链接查看他的资料：
https://narkiewicz.info/
https://www.linkedin.com/in/adamnarkiewicz/

组合计算公式

组合表示的是从 n 个元素中选取 k 个元素的情况。它通常称为从 n 取 k 的组合，不要与从 n 取 k 的排列混淆。在组合中，所选择元素的顺序不重要，而在排列中，顺序是重要的。

从一个包含 n 个元素的集合中选取 k 个元素，一共有多少种不同的方式？不允许重复的从 n 取 k 的组合（即每次选取后，该元素会从可选集合中移除，不能再次被选取）通常记作 $C (n, k) 。$ 在许多资料中，也会使用记号 ${}_{n}C_{k}$ 或者 $(\binom{n}{k}) ，$ 其中后者尤为常见。因此，我们可以写成

C (n, k) = {}_{n}C_{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

其中 n! 表示 n 的阶乘。另一方面，允许重复的从 n 取 k 的组合（即选取的元素会返回到集合中，可以被再次选取）通常记作 $E (n, k)$ ，有时也会写成 $((\binom{n}{k})) :$

E (n, k) = ((\binom{n}{k})) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}

不允许重复的组合与不允许重复的排列之间满足如下关系式：

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!}

之所以要将排列的数量除以 k!，是因为在组合中元素的顺序并不重要，而在排列中顺序则是重要的。如果你关注的场景中，所选元素顺序会产生影响，请查看我们的排列计算器。

组合的示例

100个人一共会产生多少次握手？

假设你刚到一个鸡尾酒会，现场共有100位来宾（包括你自己）。在每个人都与其他所有人握手致意时，你不禁会好奇：一共会产生多少次握手呢？

这里共有 n = 100个人。在这个群体中，可以组成多少对不同的两人组合？换句话说，从100取2的组合的数量是多少？答案是

C (100, 2) = (\binom{100}{2}) = \frac{100!}{2! 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950

因此，一共会产生4950次握手。需要注意的是，这里使用的是不允许重复的组合，因为一个人不可能与自己握手！

能获得多少种扑克牌手牌？

我们要考虑扑克牌中不包含大小王的情况，也就是说，牌组共有52张牌。从中抽取五张牌，且不允许重复（因为同一张牌不可能被抽到两次）。同时，牌的顺序并不重要。因此，这里可以使用不允许重复的从 n 取 k 的组合，其中 k = 5，n = 52，其计算公式为

(\binom{52}{5}) = 2598960

由此可知，一副扑克牌可以产生2,598,960种不同的手牌。在此基础上，我们就可以进一步计算各种牌型出现的概率。

获得四条牌型的概率

要组成四条牌型，首先需要选择重复的牌的点数（共有13种可能），然后再选择第五张牌（共有48种可能）。因此，一共有 $(\binom{13}{1}) (\binom{48}{1}) = 13 \times 48 = 624$ 种不同的四条手牌组合。由此可得，随机拿到一手四条的概率为 $\frac{624}{2598960} = \frac{1}{4165} \approx 0.024% 。$

获得葫芦牌型的概率

计算获得一手葫芦牌型的概率要复杂一些。首先，需要选择对子所对应的点数（共有13种可能），以及三条所对应的点数（共有12种可能，不能与对子相同，因此少了一个点数可选）。接下来，还需要考虑花色的不同组合：对子有 $(\binom{4}{2})$ 种花色组合，三条有 $(\binom{4}{3})$ 种花色组合。将这些数量相乘，就可以得到总的可能出现葫芦牌型的组合数量：

(\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{3}) = 13 \times 6 \times 12 \times 4 = 3744

一共有3744种不同的葫芦手牌，因此随机拿到一手葫芦牌型的概率为 $\frac{3744}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx 0.144% 。$ 这意味着，拿到葫芦的可能性大约是拿到四条的6倍。

获得同花牌型的概率

同花是指五张牌都属于同一种花色。首先需要选择花色——共有4种可能。然后，从该花色的13张牌中选取5张，一共有 $(\binom{13}{5})$ 种选择方式。综合计算得出，能产生

(\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) = 4 \times 1287 = 5148

种不同的同花手牌。随机拿到一手同花牌型的概率为 $\frac{5148}{2598960} = \frac{33}{16660} \approx 0.198% 。$

注意！上述公式包含获得同花顺牌型的情况。同花顺是一种特殊的同花，不仅花色相同，牌面点数还必须连续排列。如果你想计算不包含同花顺的“普通同花”的概率，就需要从上面得到的概率中减去同花顺的概率（见下文）。

获得顺子牌型的概率

这里我们期望得到的是得到一组由5张牌组成的顺子——也就是说，每张牌的点数都比前一张高1，而不考虑花色。要计算这种手牌的数量，首先需要确定顺子中的最大牌点数。最大牌可以是 A、K、Q、J、10、9、8、7、6或5（其中 A 也可以作为5-4-3-2-A 顺子中的最小牌），因此，最大牌点数一共有10种选择。一旦确定了最大牌，其余牌的点数也就随之确定。接下来需要为这5张牌选择花色。每张牌都有4种花色可选，我们需要为5张牌分别选定花色。因此，这一步相当于计算允许重复的从4取5的排列，其公式为4⁵。由此可得，能得到

(\binom{10}{1}) \times 4^{5} = 10 \times 1024 = 10240

种顺子手牌。随机拿到一手顺子牌型的概率为 $\frac{10240}{2598960} = \frac{128}{32487} \approx 0.394% 。$

注意！上述公式同样包含了获得同花顺牌型的情况。同花顺是一种特殊的顺子，不仅牌面连续，而且花色相同。如果你想计算不包含同花顺的“普通顺子”（即花色不全相同的顺子）的概率，就需要从上面计算得到的概率中减去同花顺的概率（见下文）。

获得同花顺牌型的概率

同花顺是扑克牌中最珍贵、也最罕见的牌型之一。在这套手牌中，牌面点数是连续的（就跟顺子牌型一样），同时所有牌还必须属于同一种花色（就跟同花牌型一样）。要计算这种手牌的数量，首先需要确定顺子中的最大牌点数。与普通顺子一样，这里共有10种选择方式。确定牌点数之后，还需要选择花色，共有4种花色可以选择。综合以上因素，最终得到的计算公式为

(\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) = 10 \times 4 = 40

这样的手牌一共只有40种，因此随机拿到一手同花顺牌型的概率为 $\frac{40}{2598960} = \frac{1}{64974} \approx 0.00154% 。$

注意！上述公式也包含了获得皇家同花顺的情况（见下文）。如果你想计算不包含皇家同花顺的“普通同花顺”的概率，就需要从上面得到的概率中减去皇家同花顺对应的概率。

获得皇家同花顺手牌的概率

获得皇家同花顺牌型的概率比同花顺还要低，因为皇家同花顺是最大牌为 A 的同花顺。因此，皇家同花顺中的牌点数固定为 A、K、Q、J 和10，唯一可能变化的只有花色。由于花色只有4种，因此皇家同花顺一共只有4种不同的手牌牌型。随机拿到一手皇家同花顺的概率为 $\frac{4}{2598960} = \frac{1}{649740} \approx 0.000154% ，$ 这是获得同花顺概率的十分之一。

获得三条牌型的概率

要组成一手三条，首先需要选择三张同点数牌的点数，共有13种可能。接下来，从剩余的12个点数中选择另外两张牌的点数。这里必须确保不会形成对子（否则就会变成葫芦），因此计算的是不允许重复的从12取2的组合，即 $(\binom{12}{2}) 。$ 然后需要确定花色。首先为三张相同点数的牌选择花色，有 $(\binom{4}{3})$ 种选法。接着为剩下的两张牌选择花色——由于它们点数不同，因此可以独立选择花色，相当于计算允许重复的从4取2的排列，结果有4²种。综合以上各步，最终得到的计算公式为

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{2}) (\binom{4}{3}) 4^{2} = 13 \times 66 \times 4 \times 16 = 54912

随机拿到一手三条牌型的概率为 $\frac{54912}{2598960} = \frac{88}{4165} \approx 2.11% 。$

获得两对牌型的概率

有多少种不同的方式可以组成一手两对？牌呢？首先，需要选择两对所对应的点数，有 $(\binom{13}{2})$ 种选择方式。其次，需要为第五张牌选择一个不同于前两对的点数，这里共有 $(\binom{11}{1})$ 种可能。接下来，需要确定每一对牌的花色。在每一对中，两张牌的花色必须不同，因此低点数对子有 $(\binom{4}{2})$ 种花色选择方式，高点数对子也有 $(\binom{4}{2})$ 种花色选择方式。最后，还需要为第五张牌选择花色，这一步有4种可能。将上述所有因数相乘，就可以得到总的可能数：

(\binom{13}{2}) (\binom{11}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{2}) (\binom{4}{1}) = 78 \times 11 \times 6 \times 6 \times 4 = 123552

随机拿到一手两对牌型的概率为 $\frac{123552}{2598960} = \frac{198}{4165} \approx 4.75% 。$

获得对子牌型的概率

最后，我们来计算获得对子牌型的概率，计算步骤如下：1）选择对子对应的点数：共有 $(\binom{13}{1})$ 种方式；2）从剩余的点数中选择另外三张牌的点数：共有 $(\binom{12}{3})$ 种方式；3）为对子中的两张牌选择花色：共有 $(\binom{4}{2})$ 种方式；4）为剩余三张牌分别选择花色：共有4³种方式。你可能会疑惑：为什么在选择这三张不同点数牌的点数时使用的是组合（即 $(\binom{12}{3})$ ），而在选择它们的花色时却使用排列（即4³）呢？原因在于：在选择点数时，牌在手牌中的顺序并不重要。即使改变牌的顺序，得到的仍然是同样的手牌，因此使用组合计算。但这三张牌的点数各不相同，本身就存在自然的顺序，可以从大到小排列，我们可以利用这一顺序来区分这三张牌，从而依次为最高点数的牌、中间点数的牌以及最低点数的牌选择花色。每一步都有4种选择，因此总共有 $4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$ 种可能。

因此，对子手牌存在数量为

(\binom{13}{1}) (\binom{12}{3}) (\binom{4}{2}) 4^{3} = 13 \times 220 \times 6 \times 64 = 1098240

而且随机拿到一手对子牌型的概率为 $\frac{1098240}{2598960} = \frac{352}{833} \approx 42.3% 。$ 你也可以通过实验来验证这一结果：洗牌后抽取五张牌。你抽到对子牌了吗？记录你得到的结果。多重复几次，你会发现得到对子的情况略少于一半。

中彩票的概率有多大？

许多国家都有售卖选号型彩票，在这种玩法中，需要从较大的号码池中随机抽取若干个号码。只要你选对了这些号码，就可能中奖——而奖金通常非常丰厚。以中国非常流行的中国体育彩票“大乐透”为例：在这种彩票中，你需要从01到35的号码中选出5个不同号码，然后再从01到12的号码中选出2个不同号码。这种组合方式的所有可能数目是：

(\binom{35}{5}) (\binom{12}{2}) = 324632 \times 66 = 21425712

因此，在体彩“大乐透”中，选号方式一共有21,425,712种。换句话说，若想确保中得头奖，理论上需要购买21,425,712注彩票。如果只购买一注，那么中奖的概率为21,425,712分之1，约等于0.00000467%。

带去聚会的零食有多少种不同的可能？

在这个示例中，设想你要去朋友家参加一个聚会，并被邀请带一些零食。可供选择的零食共有三种：薯片、瓜子和巧克力。你打算购买5袋零食，那么一共有多少种不同的搭配方式呢？

首先，我们注意到可供选择的元素有3种，因此 n = 3。其次，零食的排列顺序并不重要。第三，每一种零食都可以购买多袋，也就是说允许重复选择。因此，这里应当计算允许重复的从3取5的组合，其计算公式为

E (3, 5) = (\binom{3 + 5 - 1}{5}) = 21

计算结果表明，为这次聚会带去的零食一共有21种不同的搭配方式。为了验证结果是否正确，我们可以列出所有可能的组合（为简化说明，这里用 A、B、C 来表示三种零食）：

AAAAA

AAAAB

AAABB

AABBB

ABBBB

BBBBB

CAAAA

CAAAB

CAABB

CABBB

CBBBB

CCAAA

CCAAB

CCABB

CCBBB

CCCAA

CCCAB

CCCBB

CCCCA

CCCCB

CCCCC

组合计算公式详解

不允许重复的从 n 取 k 的组合

不允许重复的从 n 取 k 的组合（有时也称为“n 取 k”或“n 取 r”）的计算公式为

C (n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

为了验证该公式是否确实正确，我们可以检验从1到 n 中选取 k 个数的过程。首先，将所选的数字放入一个长度为 k 的序列中。序列的第一个位置可以由 n 个数字中的任意一个占据；当第一个数字被选中并从可选集合中移除后，第二个位置就只剩下 n − 1种选择。同样地，第二个数字选定并移除后，第三个位置可选的数字数量变为 n − 2。我们以这种方式不断进行选择，直到填满整个长度为k 的序列。要想知道这类序列的所有存在的排布数量（这恰好等于不允许重复的从 n 取 k 的排列的数量），就需要将每一步可选的数量相乘：

P (n, k) = \underset{k 个因数}{\underset{⏟}{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - k + 1)}}

换个角度看，这个乘积等同于某个阶乘中最大的 k 个因数相乘。因此，我们可以将其改写为

P (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}

其中分母中的阶乘会消去分子中最小的 n − k 个乘数因数，剩余部分正好与前面得到的公式一致。

不过，事情并没有到此为止，因为到目前为止，我们计算得到的仍然是排列的数量，而不是组合的数量。在排列中，元素的顺序是重要的；在构造序列时，我们确实关心顺序——先选择第一个位置的数字，再选择第二个、第三个，依此类推。现在，我们希望将由同一组数字组成、仅顺序不同的所有序列视为同一个组合。那么，使用 k 个不同数字可以构成多少种不同的序列呢？答案很简单：是 k! 种不同的排列。因此，要得到组合的数量，就需要将排列的数量除以 k!：

C (n, k) = \frac{P (n, k)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

允许重复的从 n 取 k 的组合

如何推导允许重复的从 n 取 k 的组合公式？由于 n 个元素中的每一个都可以被选取0到 k 次，我们可以这样想象：有 n 个盒子，编号从1到 n。每个盒子里最多有 k 个球，并且所有盒子里的球加起来一共是 k 个。这些盒子对应各个元素，而某个盒子里的球数则表示我们选取该盒子所代表的元素的次数。

那么，如何用一个数列来描述每个盒子里有多少个球呢？我们可以构造一个由 n − 1个数组成的序列，其构造方式如下：该序列中的第 i 个数表示从第1个盒子到第 i 个盒子为止，盒子数量与球的数量之和。例如，序列中的第一个数等于1加上第一个盒子里的球数（因此其取值范围是1到 k + 1）。第二个数等于2加上前两个盒子里的球数（因此其取值范围是2到 k + 2，并且必须大于第一个数）。第三个数等于3加上前三个盒子里的球数（取值范围是3到 k + 3，并且必须大于第二个数）。依此类推。不难看出，该序列最后一个数的值等于 n − 1加上除最后一个盒子之外所有盒子中的球数。它的最小值为 n − 1（当所有球都在最后一个盒子中时），最大值为 n − 1 + k（当最后一个盒子中没有球时）。

现在，我们换一个角度来看这个问题。设有一个由1到 n − 1 + k 组成的数集。从这个数集中，我们在不允许重复的情况下选取 n − 1个数，并按从小到大的顺序排列成一个序列。这样一来，我们就可以确定每个盒子中放进多少个球。实际上，从包含 n − 1 + k 个数的集合中选取 n − 1个数的每一种选法，都与将 k 个球分配到 n 个盒子中的某一种分配方式对应。那么，从 n − 1 + k 个数中不重复地选取 n − 1个数，一共有多少种可能呢？答案是

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!}

这几乎已经得到我们要找的公式了。最后一步需要注意的是，分母中两个阶乘的顺序是可以互换的，也就是说，可以写成

C (n + k - 1, n - 1) = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)! k!} = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = C (n + k - 1, k)

最后得到

E (n, k) = C (n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}

杨辉三角与二项式系数

二项式是指包含两个项的代数式，例如 $x + y 。$ 当我们将 $x + y$ 提升到一个非负整数次幂时，出现在 x 和 y 前面的那些数就称为二项式系数。例如， ${(x + y)}^{0} = 1 ，$ ${(x + y)}^{1} = x + y ，$ ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} ，$ ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ ——在这些例子中，对应的二项式系数分别是：1、1-1、1-2-1，以及1-3-3-1。我们可以发现，二项式系数与从 n 取 k 的组合之间存在密切关系：当我们展开 ${(x + y)}^{n}$ 时，位于 $x^{k} y^{n - k}$ 前面的系数正是 $(\binom{n}{k}) 。$ 例如，在 ${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ 中， $x^{2} y$ 前面的系数是 $(\binom{3}{2}) = 3 。$ 这一关系可以用如下通式来表示：

{(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

此外，二项式系数还呈现出一种有趣的规律——它们可以排列成一个三角形，通常称为“杨辉三角”：

n
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1
6	⋯

杨辉三角的一个有趣特征是：后一行中的每个数，都可以通过将上一行中相邻的两个数相加得到。例如，在 n = 4这一行中的6，来源于上一行中的3 + 3；同样地，n = 5这一行中的10，来自其上一行中的4 + 6。这个规律可以用如下等式来概括：

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

二项式方程与恒等式

下面列出了一些最常见、最著名的二项式系数恒等式：

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k})

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1})

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

\sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} = {(1 + x)}^{n}

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} = {(x + y)}^{n}

在 Python 中计算从 n 取 k

在 Python 编程语言中，如果要计算不允许重复的从 n 取 k 的组合的数量，可以使用 math 模块中的 comb 函数：

from math import comb
def nCk(n, k):
	return comb(n, k)

如果要计算允许重复的从 n 取 k 的组合的数量，可以使用将允许重复的组合与不允许重复的组合联系起来的公式：

from math import comb
def nEk(n, k):
	return comb(n + k - 1, k)

如果你想要列出所有不允许重复的从 n 取 k 的组合，Python 也提供了一个内置函数可以直接实现这一点：

from itertools, import combinations
def list_combs(n, k):
	for c in combinations(range(1, n+1), k):
		print(c)

而如果要列出所有允许重复的从 n 取 k 的组合，可以使用：

from itertools import combinations_with_replacement
def list_combs_wr(n, k):
	for c in combinations_with_replacement(range(1, n+1), k):
		print(c)

如果你想自行编写一个函数来计算不允许重复的从 n 取 k 的组合的数量，下面是一个示例：

from math import factorial
def nCk(n, k):
	return int(factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n-k)))

如果要计算允许重复的从 n 取 k 的组合数量，你也可以使用如下函数实现：

from math import factorial
def nEk(n, k):
	return int(factorial(n + k - 1) / (factorial(k) * factorial(n-1)))

如何使用组合计算器

组合计算器可用于计算允许重复和不允许重复的从 n 取 k 的组合。若要进行计算，请在标有字母 n 的栏中输入可选元素的数量，然后在标有 k 或 r 的栏中输入抽取次数。如果需要计算允许重复的组合，请勾选下方的复选框。最后，点击“计算”按钮，结果将显示在下方。

这款计算器尤其适合处理涉及超大数值的计算。例如，输入 n = 1000000 且 k = 1000时也不会有问题。对于较大的结果，计算器会以两种形式显示：第一行给出采用科学记数法表示的近似值，第二行显示精确结果。

这款计算器没有预设的输入上限，会尝试计算任意大小的 n 和 k。计算是否能够顺利完成，取决于你的系统配置。在桌面设备上，较新的 Chrome 浏览器通常可以轻松计算诸如 n = 8000000000、k = 10000000这样的输入项（例如：在小行星撞击地球后，从全球人口中选出10,000,000名幸存者登上巨型飞船）。但是，在其他系统环境下，尤其是在移动设备上，如此大的数值可能会导致计算变慢，甚至无法完成。

这款计算器还提供了一些其他功能，你可以：

选择结果以哪个底数显示。你可以使用2到36之间的任意自然数。默认底数为10，也就是以十进制形式显示结果。如果选择了其他底数，该底数仅用于结果显示；输入的数值始终按十进制读取。
若要清空 n 和 k 的输入值，点击“清除”按钮，然后重新输入所需的数值。
将结果复制到剪贴板。若要使用此功能（以及以下所有功能），请点击位于“结果”栏上方的相应按钮。
将结果下载并以文本文件形式保存到你的设备中。
打印结果。
将结果页面的链接复制到剪贴板。
清空结果。

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Narkiewicz A.，组合计算器，https://minesweeper.us/扫雷/组合计算器/，访问日期：2026-02-26。

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参考文献

Charalambides, Charalambos A., Enumerative Combinatorics, CRC Press, 2002.

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